多项式基础训练一

第一章多项式基础训练一一选择题．在P[x]中能整除任意多项式的多项式是()A．零多项式B．零次多项式C．本原多项式在P[x]里能被任意多项式整除的多项式是()A．零多项式B．零次多项式C．本原多项式D．不可约多项式D．不可约多项式．以下命题不正确的是()bQC若(f(x),f'(x))=1,则f(x)没有重因式；．有理系数多项式f(x)在数域Q上不可约是f(x)在Q上无重根的条件A充分B充分必要C必要D．既不充分也不必要．下列关于多项式的结论中不正确的是()A如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)=g(x)C如果f(x)g(x)，那么Vh(x)F[x]，有f(x)g(x)h(x)D如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)．下面论述中错误的是A实系数多项式必有实根；B代数基本定理适用于复数域；C．任一数域包含Q；D．在P[x]中f(x)g(x)=f(x)h(x)g(x)=h(x)设(f(x),g(x))=1则下列命题正确可多选A(f(x)+g(x),g(x))=1B(f3(x),gn(x))=1下列命题正确的是可多选3次的实系数多项式必可约3次的有理系数多项式必可约2次复系数多项式必可约0次的整系数多项式必不可约二填空题下列命题正确的是可多选fxfx下列命题正确的是可多选若f(x)|(g(x)+h(x))f(x)|(g(x)h(x))则f(x)|g(x)且f(x)|h(x)若f(x)|(ag(x)+bh(x))f(x)|(cg(x)+dh(x))且adbc则f(x)|g(x)且f(x)|h(x)下列命题中正确的是是上的可约多项式2x+2在上不可约可多选x在上不可约2x2+2在不上可约设f(x)=g(x)q(x)+r(x)其中f(x),g(x),q(x),r(x)P[x]则可多选g(x)和r(x)的公共根必是f(x)的根g(x)和r(x)的公因式是f(x)的因式f(x)和q(x)的最大公因式是q(x)和r(x)的最大公因式是g(x)和r(x)的最大公因式是f(x)和g(x)的最大公因式g(x)的根也是f(x)的根r(x)的根也是f(x)的根设f(x)=g(x)q(x)+r(x)其中f(x),g(x),q(x),r(x)P[x]则可多选(f(x),g(x))=(g(x),r(x))(f(x),q(x))=(q(x),r(x))(f(x),g(x))=(q(x),r(x))(f(x),r(x))|g(x)g(x)|(f(x),r(x))．一非空数集P包含和且对加减乘除四种运算封闭，则其为x．设g(x)=x+1是f(x)=x6k2x4+4kx2+x4的一个因式，则k=()．若g(x)f(x),h(x)f(x)，并且，则g(x)h(x)f(x)．设g(x)f(x)，则f(x)与g(x)的最大公因式为x．多项式f(x)g(x)互素的充要条件是存在多项式u(x)v(x)使得．设d(x)为f(x)，g(x)的一个最大公因式则d(x)与(f(x),g(x))的关系fx没有重因式的充要条件是互素请叙述代数基本定理请叙述余数定理三判断命题的对错并把不正确的改正若(f(x),f'(x))=1,则f(x)没有重因式零多项式能整除任意多项式设a是f(x)的根则a也是f(x)的根f(x)是一个次数大于次实系数多项式均可约a是f(x)的根则a也是f(x)的根次实系数多项式在R[x]中均可约次实系数多项式至少有一个实根第二章基础训练答案如果f(x)g(x)，那么Vh(x)F[x]，有f(x)g(x)h(x)(f(x),f'(x))的根都是f(x)的重数大于的根f(x)的根都是f'(x)的根f'(x)的根都是f(x)的根任意三次实系数多项式均可约存在任意次的不可约的有理系数多项式设p(x)f(x)g(x)则p(x)f(x)或p(x)g(x)设p(x)f(x)g(x)且(p(x)f(x))=1则p(x)g(x)若u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式若d(x)f(x)d(x)g(x)且存在u(x)和v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式若u(x)f(x)+v(x)g(x)=1则f(x)和g(x)互素f(x)和的最大公因式是设f(x)P[x]则f(x)在P[x]中有重因式当且仅当f(x)在P中有重根对于任意多项式f(x)f(x)在C[x]中有重因式当且仅当f(x)在C中有重根若f(x)在P中有重根则f(x)在P[x]中有重因式设f(x)g(x)q(x)+r(x)则(f(x),g(x))=(q(x),r(x))消去律的前提是f(x)0一选择题．在P[x]中能整除任意多项式的多项式是(B)A．零多项式B．零次多项式C．本原多项式D．不可约多项式在P[x]里能被任意多项式整除的多项式是(A)A．零多项式B．零次多项式C．本原多项式D．不可约多项式．以下命题不正确的是(D) Cfxfxfxfxfxfx)无重因式反例f(x)x21p(x)=x是f'(x)的21重因式但不是f(x)的因式．有理系数多项式f(x)在数域Q上不可约是f(x)在Q上无重根的A条件A充分B充分必要C必要D．既不充分也不必要这是因为若f(x)在数域Q上不可约则由于f'(x)的次数低于f(x)的次数所以(f(x),f'(x))=1从而f(x)在Q上无重根．下列关于多项式的结论中不正确的是(A)。A如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)=g(x)应相差常数倍C如果f(x)g(x)，那么Vh(x)F[x]，有f(x)g(x)h(x)D如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)．下面论述中错误的是DA实系数多项式必有实根；B代数基本定理适用于复数域；C．任一数域包含Q；D．在P[x]中f(x)g(x)=f(x)h(x)g(x)=h(x)设(f(x),g(x))=1则下列命题均正确可多选A(f(x)+g(x),g(x))=1B(f3(x),gn(x))=1下列命题正确的是A,C可多选A3次的实系数多项式必可约B3次的有理系数多项式必可约C2次复系数多项式必可约D0次的整系数多项式必不可约下列命题正确的是AC可多选A设f(x)不可约则f(x)无重根(T)若f(x)有重根则(f(x),f'(x))=d(x)1d(x)就是f(x)的因式与f(x)不可约矛盾反例:f(x)=(x1)(x2)无重根但是可约若f(x)在C中有重根则(f(x),f'(x))=d(x)1由于f(x)是有理系数多项式所以辗转相除法在Q上可以进行且得(f(x),f'(x))=d(x)1其中d(x)就是f(x)在Q[x]中的因下列命题正确的是B,C可多选A若f(x)|(g(x)+h(x))则f(x)|g(x)或f(x)|h(x)反例f(x)=x,g(x)=h(x)=1B若f(x)|(g(x)+h(x))f(x)|(g(x)h(x))则f(x)|g(x)且f(x)|h(x)C若f(x)|(ag(x)+bh(x))f(x)|(cg(x)+dh(x))且adbc则f(x)|g(x)且f(x)|h(x)Dfxgxhxfxgxfxhxf(x)不可约时该结论成立下列关于多项式的命题中正确的是C,D可多选设f(x)=g(x)q(x)+r(x)其中f(x),g(x),q(x),r(x)P[x]则(可多选)g(x)和r(x)的公共根必是f(x)的根g(x)和r(x)的公因式是f(x)的因式f(x)和q(x)的最大公因式是q(x)和r(x)的最大公因式g(x)和r(x)的最大公因式是f(x)和g(x)的最大公因式g(x)的根也是f(x)的根r(x)的根也是f(x)的根设f(x)=g(x)q(x)+r(x)其中f(x),g(x),q(x),r(x)P[x]则可多选(f(x),g(x))=(g(x),r(x))(f(x),q(x))=(q(x),r(x))(f(x),g(x))=(q(x),r(x))(f(x),r(x))|g(x)g(x)|(f(x),r(x))二填空题．最小的数域是Q．一非空数集P包含和且对加减乘除四种运算封闭，则其为数域．设f(x),g(x)F[x]，若?o(f(x))=0,?o(g(x))=m，则?o(f(x).g(x))mfafbxbfaaf(b)．设g(x)=x+1是f(x)=x6k2x4+4kx2+x4的一个因式，则k=(2) ．若g(x)f(x),h(x)f(x)，并且(g(x),h(x))=1，则g(x)h(x)f(x) ．设g(x)f(x)，则f(x)与g(x)的最大公因式为g(x)．f(x)与常数c的最大公因式是cu(x)f(x)v(x)g(x)．设d(x)为f(x)，g(x)的一个最大公因式则d(x)与(f(x),g(x))的关系相差常数倍多项式f(x)没有重因式的充要条件是f(x)与f'(x)互素任意次数大于等于任意次数大于等于的多项式在复数域中有一个根fa三判断命题的对错并把不正确的改正这是因为由f(x)g(x)可知存在多项式h(x)使得g(x)f(x)h(x)所以两边取共轭可得结论零多项式能整除任意多项式零次多项式能整除任意多项式或零多项式能被任意多项式整除设a是f(x)的根则a也是f(x)的根对于一般数域上的多项式f(x)若a是f(x)的根则a是f(x)的根设f(x)是实系数多项式a是f(x)的根则a也是f(x)的根正确结论为设f(x)是实系数多项式若a是f(x)的根则a也是f(x)的根次实系数多项式均可约这是因为实系数多项式的复根成对出现所以必有一个根是实根即至少有一个实系数的一次因式和一个二次因式次有理系数多项式在Q[x]中均可约次实系数多项式至少有一个实根与同理反例f(x)x在Q上不可约但f(x)有有理根反例f(x)=(x2+1)(x2+2)在Q上可约但f(x)无有理根如果f(x)g(x)，那么Vh(x)F[x]，有f(x)g(x)h(x)(f(x),f'(x))的根都是f(x)的重数大于的根f(x)的根都是f'(x)的根f'(