机械振动A完全

机械振动A完全2

一般地说,任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以称为振动。

振动有机械振动、电磁振动、光振动…...。本章着重研究机械振动。而振动中最简单最基本最有代表性的是，这将是我们学习的重点。学习中的重点和难点是：相(phase)3§10-1简谐振动的一般概念一.简谐振动的运动学方程

一质点沿x轴作直线运动，取平衡位置为坐标原点，若质点对平衡位置的位移(坐标)x随时间t按余弦变化,即则称质点作简谐振动(谐振动)。式(10-1)也称为振动方程。上式中:A,,为谐振动的三个特征量,均为常量。x=Acos(t+)(10-1)4

如图10-1所示,取平衡位置为坐标原点，物体对平衡位置的位移为x时,所受的弹性力为图10-1xmko(平衡位置)x(10-2)式中:k为弹簧的倔强(劲度)系数;负号表示力与位移的方向相反。根据牛顿第二定律，物体在此弹性力的作用下的力学方程是二.简谐振动的动力学方程5(10-3)上式就是简谐振动的动力学方程。简谐振动的动力学方程描述的是简谐振动的普遍规律。这个方程的解为

x=Acos(t+)这正是简谐振动的运动学方程。

注意:研究简谐振动时,坐标原点只能取在平衡位置。平衡位置:ox(原长)m(平衡位置)k图10-2图10-36x=Acos(t+)四.谐振动的特征(10-4)A

—振幅(对平衡位置最大位移的绝对值)。

—角频率—初相(t=0时的相)。等幅振动，A不变；周期振动，x(t)=x(t+T)。(t+)—相(位相，相位，周相)。三.三个特征量周期振动，x(t)=x(t+T)。T表示完成一次全振动所需要的时间表示一秒完成全振动的次数7加速度：五.质点的振动状态完全由相位确定x=Acos(t+)质点的简谐振动状态由下面两个物理量确定：速度：a=-2x显然，它们都是谐振动。—运动学特性(动力学方程),

m=A(10-5),

am=2A(10-6)—动力学特性k=m2(10-7)8x=Acos(t+)(t+)=0,x=A,=0—正最大(t+)在第1象限,x>0,<0(t+)=+/2,x=0,<0—平衡位置(t+)在第2象限,x<0,<0

(t+)=,x=-A,=0—负最大(t+)在第3象限,x<0,>0(t+)=3/2,x=0,>0—平衡位置(t+)在第4象限,x>0,>0(t+)=2,x=A,=0—正最大显然，它们由相位唯一确定。9六.振动的超前与落后设有两个同频率的谐振动：

x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)>0,振动x2超前x1(2-1)

；<0,振动x2落后x1(2-1)

；=0,振动x2和x1同相；=,振动x2和x1反相。相差=2-1例1x=Acos(t+)

=-Asin(t+)=Acos(t++/2)a=-

2Acos(t+)=

2Acos(t++)=-

2x超前x/2；

a超前/2；a与

x反相。

10例2x1

=0.3cos(t)

x2

=0.4cos(t)x2超前x1

=0.4cos(t)x1超前x212图10-411x、、a

的位相关系：图10-512x=Acos(t+)

=-Asin(t+)振动势能：振动动能：

对弹簧振子(任何一个谐振动也都可以等效为一个弹簧振子)，有

k=m2(10-9)(10-8)=恒量(10-10)总能：七.简谐振动的能量13

(1)由上面可以看出,谐振系统的动能和势能都随时间t作周期性的变化；而且,动能和势能的周期为其振动周期的二分之一。势能最大时,动能最小;动能最大时,势能最小。但系统的总机械能守恒。(2)平均势能：平均动能：=恒量14(3)振动势能与弹性势能一般是不相同的。振动势能：其中x是对平衡位置的位移。弹性势能：其中x是弹簧的伸长量。例xo(原长)(平衡位置)xmxomxo(原长)(平衡位置)x151.解析法：角频率由谐振系统确定。(10-11)对弹簧振子：§10-2简谐振动的描述!

振幅A和初相由初始条件(即t=0时刻物体的运动状态)来确定：当t=0时，xo

=Acoso

=-Asin(10-12)(10-13)

=-Asin(t+)x=Acos(t+)x=Acos(t+)16

例题10-1一质点沿x轴作谐振动，周期T=s,t=0时，求振动方程。解：+代入：x=Acos(t+)17

例题10-2有一轻弹簧，当下端挂一个质量m1=80g的物体而平衡时，伸长量为4.9cm。用这个弹簧和质量m2=40g的物体组成一弹簧振子。若取平衡位置为原点，向上为x轴的正方向。将m2从平衡位置向下拉2cm后，给予向上的初速度o=10cm/s并开始计时，试求振动方程。解：由m1g=kx,得t=0时,xo=-2cm,o=10cm/s=2.06cmxooxot=0图10-6m18=0.25=14.04°=0.24

radt=0时,xo=-2cm,o=10cm/s应取：=0.24

+=3.38(rad)所求振动方程为

x=2.06cos(20t+3.38)cm把A=2.06cm,=20,=3.38代入x=Acos(t+)xooxot=0图10-6m19

例题10-3如图，有一光滑水平面上的弹簧振子，弹簧的倔强系数k=24N/m,物体的质量m=6kg,静止在平衡位置。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体，使之由平衡位置向左运动了s=0.05m,此时撤去外力F。取物体运动到左方最远处开始计时，求：(1)物体的运动方程;(2)何处Ek=Ep?解(1)A=0.204=x=0.204cos(2t+)m振动能量来源于外力的功:smFkxo图10-720(2)何处Ek=Ep?(A=0.204)smFkxo图10-721

例题10-4在一竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量m=100g的物体,当物体处于平衡状态时,再对物体加一拉力使弹簧伸长,然后从静止状态将物体释放。已知物体在32s内完成48次振动，振幅为5cm。

(1)上述的外加拉力是多大？(2)当物体在平衡位置以下1cm处时，此振动系统的动能和势能各为多少？

解(1)xomlo(原长)(平衡位置)图10-8

设物体在平衡位置时弹簧伸长lo，有

mg=klo22

加拉力F后的平衡条件：F+mg=k(lo+A)F=kA=0.444NFmgAxomlo(原长)(平衡位置)图10-8

知弹簧此时又伸长x=A加拉力F后将物体静止释放,此时弹簧又伸长多少?mg=klo,m=100g,A=5cm=5cm。F?23(2)当物体在平衡位置以下1cm处时，此振动系统的动能和势能各为多少？总能:=4.44×10-4J势能:=1.11×10-2J动能:Ek=E-Ep=1.07×10-2Jxomlo(原长)(平衡位置)Amg=klo,m=100g,A=5cm24oM=A负最大

()平衡位置(+/2)平衡位置(-/2)

矢量oM绕o点以角速度作逆时针的匀速转动,

端点M在x轴上的投影点(p点)的位移：x=Acos(t+)

显然，p点的运动就是简谐振动。

矢量oM与x轴正方向间的夹角：(t+)—相正最大

(0)x=Acos(t+)

=-Asin(t+)MA图10-9oxoM转一圈,就是谐振动的一个周期T。(t+)px

=-Asin(t+)2.旋转矢量法25ox例题10-5求简谐振动质点的初相。(1)t=0时，xo=-A,=。(2)t=0时，质点经过平衡位置正向x轴正方向运动,则=3/2(或-/2)。(3)t=0时，xo=A/2，质点正向x轴负方向运动,则=xo

=Acos(4)t=0时，质点正向x轴正方向运动,则

=/3。A平衡位置5/45/4。/3旋转矢量在x轴的上方，对应简谐振动的速度小于零。简言之，上负下正注意：26

例题10-6一质量m=9kg质点,在力(N)的作用下沿x轴运动。当t=0，xo=0;t=1s,=-2m/s,求运动方程。解质点受弹性恢复力的作用，故作简谐振动。由知要想直接用下述公式求A、是困难的：,T=12s。27于是：t=1,最后得：

由t=0,xo=0，知=

/2；又因T=12s,t=1s,=-2<0,所以=+/2。

我们可利用旋转矢量先求出初相。

已知:t=0，xo=0;t=1s,=-2m/s28

例题10-7一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量m=4kg的物体悬挂在弹簧的下端并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后由静止释放并开始计时，求:(1)物体的振动方程;(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力;(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。解：由F=kx,得:(1)t=0时,xo=-0.1m,o=0=0.1mxoxot=0图10-10m,=

29(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力;所以平衡时弹簧的伸长量：lo=0.196m弹簧对物体的拉力:F=k(lo-0.05)=29.2N(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。xA=10cm,

平衡条件:A23xoxot=0图10-10m30

例题10-8一质点作简谐振动，T=2s,A=0.12m,t=0时，xo=0.06m,向x轴正方向运动，求：

(1)振动方程；

(2)t=0.5s时的速度和加速度；

(3)在x=-0.06m,且向x轴负方向运动时刻的速度和加速度;(4)从x=-0.06m,且向x轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间。解(1)x=0.12cos(t)m(2)-0.19(m/s)-1.03(m/s2)t=0.5t=0.5xA2331(3)在x=-0.06m,且向x轴负方向运动时刻的速度和加速度:ox将相位代入得：=-0.33(m/s)=0.59(m/s2)。关键是找出相位：32(4)从x=-0.06m,且向x轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间：旋转矢量转过的角度：旋转矢量转动的角速度：

=

旋转矢量转动过程所用的时间：这就是谐振动质点从x=-0.06m,且向x轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间。

x=0.12cos(t)mox33

例题10-9一质点在x轴上作简谐振动,t=0时该质点正通过A点并向右运动，经过2s质点第一次通过B点，再经过2s质点第二次通过B点，若质点在A、B两点的速率相同，且AB=10cm，求质点的振动方程。

解由于A、B两点的速率相同，所以坐标原点应在AB的中点，因为只有对坐标原点o对称的两点速率才是相同的。

因t=0时，质点正通过A点并向右运动，所以t=0时的旋转矢量应在第三象限。t=0t=2t=4

从t=0开始，经过2s质点第一次通过B点，再经过2s质点第二次通过B点。

由旋转矢量图可知，周期T=8s。BxA.o34

由于周期T=8s，所以从t=0到t=2s，旋转矢量应转过90°。可见，

t=0时的旋转矢量与y轴负方向成45°。由图可知，初相=5/4。

因OA=5cm,由等腰直角三角形OAC可求出振幅：振动方程为45°BAxt=0t=2t=4CoA353.曲线法(t)moxt=01x(m)ot(s)0.836()cmox,t=2/363t=02x(cm)ot(s)6337oxt=0x=8cos()cm/4,t=11x(cm)ot(s)8t=0,38m=A=,A=2.4oxx=cos()m2.42(m/s)ot(s)

2t=0,t=056t=0,39

前面已指出，角频率和周期T由谐振系统确定。那么，给定谐振系统后又如何确定和T？方法是利用谐振动的运动学特性(动力学方程)：

若能找出a与x(或与)之间的关系，角频率就等于上式中x(或)的系数的平方根。而周期对转动：§10-3简谐振动周期的确定40

例题10-10一光滑斜面上的弹簧振子，已知m,k,证明它作谐振动，并求出周期。

解(1)找出平衡位置:(2)将物体m对平衡位置位移x；(3)沿斜面方向应用牛二定律：mgsin-k(x+xo

)=ma

-kx=ma比较：—是谐振动。(T与倾角无关)ox建立坐标；mgsin=kxo，xok图10-11mmx41

例题10-11一正方体形木块在水面上作谐振动，吃水深度为h(水面下的木块高度)，求振动周期T=？

解设木块的质量为m、边长为b,则平衡条件为

mg=水gb2h建立图示坐标，由牛二定律有令木块位移x,

水gb2(h-x)-mg=ma即-水gb2x=ma因比较：a=-2xox图10-12hx42

例题10-12求图示圆盘、弹簧系统的振动周期,图中k、J、R、m为已知。

解平衡条件:kxo=mg，ox令m位移x,则mg-T1=maT1R-T2R=JT2=k(xo+x)a=R解得：比较：a=-2xmT1图10-13RJkT243

例题10-13角谐振动刚体在竖直面内作微小振动,设刚体的质量为m、转动惯量为J、质心到转轴的距离为hc，求振动周期。

解由M=J,有-mghcsin=J当很小(<5°)时,sin

,于是比较：图10-14hcoCmg44当<5°时，细棒ol•oT=?如：单摆l45§10-6阻尼振动简谐振动是一种等幅振动，它是不计阻力的作用。

实际上，振动系统总要受到各种阻力。系统要克服阻力做功而消耗自身的能量。如果没有能量的补充，振动的振幅衰减。

系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动称为阻尼振动。在物体的振动速度不大时，

是阻力有关的比例系数，其值决定于运动物体的形状、大小和周围的介质。可以由实验测定。46考察水平的弹簧振子在阻力作用下的阻尼振动。动力学方程：令该微分方程的解为是对应无阻尼时系统振动的固有角频率称为阻尼系数。当阻力很小时，(10-16)47(10-17)称为阻尼振动的角频率。和则由初始条件决定的。结论：有阻力的振动为减幅振动，按指数随时间减小阻尼振动的角频率小于无阻尼的角频率

阻尼振动的周期大于无阻尼的固有周期txo48(10-16)

当阻力很大时，时，偏离平衡的物体只能逐渐回到平衡位置，回到平衡位置的时间很长，不能振动起来。这种情形称之为过阻尼。

将振子放在蓖麻油中，由于阻力很大，离开平衡位置的振子缓慢回到平衡位置。49当时，振子刚好回到平衡位置而停下来。这种运动称之为临界阻尼状态。过阻尼临界阻尼欠阻尼50系统受力：弹性力-kx；阻尼力周期性驱动力

f=Focost动力学方程：令§10-7受迫振动共振一.受迫振动51该微分方程的解为

可以看出,此等幅振动的频率就是驱动力的频率,其振幅和初相为

上式表明,受迫振动可以看成是两个振动合成的。第一项表示的是减幅振动。经过一段时间后,这一分振动就减弱到可以忽略不计了。而第二项表示的是受迫振动达到稳定状态时的等幅振动。因此,稳态解为

x

=Acos(t+)52(10-18)(10-19)稳态时,速度(10-20)(10-21)x

=Acos(t+)53二.共振1.速度共振(10-22)由求极值可知,m有最大值的条件是此时驱动力

f=Focost54通过对A求极值可知,A有最大值的条件是(10-23)

由此可见,当驱动力的频率等于振子的固有频率时,驱动力将与振子速度始终保持同相,驱动力始终给振子提供能量,从而使振子获得最大速度速度共振。2.位移共振

因此,仅当驱动力的频率小于振子的固有频率,并满足式(10-23)时,振子的位移振幅才具有最大值位移共振。55一.同频率平行简谐振动的合成分振动：x1

=A1cos(t+1)x2

=A2cos(t+2)合振动：

x=

x1+x2=A1cos(t+1)+A2cos(t+2)

利用三角公式或旋转矢量可求得合振动:x=

x1+x2=

Acos(t+)(1)可见，合振动仍是同频率的谐振动。

(2)合振动的振幅和初相,用旋转矢量求得:§10-4简谐振动的合成56

由余弦定理，合振动的振幅为(6-26)合振动的初相：(10-14)M1A11MA2xoωAA22M2x=

x1+x2=

Acos(t+)x1

=A1cos(t+1)x2

=A2cos(t+2)(2-1)图10-15(2-1)2A1cos1A2cos2A1sin1A2sin257(3)合振动的强弱,取决于两分振动的相位差：=2-1=2k,k=0,±1,±2,…,A=A1+A2,加强=(2k+1),k=0,±1,±2,…,A=|A1-A2|,减弱......=x1

=A1cos(t+1)x2

=A2cos(t+2)x=

x1+x2=

Acos(t+)58解合振动方程：x

=Acos(t+)

例题10-14设分振动：

x1

=0.3cos(t+)cm,x2

=0.4cos(t+)cm，求合振动方程。方法一:旋转矢量x0.40.3A=36.86°=0.64rad=-=2.5

合振动方程：x

=0.5cos(t+2.5)cm59=0.5=-36.86°=-0.64rad=-0.64+=2.5rad

合振动方程：x

=0.5cos(t+2.5)cm已知：A1=0.3,A2=0.4,1=/2,2=x0.4A-36.86°0.3方法二:公式法

x1

=0.3cos(t+)cmx2

=0.4cos(t+)cm

60例题10-15设分振动：

x1

=0.4cos(2t+/3)cm,x2

=0.6cos(2t-2/3)cm，