生活用品的联想反思

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阿玖同学的数学学得特棒，这主要得益于他能主动对所学学识的实时反思.阿玖有一个分外好的习惯，就是每学完一片面学识，他就会对课本中展现的例题和习题举行一次归类整理，从中梳理出不同问题之间的内在联系，有时还会靠着自己的直觉试着对问题的条件或结论加以变更后举行探究，阿玖的数学功底也就随着他的反思与探究的深入而得以不断的提升.这不，刚学完《解三角形》这一章，他又开头了他的联想与反思……

阿玖觉得，三角形中有三个角A，B，C和它们的对边a，b，c六个元素，而确定一个三角形，只需其中的片面元素就行了.

反思一

确定三角形需至少知道三角形的哪几个元素？若给出的片面元素能

确定三角形，那么其他元素理应也就确定了，

本章所学的解三角形就是已知三角形的几个元素求其他元素的过程，而刚刚学习的正弦定理和余弦定理正是反映了三角形中边角之间的关系，因此通常可以把正弦定理和余弦定理作为解三角形的工具来加以应用，那么在概括的问题中理应选用什么定理来求解三角形呢？

聪明的阿玖拿出两支笔在手上比划着，他很快察觉，若只知道一个元素，或两个元素，是无法确定三角形的，只有知道至少三个元素，才有可能确定三角形，那么是不是知道任何三个元素都能确定一个三角形呢？阿玖列出了以下六种情形：

1�已知三边；

2�已知两边以及两边的夹角；

3�已知两角和其中一个角的对边；

4�已知两角和两个角的夹边；

5�已知三角；

6�已知两边以及其中一边的对角.

通过进一步的探究，阿玖察觉，若已知三边，只要得志任何两边之和大于第三边，这样的三角形是唯一确定的；若已知两边夹角或两角夹边或已知两角和其中一角的对边，这样的三角形都只有一解；而已知三角，这样的三角形有多数多个；而对于第6种处境，已知两边及其中一边的对角，这样的三角形可能有一解、两解、无解等几种处境.其中苏教版必修5第12页习题1.1第10题就示意了对这一问题的探究方法（同学们知道是什么方法吗）.通过一番斟酌，阿玖总结出如下几点：

1�三角形要想可解，那么至少知道三角形的六个元素中的三个，而且其中至少有一个元素是边长.

2�利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：

(1)已知两角与任一边，求其他两边和一角；

(2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）.

3�利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：

(1)已知三边，求三个角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

阿玖对课本上有关解三角形的例题或习题的条件举行了一下梳理后察觉，几乎都是这几种情形，譬如：

例1（苏教版必修5第24页复习题1）在△ABC中，

(1)已知�a=1，A=60�°�，c=33，�求C；����

(2)已知�a=2，b=2，c=3+1，��求A；���

(3)已知�a=33，c=2，B=150�°�，��求b.���

其中第（1）问是给出了两边和一边的对角，三角形可解，可利用正弦定理求出角C，不过可能有两解（想想为什么？），求出之后需利用三角形内角和来作出取舍；第（2）问是给出了三边，三角形可解，理应利用余弦定理求解；第（3）问是给出了两边夹角，三角形可解，也应利用余弦定理求解.

同学们能正确求解吗？参考答案：�（1）30�°�；�（2）45�°�；（3）7.

反思二三角形一旦确定，其面积和周长也理应是确定的，课本中就有大量求解三角形面积或周长的问题.

例2（苏教版必修5第24页复习题第9题）在〈数学3(必修)〉中,我们曾介绍过南宋时期的数学家秦九韶察觉的求三角形面积的“三斜求积”公式

�S��△ABC�=14c�2a�2－c�2+a�2－b�22�2，�

它与古希腊数学家海伦给出的三角形面积

�S��△ABC�=p(p－a)(p－b)(p－c)

p=a+b+c2�

是一致的.

“三斜求积”公式的证明已经失传，吴文俊教授根据我国古代几何证明的传统特点作了一个补证.（证明见课本）

你能用正弦定理和余弦定理证明“三斜求积”公式或海伦公式吗？

（对于课本中展现的探究拓展题，好学的阿玖是不会轻易放过的，且看阿玖给出的证明）

证明

如图1,�S��△ABC�=12ca�sinB

=12ca1－�cos��2B，�

�=12ca1－c�2+a�2－b�22ca�2�

即得秦九韶公式.

若令�p=a+b+c2，那么a+b+c=2p，a－b+c=2（p－b），a+b－c=2（p－c），-a+b+c=2（p－a），

所以,�S��△ABC�

得到海伦公式.

例3（苏教版必修5第17页习题1.2第12题）如图2,已知圆内接四边形ABCD中,�AB=2，BC=6，AD=CD=4.�如何求此四边形ABCD的面积.

解如图，连接BD，那么�S��ABCD�=S��△ABD�+S��△BCD�=12ABAD�sinA+12BCCD�sinC�

由于�A+C=180�°�，所以�sinA=�sinC，

在△ABD中，�BD�2=AB�2+AD�2－2ABAD�cosA=20－16�cosA，�

在△BCD中，�BD�2=BC�2+CD�2－�2BC�CD�cosC=52－48�cosC，�

所以，�20－16�cosA=52－48�cosC，由于�cosC=－�cosA，所以�cosA=－12，�

又由于�0�°�所以�S��ABCD�=16�sinA=16�sin120�°�=�83.����

解决好课本上这道探究拓展题以后，一向擅长动脑筋的阿玖突然有了一个想法：任何一个三角形都存在一个外接圆，数学家秦九韶和海伦其实就是解决了已知一个圆的内接三角形的三边长，求此三角形面积的问题.而此题其实是已知一个圆的内接四边形的四条边长，求此四边形的面积，那么是不是也可以推导出一个面积公式了？阿玖抉择仿照这一特例探究一般处境.于是阿玖编制了如下问题：

如图3,已知圆内接四边形ABCD中,�AB=a，BC=b，CD=c，DA=d.求圆内接四边形ABCD的面积S��ABCD�.�

仿照上面例2的解决方法，利用正余弦定理，并设�p=12（a+b+c+d），阿玖很快证领略S��ABCD�=（p－a）（p－b）（p－c）（p－d）.（有兴趣的同学可以试试哟！）于是阿玖得到了如下结论：�

设a，b，c，d为圆内接四边形ABCD的四边,P表示周长的一半,那么�S��四边形ABCD�=（p－a）（p－b）（p－c）（p－d）.�

（这可是未来的数学家阿玖的察觉哟！是不是觉得很像海伦公式？当d变为零时它是谁？你有何体会？）

反思三若给出的条件（元素）缺乏，三角形就不确定了，这样三角形的面积和周长也就是变化的，这样就理应可以设置成求三角形的面积和周长的范围或最值问题了.（想到这，阿玖抉择自己来设置几个问题）

自编题1把例1（1）中已知�a=1，�A=�60�°�，c=33的条件c=33�去掉，求△ABC的周长的最大值.

解如图4，由正弦定理得

易知�0�°�自编题2同自编题1，求△ABC面积的最大值.

解在△ABC中，由余弦定理有

b�2+c�2－2b�c�cos60�°�=b�2+c�2－b�c≥2b�c－b�c=b�c，即b�c≤1.�

又�S��△ABC�=12b�c�sin60�°�=34b�c≤34.�

当且仅当�b=c�时取等号，此时△ABC面积的最大值为3.

课本上是否也有这一类问题了？阿玖很快察觉，苏教版必修5�P���24�复习题第6题就是他所编的这个问题的更一般的处境：

如图5,已知∠A为定角,P、Q分别在∠A的两边上，PQ为定长.当P、Q处于什么位置时，△APQ的面积最大？

仿照方才自编题2的解决，阿玖很快给出了如解法：

解设�PQ=a(定值)，AQ=x，AP=y，那么△APQ中有a�2=x�2+y�2－2xy�cosA≥2xy(1－�cosA)，由于1－�cosA>0,所以�xy≤�a�22(1－�cosA).�

又�S��△APQ�=12xy�sinA≤a�24�sinA1－�cosA，当且仅当x=y时取等号，即AP=AQ�时△APQ的面积最大.

在课本上都能找到影子，是不是觉得阿玖方才的题编得很有水准呀？可不是，阿玖更感到了一种告成的愉悦，找到感觉的他加倍不成拾掇了，这次他抉择反过来设置问题：

自编题3△ABC中，角A，B，C所对的三条边分别为a，b，c.且�a=1,�△ABC的面积为34，求角A的最大值.

解法1由12b�c�sinA=34�b�c=32�sinA，又1=b�2+c�2－2b�c�cosA≥2a�b（1－�cosA），从而得�sinA≥3（1－�cosA），即��sin�A+�π�3≥32,�又A∈（0，�π�）,所以A∈0,�π�3,故角A的最大值为�π�3.

解法2由于△ABC的面积为34，所以△ABC的高为32,如图6，建立平面直角坐标系,点A在直线�y=32上滑动,可设Ax,32,那么�AB�=－12－x，-32,�AC�=12－x，-32,∠A即为�AB�与�AC�的夹角，�cosA=�AB��AC�|�AB�||�AC�|=x�2+12x�2+x+1x�2－x+1=x�2+12x�4+x�2+1，

令t=x�2+12t≥12,那么�cosA=tt�2+34=11+34t�2≥12,�

又�A∈（0，�π�）,�故角A的最大值为�π�3.

阿玖觉得还不过瘾，他想编一道可以多角度、多方位地对问题举行斟酌与探究的开放性问题.

自编题4△ABC中，角A，B，C所对的三条边分别为a，b，c.若�a=1,�，求△ABC面积的最大值.请你在横线上填一个适当的条件,并解决问题.

这样一来，所填条件理应是多样的，这样就可以根据所填的不同条件做出不同的探究了.

探究1类比∠A为定值,若填的条件是�∠B=60�°�,�如图5,射线BA是无限延迟的.那么△ABC面积没有最大值,即∠A为定值时,△ABC面积没有最大值,同理∠B为定值时,△ABC面积也没有最大值.

探究2从边的角度举行探究,当b为定值时要使�S��△ABC�=12a�b�sinC最大，只需��sinC�最大，即当C=90�°��时，S��△ABC�有最大值.同理c为定值时,△ABC面积也有最大值.

探究3若填的条件是�c=2b，�

解法1根据面积公式得�S��△ABC�=�12a�b�sinC=12b1－�cos��2C,�

根据余弦定理得��cosC=a�2+b�2－c�22ab=1+b�2－(2b)�22b=1－b�22b,�

代入上式得�S��△ABC�=12b1－1－b�22b�2=14－b�4+6b�2－1=148－（b�2－3）�2,�

由三角形三边关系有�2b+b>1

b+1>2b�2－�10），�

同探究3的解法二可得�x+12�2+y�2=kx－12�2+y�2，化简得（k�2－1）x�2－（k�2+1）x+（k�2－1）y�2+14（k�2－1）=0，当k=1时，得x=0，此时A点在y轴上（除去原点），那么△ABC面积没有最大值；当k≠1时，A点的轨迹为x－k�2+12（k�2－1）�2+y�2=k�2（