1.1变化率与导数 1.1.3导数的几何意义

1．导的何义整设教分本节课是在学习了变化率数念等知识的基础上合函数图象来研究导数的几何意义是数概念的延伸，是导知识的重要内容．探究和理解导数的几何意义从何的角度分析问题用割线和切线的辩证关系过步逼近的方法和“以直代曲”思想的运用在给切线以新的定义的时生了导数的几何意义本的学习为研究变量和函数提供了重要的方法，为今后学习函数单调性创造了条件．课分时．教目．知识与技能目标通过实验探究，理解导数的几何意义，体会导数在刻画函数性质中的作用．．过程与方法目标培养学生分析抽、概括等思能力过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，培养学生科学的思维习惯．．情感、态度与价值观渗透逼近和“以直代曲”思想激发学生的学习兴趣培学生不断发现探索新知识的精神引学生从有限中认无限会量变和质变的辩证关系感受数学思想方法的魅力．重难重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法．难点：发现、理解及应用导数的几何意义．教过引新提出问题：平面几何中，我们怎样判断一条直线是否是圆的切线？学情预测：学生一定回答：与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线．提出问题否将它推广为一般线的切线定义？直线与曲线只有一个公共点就是相切吗？学情预测可无从入手可过帮助学生回忆以前学过的曲线与切线来引导．活动设计：教师引导学生，举例如下：活动成果师生共同得出如下结有曲线虽然和直线只有一个交点不相切而000000000000是相交，有些曲线在某点处和直线相切整体上却和直线有多个交点．所以，对于一般曲线，我们必须重新寻求曲线切线的定义．提出问题：曲线在一点处的切线应该怎样定义呢？活动设计：教师演示多媒体结论：当点B沿线趋近于点A时割线AB绕A转，的最终位置为直线AD，这条直线AD叫此线在点A处的切线．设意初中平面几何中有圆的切线的定义线和圆有唯一公共点时叫直线和圆相切这时，直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．但是，圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线，如上面的例子．这样，学生对于切线的认识产生了疑问发了学生的探索欲望．探新提出问题：导数的概念及其本质是什么？写出它的表达式．活动设计：一位学生板书，其他学生在练习本上写出，教师订正如下：导数f(x)本质是函数在x＝x处瞬时变化率，0即f(x)lim00

f＋Δx00Δx教师：导数的本质是从代数(数的度来诠释，若从图形(形)角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？试回忆求导数f(x)的基本步骤．0学生：求导数f′)的基本步骤分三步：0第一步：求；Δy第二步：求平均变化率；Δxf＋第三步Δx趋近于均变化率无趋近于的常数就f(x)．Δx教师：若从“形”的角度探索导数的几何意义，是否也可以分下面三个步骤？第一步Δy的何意义是当x＋与x所应的函数值的差，即纵坐标之差；0fΔx第二步：平均变化率的何意义是割线AB的率．其中，f(x，Δx0B(x＋，f(x＋；00第三步→时割AB有什么变化？Δx→0B(x＋f(x＋→A(xf(x，000当Δx→时，A，间的差距越来越小．教师：结合前面的多媒体演示，你有什么发现？f＋学生然平均变化率的几何意义是割线AB的斜率当→时，Δx割线AB的率逐渐变为曲线上过A点切线的斜率．教师当Δx→0时线AB有一个无限趋近的确定位置个确定位置上的直线叫做00222222003320022222200332曲线在＝x处切线．0活动成果：师生共同得出如下结论：当Δx→时，割线→切线，割线的斜率→切线AD斜率．即f′)＝lim00

f＋＝切线AD斜率，Δx所以，函数在x＝处导数f(x)几何意义就是函数f(x)的象在＝处000切线AD的率．设意通过复习回顾析讨论手践学经历探究“导数的几何意义”的建构过程，从而准确理解“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法．理新提出问题：已知＝，求曲线＝在x＝的切线的斜率．活动设计学先独立思考，再由发言，老师点评，然后要求学生在练习本上写出过程．活动成果：思分：求得过(的切线的斜率可从经过2,4)任意一条直线(割线)入手．4解设P(2,4)，Q(2，＋Δx)，则割线的率＝＝＋PQΔx当Δx无趋近于0时k

PQ

无限趋近于常数4即f′＝lim(4＋＝0从而曲线y＝f(x)在P(2,4)处的切线斜为4.结合具体函数，理解导数的几何意义，会求过曲线上一点的切线的斜率．设计意图运新例曲线y＝f(x)＝＋点处切线方程．思分：切线方程，在知道切点的情况下，求出过点切线斜率即可．解k＝

lim0

f＝Δx

lim0

1－1－1＝Δx

lim0

＋＝2.因此，所求切线方程为y－＝2(x－1)即y＝2x.点：用导数求切线方程是数几何意义的重要应用曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①求出点坐标；②求出函数在点x处变化率f(x)0的切线的斜率；

lim0

fΔx＝k曲线在xf(xΔx③利用点斜式求出切线方程．8例2已曲线y＝x上一点，)，求：点处线斜率点处的切线3方程．思分：题是例题的巩固和延伸，基本方法一致，但在解析式的化简上有难度．解＝

lim

[]＝Δx

lim0

(12＋Δx＋)＝4.(2)因此，所求切线方程为y－＝4(x2)，即－3y－16＝0.222223222223点：用导数的几何意义求斜率切线方程的基本方法和步骤比较固定因函数的不同，运算难度也不同，待学习完导数公式后，此类问题运算难度将大幅度降低．例图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数＝－4.9x象，请描述、比较曲线h(t)在t、t、t附近的变化情况．012

＋＋，据图思分根据导数的几何意义线在某点处的瞬时变化率数在该点处的导数，也是通过该点的曲线的切线的斜率值．解我们用曲线h(t)在tt、t处的切线，刻画曲线h(t)在述三个时刻附近的变化情02况．(1)当t＝时曲线在t处切线l平行于x轴所以在＝t附近曲线比较平坦，00几乎没有升降．(2)当t＝时曲h(t)在处的切线l的斜率h(t所在＝附曲线下降，1111即函数h(x)＝－＋＋在t＝t附近单调递减．1(3)当t＝时曲h(t)在处的切线l的斜率h(t所在＝附曲线下降，2222即函数h(x)＝－＋＋在t＝t附近单调递减．2从图中可以看出，直线l的斜程度小于直线l的斜程度，这说明曲线在t附近比11在附近下降的缓慢．2点：过对曲线h(t)在ttt附近的变化情况的分析，图象在t到的间内一直022是单调递减，只是下降的缓慢程度有所不同．我们也能得出如下结论：从求函数在xx处数的过程可以看到x＝x时f(x是一个确定的数0样x变化时′便是一个函数称它为的函数简称导数作(x)或y′，即f′＝y′＝

lim0

fΔx通过本例，学生学习了导函数的概念，明确了函数在点x处导数f′(x与导函0数f′(x)之间的区别与联系：函在一点处的导数f′(x)，就是在该点的函数值改变0量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数；函数的导函数f(x)，是指函数在定义域的某一区间内任意点处的瞬时变化率，是随的变化而变化的，是变数．设计意图巩练．曲线y＝x在x＝0处的()A切线斜率为1B．切线方程为y＝2xC．有切线．切线方程为y＝．已知曲线y＝2x上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为)A．C．．．曲线y＝x＋－在P点的切线平行于直线＝4x，则此切线方程()Ay．y＝4x－C．＝4x＋．y＝4x或y＝4x－4332332．设f(x)可导函数，且满足条件lim0的切线的斜率为()

f＝－，则曲线y＝在点处2xA．C.D．－答：1.D4.D变演变式1.知曲线＝x上一点，以为点的切线斜率为9，求点的标．变式2.知曲线＝x

3

，求与直线x＋＋80垂，并与该曲线相切的直线方程．变式3.知曲线＝x，过R(1，)切线方程．3活动设计：学生先独立思考，独立完成，再进行交流、互相质疑．学情预测：对于变式，大部分学生可能只想到一种情况．活动成果：变式或－3－．变式－3y－16或－3y＋＝变式＝x－或3x＋1设意从多个方面设计利用曲线上一点的横坐标以该点为切点的切线斜率问题于过这一点”和“以该点为切点”的说法要区别开．达检．函数y＝f(x)在x＝x处导f(x的几何意义()0A在点x＝x处的函数值0B在点x，f(x))的切线与x轴夹锐角的正切值0C．线＝f(x)在(x，))处的切线的斜率00D．(x，与(连线的斜率00．已知曲线y＝x

2

－1上的两点A(2,3)，＋，Δx＝1时割线的斜率是__________＝割的率_曲在点A处切线方程是_．．如果函数f(x)在x＝x处切线的倾斜角是钝角，那么函数f(x)在x附近的变化0情况是_．．在曲线y＝x上哪一点的切线(1)平行于直线＝4x－5；(2)垂直于直线2x－＋＝；与x轴的倾斜角；(4)过点，－3)与已知曲线相．答：2.1y＝4x－53.逐渐下降91．(1)(2,4)；－，)(3)(－，)；(4)2xy1＝－－＝424课小本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开．先回忆导数的实际意义、数值意义到自引出从图形的角度研究导数的几何意义后比“平均变化率—瞬时变化率”的研究222333333222333333思路运逼近思想定义了曲线某点的切线引导学生从数形结合的角度思考获得导数的几何意——“导数是曲线某点处切线的斜率”．布作课本习题，B3补充练习3、、6.补练．一木块沿某一平面自由下滑，测得下滑的水平距离s与间之的函数关系为s＝t，则t＝2秒，此木块在水平方向上的瞬时速度()A．D.3．已知曲线y＝x－上点，)，则过点P的线的倾斜角()2AC．．．已知曲线y＝在点P(1,4)的切线与直线l平行且距离为17则直线l的方程为x()A4x－＋＝0或－y＝．4x－y＋9＝C．＋y＋＝0或4xy－＝0D以上都不对．线y＝与＝x在们交点处的两条切线与x__________

x轴围成的三角的面积为曲y＝x在(a≠0)的切线与x轴线x＝围成的三角形的面积为，则的为．．已知曲线：y＝x.求曲线C上坐标为的处的切线方程；第(1)小题中的切线与是还有其他的共点？答：2.B3.C6.(1)3x－y20；有．设说本节内容是在学习了“变化率问题数概念”等知识的基础上究导数的几何意义，因为新教材未涉及极限，于是尽量采用形象直观的方式生通过动手作图，自我感受整个逼近的过程，并用形象的几何画板及示动态的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想利导数的几何意义研究实际问题时点近的曲线可以用过此点的切线近似代替“以直代曲”而到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的通过两个例题的研究学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系并受导数应用的广泛性本节课注重以学生为主体一个知识每个发现及设法由学生自己得出课上给予生充足的思考时间和空间学生在动手操作动笔演算等活动后，再组织讨论，教师只是在关键处加以引导．备资补充练习：求函数＝x的导数．解任取x∈，≠0.f(x)＝x，f(x＋＝(xΔx)00

，330022Δy223323332330022Δy223323332ΔyΔxx＝＝3x＋(＋Δx)，ΔxΔx0f′)＝lim00

＝Δx0

[3x＋(Δx)＋Δx)]＝