建筑力学 第章 扭转

第6章扭转[内容提要]本章主要介绍了扭转时圆轴横截面上扭矩的计算、扭矩图的画法和应力分布及其计算；阐述了圆轴扭转时的强度条件及其应用。6.1扭转的概念工程中经常利用轴的转动来传递动力，如图6-1。这时的轴需要承受传递动力时作用其上的多个力偶，这些力偶将使轴的任意两横截面绕轴的轴线作相对转动，或者说两横截面间产生相对转角，称为扭转角，如图6-2所示。这种变形为扭转变形。这种现象即为扭转现象。扭转变形是构件的基本变形形式之一。图6-1图6-2本章主要讨论圆截面直杆（统称圆轴）的扭转问题。6.2圆轴扭转时的扭矩及扭矩图6.2.1扭矩如图6-3所示圆轴，在两端垂直于轴线的平面内作用一对力偶M。采用截面法，假想从m-m截面截开，取左边一段为分离体。图6-3设截面上的内力为T，由静力学中力偶系平衡条件有T＝M，即截面上的内力一定为力偶，我们将这个内力偶称为扭矩。由于力偶有不同的转向，为了统一表达截面上不同转向的扭矩，对扭矩的转向和扭矩值正负号之间的关系有着如下规定：以右手四指指向扭矩的旋转方向，当右手大姆指指向横截面外法线方向时扭矩值为正，反之为负。该规定称之为右手螺旋法则。如图6-4所示。图6-4扭矩的单位与力偶矩相同，常用牛顿·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。6.2.2扭矩图如果有多个外力偶分别作用于轴上不同的位置，则不同横截面上的扭矩值也不相同。我们将不同截面上的扭矩值计算出来，并将其值沿轴线画于图上，就形成了扭矩图，它是扭转问题的内力图。下面我们通过一个例子来说明扭矩图的画法【例6-1】一轴受三个外力偶M1＝10kN·m、M2＝40kN·m、M3＝30kN·m，其转向如图6-5(a)所示，请画出该轴的扭矩图。图6-5(a))(c)(d)(b解：1、用m-m截取轴的左侧一段如图6-5(b)所示，由T1＋10＝0有T1＝-10(kN·m)；2、用n-n截取轴的左侧一段如图6-5(c)所示，由T2＋10-40＝0有T2＝30(kN·m)；3、将计算的扭矩值画于轴线上，如图6-5(d)。6.2圆轴扭转转时的截面应力分分布为了分析圆轴扭转转时横截面上应力力分布规律，与分分析受拉（压）杆杆件时一样，从实实验入手。如图6-6(a)所示示，实验前，在一一圆轴表面上作许许多平行的纵向线线和圆周线。然后后在两端加一对力力偶，橡胶圆轴即即发生了变形，如如图6-6(b)所示。我们观观察到的结果是：：图6-61、原来的纵向线线都倾斜了同一个个角度γ，变成螺螺旋线，原来的矩矩形格子都变成了了平行四边形。2、圆周线仍保持持原来形状，各圆圆周线之间距离不不变，只相对转动动一个角度（即扭扭矩角）。3、圆轴的直径没没发生改变。由此可以推出：1、圆轴扭转后，，纵向纤维没有伸伸长(缩短)，横横截面上的正应力力σ＝0，由此我我们假设任一横截截面上的各点在变变形前后仍处于同同一个平面上。2、表面上的小矩矩形变成平行四边边形，表明相邻两两横截面发生相互互错动，属剪切变变形。剪切变形的的程度以γ角来表表示。γ称为切应应变。3、由于圆轴的直直径没发生改变，，我们可以假设内内部各点到轴线的的距离变形前后保保持不变，扭转变变形时的各点只以以各自到轴线的距距离为半径沿圆周周位移。4、圆轴横截面上上存在切应力，它它的方向沿着圆周周切线方向，即垂垂直于横截面圆半半径。通过大量材料的力力学试验，并经过过统计分析得知：：在弹性范围内，，切应变γ与切应应力τ之间可以认认为存在直线比例例关系。称为剪切切虎克定律，即τ＝Gγ(6-1)式中G称为剪切弹弹性模量。常用材材料的G值也可从从有关手册中查到到。横截面上的切应力力τ的分布规律，，可从分析横截面面上各点的切应变变γ着手。由于圆圆截面变形后仍为为圆平面，平面上上直径仍为一直线线，只是由原来位位置转过一个角度度，如图6-7(a)所示。从从图中可以看到横横截面外沿的圆周周处的点移动得最最大，也就是图6-7(b)所所示表面上的切应应变γ最大。圆心心处（即轴线位置置）的点没有移动动，切应变γ为零零。其余各点移动动的大小与该点到到圆心的距离成正正比，即沿直径各各点的切应变γ与与该点到圆心距离离ρ成正比。因此沿直直径各点的切应力力τ，由剪切虎克克定律可知，也与与该点到圆心距离离ρ成正比，方向与半半径垂直。实心圆圆轴的横截面上切切应力分布如图6-7(b)所所示，空心圆轴的的横截面上切应力力分布如图6-7(c)所示。图6-7(a)(b)(c)由此可推出圆截面面上任一点切应力力τ的计算公式（（推导从略）可表表达为(6-2)式中T为横截面上上所受扭矩；ρ为为横截面任一点至至圆心的距离；Ip称为横截面对对形心的极惯性矩矩。它是一个只由由截面尺寸和形状状决定的几何常量量。简单图形的极极惯性矩可从相关关工具书中查到。。对于实心圆轴，，有(6-3)式中D为圆截面直直径。对于空心圆轴，有有(6-4)式中D、d分别为为空心圆截面的外外径与内径，α为为内外径之比，即即IP的单位长度是是四次方，常用mm4。由(6-7)式可可知最大切应力ττmax在圆周处，即在ρρ=R处。R为圆圆截面半径，R=D/2。于是(6-5)令Wp=IP/R，称为抗扭截截面系数，上式可可改写为(6-6)Wp的单位为长度的三三次方，常用mm3。它是一个可以衡衡量截面尺寸和形形状抗扭能力的参参数，其值相关工工具书中查到。直直径为D的圆截面面的计算公式为(6-7)6.3圆轴扭转转时的强度计算6.1.1强度度条件为了保证圆轴安全全正常工作，轴内内最大切应力不应应超过材料容许应应力[τ]，即：：(6-8)称为圆轴扭转时的的强度条件。式中[τ]为扭转转时材料的许用切切应力，可由相关关工具书中查到。。在静荷载作用下下，同一材料扭转转时的许用切应力力[τ]与其拉伸伸时的许用应力[σ]之间关系为为：对于塑性材料[τ]=（0.5~0.6））[σ]对于脆性材料[τ]=（0.8~1.0））[σ]强度条件式(6-6)，可以进行行以下三个方面的的计算：【例6-2】一实实心圆轴直径为100mm，受三三个外力偶M1＝10kN·m、M2＝40kN·m、M3＝30kN·m，其转向如图6-8(a)所示示，已知该轴所用用材料的许可切应应力值[τ]=160MPa，请请计算出它的最大大应力值，并校核核该轴强度。(a)(b)图6-8解：根据本题条件件，可绘出其轴的的扭矩图，如图6—8(b)所示示。其最大应力值值出现在到横截面面外沿的圆周上，，其切应力值的计计算可用公式(6-6)解出：由公式(6-8)，有可见，该轴的强度度符合要求。由公式(6-8)，有可见，该轴的强度度符合要求。请注意：1、计算式中列出出的物理单位应为为：扭矩的单位T应为（N·m）或或者（N·mm））；抗扭截面模量量Wp的单位为m3或mm3；切应力的物理单单位则为帕(MPa)或兆帕(MPa)。2、计算过程中列列出物理单位的目目的是给同学作分分析示范的，真正正计算其切应力时时，不必在中间过过程内加注物理单单位，只需在计算算结果后加注切应应力的物理单位帕帕(Pa)或兆帕(MPa)。【例6-3】一实实心圆轴直径为100mm，受三三个外力偶M1＝10kN·m、M2＝40kN·m、M3＝30kN·m，其转向如图6-5(a)所示示，请确定该轴的的许可应力值[ττ]。解：本题受扭情况况同上题，其轴的的扭矩图如图6——5(b)所示。。其应力许可值可可由公式6-8计计算：由有：可知，所选轴的材材料满足即可。【例6-4】一一实心圆轴受三三个外力偶M1＝10kN··m、M2＝40kN··m、M3＝30kN··m，其转向如如图6-5(a)所示，已知知该轴所用材料料的许可切应力力值[τ]=160MPa，，请确定该轴的的直径。解：本题受扭情情况同上题，其其轴的扭矩图如如图6—5(b)所示。其轴轴的直径可通过过公式(6-9)计算：可知，轴的直径径大小需大于97.87mm。【例6-5】一一空心圆轴受三三个外力偶M1＝10kN··m、M2＝40kN··m、M3＝30kN··m，其转向如如图6-5(a)所示，已知知该轴的内外径径之比为0.5（即α=r/R=0.5），所用用材料的许可切切应力值[τ]=160MPa，请确定该该轴的外径，并并与实心圆轴的的结果进行比较较。解：本题受扭情情况同上题，其其轴的扭矩图如如图6—5(b)所示。其轴轴的外径可通过过公式(6-10)计算：可知，轴的外径径大小需大于100mm。由于为空心圆轴轴，其外径要求求在荷载条件一一样时（例6-4、例6-5）比实心圆轴轴的直径要大，，但是，两轴的的横截面积之比比是：可见，满足强度度要求的前提下下，空心圆轴比比实心圆轴省材材料20％以上上（本题条件下下），其轴的自自重也按该比率率减少；当内外外径之比α=r/R越大大，省材料、减减自重的效果越越明显。我们在建筑工程程中常遇到一些些非圆截面受扭扭构件，如矩形形、T形、工字字形等截面。这这些非圆截面构构件受扭转后的的变形以及应力力分布情况与圆圆形截面构件的的不同，并要复复杂得多。实验表明：非圆圆截面构件受扭扭后，横截面不不再保持为平面面。如一矩形截截面构件受扭转转前，在其表面面在画上横向线线和纵向线如图图6-9(a)所示。构件受受扭转后，其表表面上的横向线线和纵向线都变变成曲线如图6-9(b)所所示，原横截面面后来发生了翘翘曲，变成一个个曲面，在这种种情况下平面假假设不适用，因因此，不能将用用于圆轴扭转的的应力计算公式式应用于非圆截截面构件的应力力计算。※6.4非圆圆截面构件的扭扭转问题(a)(b)图6-10非圆截面构件的的扭转问题需要要用弹性力学的的理论和方法分分析、计算。本本节只以矩形截截面构件的一些些结果为例，简简要说明横截面面上切应力分布布的情况。矩形截面杆扭转转后，横截面上上切应力是按照照如图6-10所示的分布规规律分布的。切切应力在矩形截截面的外沿长边边中点达到最大大值，其计算公公式为（6-10）式中，称为抗扭截面系系数；为一个与比值h/b有关的系数，可可在有关手册册中查到。在承受相同扭矩矩的情况下，矩矩形截面构件件的扭转最大切切应力大于相同同截面面积的圆圆截面构件的扭扭转最大切应力力。通过进一步步的分析得知，，对受扭转的构构件而言，圆截截面是最合理的的截面。1．圆轴扭转时时的扭矩及扭矩矩图1）扭矩采用用截面法，取一一段为分离体，，由静力学中力力偶系平衡条件件可求出截面上上的扭矩。对扭扭矩的转向和扭扭矩值正负号之之间的关系按右右手螺旋法则确确定。扭矩的单单位与力偶矩相相同，常用牛顿顿·米（N·m）或千牛·米米（kN·m））。2）扭矩图将不同截面上的的扭矩值计算出出来，并将其值值沿轴线画于图图上，就形成了了扭矩图。小结2圆轴扭转时时的截面应力分分布实心圆轴的横截截面上切应力分分布如图6-11(a)所示示，空心圆轴的的横截面上切应应力分布如图6-11(b)所示。(a)(b)图6-11切应力τ的计算算公式为对于实心圆轴对于空心圆轴，其中，IP的单位长度度是四次方，常常用mm4。最大切应力τmax在圆周处处令Wp=IP/R，称为为抗扭截面系数数，有直径为D的圆截截面的计算公式式为3．圆轴扭转时时的强度计算1）强度条件可以进行以下三三个方面的计算算：a、对圆轴的强强度进行校核。。b、已知材料、、截面尺寸时，，确定圆轴在安安全状态下所能能承受的最大容容许荷载。c、已知荷载和和材料时，确定定圆轴截面尺寸寸（直径）。※4非圆截面面构件的扭转问问题矩形