小学奥数-同余问题

实用文档余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余理及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。知识点拨：一、带除法的定义性质：一般地，如果a是数b是数b≠）若有÷……，也就是a＝b×＋0≤r＜；们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当(2)当

rr

时：我们称a可被整，称为a除商或完全商时：我们称a不以被b整，为以商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本这个a就可理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，么是除数的角色，经过打包后共打包了捆，么这个c就商，最后还剩余d本这个就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。二、三余数定理：余数加定a与b的和以c的数，等于a,b分除以c余数之和，或这个和除以c的余数。例如：，除以5的余数分是和，所以23+16=39除的数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以余数。例如：，除5的余分是3和4，故23+19=42除的数等于3+4=7除5的数即2.余数乘定a与b的乘除以c的余，等于a,b分别除以的余的积，或者这个积除以c所的余数。例如：，除以5的余数分是和，所以23×16除的数等于3×1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以余数。例如2319除以5的数分别3和4，以23×19除余数等于3×除5的数，即2.标准文案

实用文档同余理若两个整数ab被然数m除相同的余数那么称ab对模m同用子表示为a≡b(m)，左边的式子叫做同余式。同余式读作a同余b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除同一个数m得的余数相同，则a，的差定被m整用式子表示为：如果有a≡b(mod，那么一定有－＝mk,k是数，即m|(a－b)三、弃法原理：在公元前9世纪有个印度数家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术们在计算时通是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式

6789678899231234除9的数为11898除9的数为818922除9的数为4678967除9的数为7178902除9的数为0这些余数的和除以9的余为2而等式右边和除以9的余为3那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那左边几个加数除以9的余的和再除以9的数一定与等式右边和除以9的数相同。而我们在求一个自然数除以9所的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余就可以了，在算的时候往往就是一个9一9的并且划去，所以这种方法被称作“弃九法所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9时等式两边的除以9的余数都是0但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。标准文案

实用文档四、中剩余定理：中国代题中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰三此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人列余1人5人列余2人7人列余4人13一列余……。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每一列、人列13人列、17人列都剩3人则兵有多少？首先我们先求5、、1317之最公倍数9945（：因为5、、17为两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积后加3得9948（人孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国余定理。中国剩余定理（ChineseRemainder）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。核心想方：对于这一类问题们一套看繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法面们就《孙子算》中的问题为例，分析此方:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以37后，得到三个余数分别为232.那么我们先构造一个数字，使得这个数字除以3余，并且还是5和公倍数。先由

，即5和7的小公倍数出发，看35除，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数

70

是否可以，很显然70除3余1类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是和7公倍数的数字，显然21可符合要求。最后再构造除以7余1，同时又，公倍数的数字45符要求，那么所求的自然数可以这样计算：45233[3,5,7]

，其中k是1开的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数那么我们可以计算

得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数,标准文案

实用文档我们只要对最小的23加[3,5,7]可，即。例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【1】(五小数报赛赛用某然a去1，得商46，数r求和r【析因为是a的46倍多r,得到43......14，得46所以a，r．【固(清附小初班试)甲、乙数和1088甲数除乙商余，甲乙数【析(法1)因甲

乙32，以甲

乙

乙32

乙1088；则乙32)，1000．(法将数先去掉变成整除性题，利用倍数关系来做：中掉32以后，1056就当是乙数的(11倍，所以得到乙数，甲数881000．【固一个两数，余是37，求这的位。【析本题为数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差可得到一个除数的倍数。本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3××13，所求的两位数约数还要满足比大，合条件的有39，91.【】2003年全小数奥匹试题)有个然相，是17，数是3，知除、除、与数和，则除是少【析被除

除数

商

余数

被除数

除数+17+13=2113，所以被除数

除数=，于被除数是除数的17倍还多13，则由“和问题”可得：除=（2083-13）÷17+1）=115，以被除数=2083-115=1968．【固用一个然去另个然，为，数被除、数商、数和933求这2个然各多？【析本题带余除法定义式的基本题。根据题意设两个自然数分别为x,y，可以得到

xyxy933

,解程组得

x856y

，即这两个自然数分别是856，【3】(2000年祖之”小数邀赛题)三个不的然的为2001，它分除所得商同所的数相，三数_______，_______，_______【析设所的商为a，数为．)(23a(31)2001，a2001，，可求得27，b．以这三个数分别是19，a，31。标准文案

实用文档【固(2004福市迎杯小数竞试题一自然，以时所到商余数相的除时得的是数3倍这自然是．【析设这自然数除以11余a(09余b1b3b，只有a所以这个自然数为

1284

。【4】(1997我数少数夏营题)48本书给组朋，知二比一多5人如把全分第组那每4本有余每5本书够如把全给第组那每3本，有余每4本书够问第组多人?【析由48，489.6知一组是10或11人．同理可知，48知二组是13、或15人因为二组比一组多，所以二组只能是15人，一组10人【固一个两数以13的商是6，以11得余数6求这两数【析因为个两位数除以13的是6这个两位数一定大于378小于1；又因为这个两位数除以11余，而78除11余，这个两位数为78．【模块二：三大余数定理的应用】【5】有个于1的数除所得余相，这数【析这个没有告诉我们，这三个数以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．10145565945，(56,14)，14的数有，以这个数可能为。【固有一个数除39,51,147得的余都3求这数【析法1)，，(36,144)，12的数是1,2,3,4,6,12，为余数为3要于除数，这个数是4,6,12；(法2)由所得的余数相同，得这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．39，147，，以这个数是．【固在小于1000的自数，别以18及33所得数同数多个?余可为0)【析我们道18，的最公倍数1833]=198所以每198数一次．1～198之只有1，，，，，198(O)18个数以18及33所的余数相同，标准文案

实用文档而999÷198=5……9，所以共有518+9=99个这样的数．【固(2008年华考)个位除1719都余，且除17后所得商余的等它以19后得的与数和那这的位中大数多，小是少【析设这三位数为以和19的分为和分别为和n

．根据题意可知a所以s，得ab．以是9的倍数，b是8的数．此时，由a知aa．9由于为位数，最小为100，最大为999所以1，1，所以17a，，到5，而a9的数，所以最小为，最大为54．当a时，a，n18所以，此时s最为1；当a时a，由于m，所以时最为17154．所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154【6】两自数ab与以7都余1，并a求ab．【析能被7整除)7整以只能有可能为92和81，验算可得当时29满题目要，ab9229

【固学校新来个乒球67个乓拍33个乒乓球如将三物平给个级那这种品下数相．问校有少班【析所求级数是除以18,67,33余相同的数．那么可知该数应该为16751和6734的公约数，所求答案为17．【固(2000年国小数奥匹试)除13511，13903及14589时能下同数最大数是．【析因为

1,14589

，由于1351113903，14589要被一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．

(392,686)98

，所以所求的最大整数是98．【7】(2003年南京少数智冬营题)2与2003

的除7的余数________【析找规．用7除2，

，2

，

，

，

，的数分别是2，4，，2，4，，,2标准文案

实用文档的个数是的倍时，用7除的余数为12的个是倍数多1时用7除余数为2；的个数是的数多2时用7除余数为因为

所2

除以7余4．又两个数的积除以的余，与两个数分别除以7所得数的积相同．而除7余1，所以2003以7余1．故与2003的和除以7余数是．

除【固(2004年京市年学力令试)19951998，200020012003中，其几数的被除余，则这个归一．样数共_组【析1995，，2000，2001，除以9的余依次是，，，，．因为2，，所以这样的数组共有下面4个

2000,2003

，

，

1998,2000,2003,2001,1995

【8】(2005全国学学林克题)一整，它除70，，所到3余之是50，那这整是______．【析50290，5016......2，数应当是290的于小于70的数，只可能是和，58，

50

，所以除数不是58．292......12，110，，

2315

，所以除数是【固(2002年全国学学林克题)自数n去除6391，129得的个数和25，么n=________【析n能整

9125

．因为25，以n是大8的数显然n不能大于63．合条件的只有43【固号码分为101,126,173,193的4个运员行乓比,规每人赛盘是们码的被除所的数那打盘数多运员了少?【析本题以体现出加法余数定理的用。计算101126173除以的数分别为2，，，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用201两相加除以3即。显然126运员打5盘最多的。【9】(2002年《小生学》学请试)名小生别着14元17元、元、21元元、元，起新书购《语词典一定才现个人带钱够但其甲丙人钱在起恰可2本戊2人钱在起好可1本这标准文案

种成大典的价________．【析六名学生共带钱133元133除3，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，以他们五人带的钱数是3的倍数，一人带的钱除以3余．易知，这个钱数只能是37元所以每本《成语大词典》的定价是26)(元．【固(2000年国小数奥匹试)店有箱物分别15161920，千，两顾买了中五．已一顾买货重是一顾的2倍那么店下一货重是_______千．【析两个客买的货物重量是3的数．202)39...2下的一箱货物重量除以3应余2能是20千．【】求24616047的数【析因为2461223...8，12...3，6047，据同余定理三)，2461的数等于的余数，而8，19217...5，以24616047余数为5【固(华罗金赛拟题)296351除的余．【析先出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以的余，再求余数之积除以的余．除17的数分别为2，711，(29......1．【固求

的后位．【析即考

除以100的余数．由于100，于3

除25余，所以

除以25余8，

除以25余24那3

除以25余1又为3

除以4余1，则3

除以4余1即

能和整除而4与25互质，所能100整除，即3除以余1，由于20，以3除100的数即等于3除100的余数，而除100余29，3

除余，3

(3

，所以

除以100的数等于29除100的余数，而29除以100余63所以363．除13所余是_____.【固22222000个"2"

除以100余63，即3

的最后两位数为【析我们现222222整13，20006余2所以答案为22÷13余。标准文案

实用文档【固求43除7的数【析法一由于1437(143被7除3)，所以1143被7除所余数与3被7所得余数相)而

729，729

7

（729除以7的数为1所以个

故1法二：计算3

除以7的数为5.被7除所得的余数可以用找规律方法，规律如下表：

3

3

3

mod7

于是余数以6为周变化．所以3

7

．【固（2007实中考）

2001

除7的数多？【析由于

2002

2002

10011001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍，故1

除的数是；被13除所的数多？【固31【析31被13除得的余数为5，当n取1，，，

时

被13除得余数分别是5，12，，，128

以4为周期循环出现所以5

被13除余数与5

被除的数相同则除以的余为12；30被13除得的余数是4，当n取，

时，被13除所得的余数分别是4312，，10，，，，，，，除所得的余数，即4，故30

以6为周循环出现，所以除以的余为4；

被13除所得的余数等于4

被13所以31

被13除得的余数是2．【固(2008年数网)知

，：a除以所的数多？【析2008除以13余6，10000除13余，注意到20082008100002008；标准文案

实用文档200820082008200820082008；20082008200810000；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除13余除余1200820082008是的倍．而2008除3余1所以a20082008【固77741的余是少个

除13的数与2008除13的数相同，为6.【析找规：4177777是的倍而3991所成399段77777和1个7组成那么它除以41的数为7．【固2005除10所得的数多？【析求结除以10的余即求其个位字．从1到20052005个数的个位数字是10个一环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个循环的，因此把所有加数的个位数按每20个20是4和10的小公倍)组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算

的个位数字，为194的位数字，为4，由于2005个数共可分成100组5数100组的个位数字和是4的位数即0另外5个数为

、

、

、

、

，它们和的个位数字是23的位数3，所以原式的位数字是3即除以10的余数是3．【】求所的数P使

与p

也质．【析如果，则p，都是质数，所以5符合题意．如果P不于5，那么P除以5的余为1、2、或4p

除以5的余即等于

、2

、3

或者

除以5的数，即149或者16除5的数有种情况如果p

除以5的数为1那么4

除以5的数等于除5的数，为0，即此时4被除，而4于5所以此时

不质数果

除以5的余数为4理可知6p

不质数以P等于，标准文案

实用文档

与p

至有一个不是质数，所以只有足条件．【固在图的二中恰填～98这个，得一列下个因的积以11所得余都3【析因两个数的乘积除以11的余数，等于

因因

909192949597两个数分别除以11的数之积因此原题中的98可以改换为110这样上下两数的乘积除以11余3就易计算．我们得到下面的结果：进而得到本题的答案是：

因因因数因数

9091929495977521048909192949597958997949092【固(2000“杯试)3三位数积算234235286(其)在校时发右的的字序现误但知最一6是正的问式的是多？【析由于，bcaa)

(mod9)，于是)，从而用a代上式检)a2,5,8(mod9)…(1)，进讨论：如果a，那么b…(2)，c的位数字是，所以的位数字为4，可为4、、8、，中只有(,)(4,1),(8,3)符，检验只有983符题意．如果ab…的位数字2或7b可为2、、7，其中只有(b,c)符(3)经检验，821不合题意．如果a么b4,7,1(mod9)…(4)可为其中有符(4)的b,c如果a，么，，600，此这时abc不能符合意．综上所述，983本题唯一的解．【】一个于1的去，，200时得余分为a，a，这自数多？【析根据意可知，这个自然数去除，233，195，得到相同的余数（都为既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个标准文案

实用文档自然数是约数，又是233的约数因就是57和38的约数因为57和的公数只有19和1，而这个数大于，所以这个自然数是．【固一个大10自然数除90、后得两个数和于个然去后所得余数则个然是少【析这个然数去除90、164后得两个余数的和等于这个自然数去除164254所得的余数254和220除这个自数后所得的余数相同这自然数是25434的数，又大于，个自然数只能是17或是34如果这个数是34那么它去除、164、220后得的余数分别是22、28、，符合题目条件；如果这个数是17，么他去除、164、220后所得的余数分别是5、、，合题目条件，所以这个自然数是17．【】甲、乙丙数别为603，，．某A除甲所余是A除乙所余的2，除数得数A除丙所余的2倍求A等于少【析根据意，这三个数除以A都余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：603AK

r939

r

393A

r由于rr，r2r，要消去余数r,r,r,们只能先把余数处理成相同的，再两数相．这样我们先把第二个式子乘以2使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：603AK

r

K

2r

AK

4r这余数就处理成相同的两相减消去余数着被A整．1275，969，．51的约数有1317，中3显不满足，检验17和51可17满足，所以A等17．【固一个自数429、791500所得的数别、a、a，求个然和的值【析将这数转化成被该自然数除后数为2a的：791、5001000，样这些数被这个自然数除所得的余数都是a，同.将这三个数相减到1000152求自数一定是5和152公约数，而

，以个自然数是9约数，显然1是符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是9时，除、791、500所的余数别为11、、，时成,所以这个自然数是9.【模块三：余数综合应用】标准文案

实用文档【】著名裴那数是这的112、、5813……串列中2008个除所得余为少【析斐波契数列的构成规则是从第个数起每一个数都等于它前面两个数的和此以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所余数的数列：1、1、、、、、、、、、、0……第九项和第十项连续两个是，第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每个一周期循环出，由于2008除的余数为0，以第项3除得的余数为第项被3除得的余数，为0.【固（2009年走初六级有一数1，12，58，…，第个起每数都前个之，这数前2009个中有个的数【析由于个数的和除以5的余数等这两个数除以的余数之和再除以5的余．所以这串数除以5的数分别为：，1，，，03，3，1，，，，，，，，，，，1，0，，，，，，可发现这串余数中，每20个数一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍于4以2009个数中401个是的倍．【】(圣得堡学林克题托想一正整并求了分除36和的余现知三数和．求数以18的数【析除以3、和9的数分别不超过2，，，所以这三个余数的和永远不超过

，既然它们的和等于15，以这三余数分别就是，5，．所以该数加1后被3，，整，而，该数为，m，（m为零自然数所以它除以的余只能为17．【固(2005年香港公小数奥匹试)个庭有父母兄妹人他任三的数和是的整倍每的数是个数四岁数和100，父亲数大问母是少?【析从任三人岁数之和是3的倍除余1知四个岁数都是3型数是数有7，，，，，，就容易看出：父43，母37岁，13岁妹7岁【】(华赛试)图在个圈上几个(到100个)小像玩棋那，A出沿逆针向每几跳步希一以后跳到孔．先着隔2孔跳步结只跳孔他又着隔4孔跳步也能到孔．最他隔6跳一，好回A孔，知道个圈共多个吗

标准文案

实用文档【析设想圈上的孔已按下面方式编号A孔编为1然后沿逆时针方向顺次编号为2，，，…，孔的号就是圆圈上的孔数．我们先看每隔2孔一步时小跳在哪些孔?很容易看出应在14710…上也是说，小明跳到的孔上的编号是3的数加1按题意，小明最后跳到B孔，此总孔数是3的倍数加1．同样道理，每隔孔一步最后跳到B，就意味着总孔数是5的数加1；而每隔6孔跳步最后跳回到A孔就意味着总孔数是倍数．如果将孔数减，那么得数既是3的数也是的倍数，因而是的倍．这个的倍加上1就于孔数，设孔数为a，（m非零自然数）而且a能7整．注意15被7除余1，所以1被余15倍1正被7整．我们还可看出15的其(小于的7)倍数加都能被7整，而1105已经大于1007以的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是．【固(1997年国小数奥匹试)12345678910111213......次到1997个字组成一个1997位，么数以9余是________．【析本题一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．9共有个数，10共90个位数，共有数字：(个,100999共900个三位数，共有数字：900(个,以数连续写，不会写到999,从开是3位数每三个数字表示一个数，，有602个位数，第603三位数只写了它的百位和十位．从100开的第602个位数是701第603个位数是，其中2未出来．因为连续个然数之和能被9除，所以排列起来的9个然数也能被9整，702个数能分成的组数是：70278(组，依次排列后，它仍然能被9整，但7022未出来，所以余数为9-2．【】设2质，明：1

，

，，

被n除得余各相．【析假设两个数、，)它们的平方

，

被2n除数相同．那么，由同余定理得

0(mod(2n，(a)n1))，由于2是数，所以an或0(mod(21))于小于且大于与2互，也互，即，a都能被n整，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证．【固试求不于100且

能被11整除所自然n的．【析通过次计算，可以求出3标准文案

被11除余数，

实用文档依次为：

为3，3

为9，

为5，

为4，

为1，…，因而3

被11除余数5个成一个周期，95，，1，，，，4，，…；类似地，可以求出7

被11除余数个构一个周7，，，，10，，，，8，，……；于是被11除余数也是10个构成一个周期，，，，，，，…；这就表明，每一个周期中，只有第、、6这三个数满足题意，即3,4,6,13,14,16,......,93,94,96时3被11整，所以，所有满足条件的自然数n的和：94283【固若a为自数证10

2005

)．【析，于

与

的奇偶性相同，所以(a

2005

1949

)．

a

如a能被5整那5

(

如能被除那被5除的数为1、2、或者4，被5除余数为、2、3、4被5除的数，即为1、16、、256被5除的余数，而四个数除以5均余1，所以不管a多少，a被5除余数为1

)14个

相乘

除以5均1

能5除5a

(

以5(

2005

1949

)．由于2与5互质所以0(a1949)．【】设n为整，k2004，k被7除余数2k被11除余为3求的最值【析2004被7除数为2，11除数也为2所以

被除数为2，11除余数3．由于21

被7除，而

被7除余，所以除以3的余数为1；由于

除余3，2

1024被11除余1，所以除以10的余为8．可见n是3和10的倍数，最小为

30，以的最值为28．【固有三个续然，中小能15整除中间能17整除最的被19整除请出组样三连自数【析设三连续自然数中最小的一个，则其余两个自然数分别为，．依题意可知：||的性质对这三个算式进行变换：标准文案

|15|215|[15,17,19]|

|

从上面可以发现2应15、、19的公数．由于[15,17,19]所以2n为2是数可得4845k．当n2430，2431，2432，以其中的一组自然数为2430、2431、2432．【】(2008年西实考)123，…n中，取57个，这57个必两数差为13，则n的大为少【析被13除同余序列当中，如余1的同序列，14274053、…，其中只要取到两个相邻的，这两个数的差为13；果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，同的同余序列当中不可能有两个数的差为，对于任意一条长度为的序列，都最多能取x个，使得取出的数中没有两个数的差为13即从第1数起隔1个个基于以上，个分成13个序列每条序列的长度为或，个长度差为1的列要使取出的数中没有两个数的差为13能够被取得的数的个数之差也不会超过，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13则这57个数被分配在13条序中在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个列有8个列分配了个数5个列分配了5个，则这13个序列中个长为8，个长为9那么当n最为时，以取出57个数，其中任两个数的差不为13所要使任取个数有两个数的差为13那n的大值为108．【固从1，，34…中N个同数，出数任三的能整除N最为多？【析取出个同的数中，任意三个的和能被15整除则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍被15整，以这个余数只能是，或．12007中除以15的数为0的5个15余数为的1515，有134个；以15余数为10的5，15，…，，共有134个．所以N最为134【】将自数1234…依写去若终到2000成119992000，么个然数以99余？【析由于99，可以分别求这个数除以和11的数，进而求出它除以99的数．实际上求得这个数除以9和11的数均为这个数减去3是11的倍数也99的数，标准文案

实用文档所以这个数除以99的数为3．下介另种法由于00a9900a除的数等于除99的余数10000a1000000…等数除以99的数等于除的余数．可知，一个自然数a，果在它后面加上偶数个0那么这个数除以99的数等于a除99的数．根据这一点，可以把分若个后面带有偶数个0的数和．由于2319992000的位数是奇数，那么对于组成19992000的位数1，，，……，，可以分成00，，，，00；对于其中的两位数1012……98可以分成1，990000；

110000120000…，对于其中的三位数100，101，，……，两两一组，可以分成00，00，1041050000，…，9989990000；对于其中的四位数1000，，……，，，可以分成

，00，00，…，，2000．那么上面分成的所有数中，虽然每个数后面的0的个数互不相同，但都是偶数个，且它们的和恰好为2319992000119992000除99的余就等于分成的这些数除以9的数的和．由于这些数除以99的数分别11011……102103，104105…9989991001……1999而其中100101102103104105……，998999是差为2002的等数，共450，可知所有这些余数的和为：45672000

102103998999

2252254905，而248804130除99的余数等30除以99的余数，为3所以2319992000除以的余为3．【固将1至2008这个自数按小大次依写，一多数：，试这多数除9的数【析以这八位数为例，它除的数等于

被9除的余数，但是由于1999与除余数相2000与除的余数相同，所以标准文案

实用文档就2000除的余数相同．由此可得，从开的自然数12345678910111213之和除以的余相同．

20072008被9除余数与前个自然数根据等差数列求和公式，这个和为：

2

，被9除的数为1．另外还可以利用连续9个自然之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，……199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除余数相同．因此，此数被9除余数为1．【】(2008年华中题)知n是整，定!

，令m

2007!2007，整m除2008余为少【析

m

2!

2007!2008能整除，所以2008!的数是2007．【固1991的末位是少【析首先仅考虑后三位数字，所求数目相当1的末三位．而993997995

平方再乘以9999其末三位为7105；然后来看前者．它是一个奇数的平方，设其为为奇)，由于258余12是8的数25是200的数，设25，以它与105乘积m，所以不论的值多少，所求的末三位都是625．【】有2个位相的是个位，的后位1031第个各位数之是10，第个的个数之是8求个位的。标准文案

实用文档【析本题件仅给出了两个乘数的数之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的数分别为和，所以等式一边除以9的数为8，那么1031除的余也必须为8，eq\o\ac(□,只)eq\o\ac(□,)能是3.将31031分质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即

3103131所以两个三位数是和217，么两个三位数的和是360【】设

的位字和，A各数之为，B的各数之为C的各数之为，那？【析由于个数除以9的数与它的各位数字之和除以9的余数相同以2009

与、B、除以9都余，而2009除的数为2则

除以的余数与

除以9的数相同，而

64以9的数为，所以2

除以9的数为2

除以9的数即为5．另一方面，由于2009

10000

，所以

的位数不超过8036位那么它各位数字之和不超过9，A；那么的各位数字之和B，B的位数字之和C，C小18且除的数为5那为或14C的位数字之和为5，即．课后练习：练1.(2002年全小数奥林克题两相，余，除、数商、数数和等于，则被数______．【析因为被除数减去8后是除数的倍，以据和倍问题可知，除数为

，所以，被除数为

。练2.

已2008被一自数去，得余都10那这的然共多个【析本题为道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的数同时还要满足大于10这条件这样题目就转化为1998有少个大于10的数，

，共有（）×（3+1）×1+1=16个数，其中1，，3，6，是10标准文案

实用文档小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个。练3.(国学学林匹试)张片分标1193、1842、1866、1912、六个数甲3张乙2张丙1张，果现、各手卡上数和个是—人倍，丙中片的是________．第届数报学赛赛【析根据甲、乙二人各自手中卡片的数之和一个人是另一个人的倍”知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍．计算这六个数的总和是19310565，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手卡片上的数为1193练4.

求6443的数【析本题余数乘法定理的拓展模式数字的乘方与一个数相除的余数情况6443÷余求原式的余数只要求

12

的余数即可。但是如果用2÷发会进入一个死循环，因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整，

6

，64÷余数7，那么求12余数就转化为求

64

的余数，即÷的余。49÷余数11，所以原式

的余数为11.练5.

已60，，200被某自数所的数别a，a，，该然数值【析根据意可知，自然数61，154被该数除所得余数分别是，

，

．由于a

，以自然数61

与154同；由于a

，所以619394与同余，所以除数是3721和93949193的约数，运用辗转相除法可得到(3567,9193)29该除数为29经检验成立．练6.

(港公小数奥匹试)三学，高A校B校10人，B校比C校人三共高生2196人．有所校中数高中数