分段函数及函数的性质知识梳理及分段函数练习题

分段函数及函数的性质分段函数概念在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．定义域分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集函数值求分段函数的函数值时，应该首先判断所属的取值范围，然后再把代入到相应的解析式中进行计算．注意分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．分段函数的作图因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像．例1设函数（１）求函数的定义域；（２）求的值．（3）作出函数图像．1.设函数（1）求函数的定义域；（2）求的值．（3）作出函数图像．2．设函数（1）求函数的定义域；（2）求；（3）作出函数图像．3.若=.4.已知，则f(3)为（）A2B3C4D5函数的性质1单调性概念函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．1即对于任意的，当时，都有成立．这时把函数叫做区间内的增函数，区间叫做函数的增区间．2即对于任意的，当时，都有成立．这时函数叫做区间内的减函数，区间叫做函数的减区间．3如果函数在区间内是增函数（或减函数），那么，就称函数在区间内具有单调性，区间叫做函数的单调区间．例判断函数的单调性1.已知函数f(x)=x2+ax+b，且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1－x)成立。（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数。2．如果函数=x+2(a-1)x+2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a值范围是（）。A．a≥－3 B.a≤－3 C.a≤5 D.a≥33.如果函数在区间上是减少的，（）ABCD4.若=－x+2ax与g=在区间[1，2]上是减函数，则a的取值范围是__________5.函数f(x)＝eq\r(x2－2x－3)的单调增区间为_______________________6函数的单调增区间是________2奇偶性设函数的定义域为数集D，对任意的，都有（即定义域关于坐标原点对称），且（1）函数的图像关于轴对称，此时称函数为偶函数；（2）函数的图像关于坐标原点对称，此时称函数称函数为奇函数．如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就说这个函数具有奇偶性．不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数．判断一个函数是否具有奇偶性的基本步骤是：（1）求出函数的定义域；（2）判断对任意的是否都有．若存在某个但，则函数肯定是非奇非偶函数；（3）分别计算出与．若，则函数为偶函数；若，则函数为奇函数；若且，则函数为非奇非偶函数．例判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）．1.判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）1、为偶函数，则的值是（）A、 B、 C、 D、1.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b2．已知是偶函数，且，那么的值为（）。5(B)10(C)8(D)不确定3设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于()A.－3 B.－1 C.1 D.34已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，.5.已知函数为奇函数，且当时，则当时，的解析式为…（）A.B.C.D.6.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是（）A、增函数且最小值是 B、增函数且最大值是C、减函数且最大值是 D、减函数且最小值是3.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.1若函数是周期为4的函数，且2.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于()A.－2 B.23已知f(x)在R上是偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，当时，f(x)＝2x2，则f(-7)＝_______1、分段函数1、已知函数＝，则＝（）A．9 B． C．3D．提示：本题考查分段函数的求值，注意分段函数分段求。解析：0代入第二个式子，-1代入第一个式子，解得=3，故正确答案为C.902、函数的图象为下图中的（）提示：分段函数分段画图。解析：此题中x≠0，当x>0时，y=x+1,当x<0时，y=x-1,故正确答案为C.1203、下列各组函数表示同一函数的是()①f(x)=|x|，g(x)=②f(x)=，g(x)=x+2③f(x)=，g(x)=x+2④f(x)=，g(x)=0，x∈{－1，1}A.①③ B.① C.②④ D.①④提示：考察是否是同一函数即考察函数的三要素：定义域、值域、对应关系，此题应注意分段函数分段解决。解析：此题中①③正确，故正确答案为A.1204、设，则的值为（）A.B.C.D.提示：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．考查对分段函数的理解程度。解析：因为f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．因此f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故正确答案为C.905、定义在R上的函数满足=，则的值为（）A．B.C.1D.2提示：本题主要考查分段函数的求值，同时考查了递推关系，属于基础题．解析：将3代入相应的分段函数进行求值，则f（3）=f（2）﹣f（1），f（2）=f（1）﹣f（0）从而f（3）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0），将0代入f（x）=log2（4﹣x）进行求解．∴f（3）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log2（4﹣0）=﹣2，故正确答案为B．1806、若（）A．B.C.4D.1提示：本题主要考查分段函数的求值，但是直接分段函数分段作图就将这道题做麻烦了，不如直接代入求解。解析：令=8，解得x=不符合因此舍掉，令2x=8，解得x=4满足，故正确答案为C.1207.设函数，则的值域是（）A．B.C.D.提示：本题主要考查分段函数值域的基本求法，属于难题。解析：依题意知，故正确答案为D.3608.若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是A.（-1，0）∪（0，1）B.（-∞，-1）∪（1,+∞）C.（-1，0）∪（1,+∞）D.（-∞，-1）∪（0,1）提示：本题主要考查对数函数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。解析：由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。故正确答案为C.3009.设函数则不等式的解集是（）ABCD提示：本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解.解析：由已知，函数先增后减再增当，令解得。