知识讲解对数及运算

编稿：审稿：如果abNa0，且a1baN的对数，记作:logaN=b.a叫做对数的底数，N叫做真数.logaN=b中各字母的取值范围是：a>0a1N>0对数logaNa0，且a1具有下列性质0N0；10，即loga101，即logaa10log10N简记作lgN.e（ee2.7182）为底的对数叫做自然对数，logeN简记作lnN.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.MlogaMMlogaNklogaN1logaN2 logaNkN1、N2NklogaMN推广logaMloga

aMlogaalogMa

logalogaN

logaMlogaab

alogaNlogaN同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0a≠1M>0的前提下有

logM M

(n 令logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即(an)bMn，即b Mn，即:logM M

Mlogc

(c0c1logaM=b，则有ab=M

ab

M(c0,cc log c即b

alogM，即blogcM，即logMlogcM(c0ccc log logcclogab

logb

(a0,a1,b0,b1)1.将下列指数式与对数式互化：(1)log164；(2)log273；(3)

1x3；(4)53125；(5)21 ；(6)

9 3

321 232416；(2)3

27；(3)

3x；(4)log51253；(5)

1；(6)log1923

x21

logx8

(4)-2lne24

（3）3（4）22x

2(42

2

2(12

4114 x68，所以xx6

(23

22 210x=1000=103，于是由2lne2x，得xlne2，即2

2

所以x4【课堂：对数及对数运算369068例12log24;log28;log232【答案】 【解析】log4log22 log8log23 log32log255 2．求值71log75【答案】【解析】71log7577log7575351】求alogablogbclogcN的值(a，b，c∈R+ alogablogbclogcN(alogab)logbclogcN(blogbc)logcNclogcNN 【课堂：对数及对数运算369068例3

用logaxlogaylogazx3y(1)logxy;(2)log(x3y5);(3)x3ya a

xylogxlogylogza log(x3y5)logx3logy53logx

x log(yz)1

xlogylogzxa x

33

=log(x2y) 2logx logy logz 3 2log5253log2648log10

【解析】

2log5253log2648log10 2log523log2680 【变式2】（1）（2014年浙江舟山月考）已知2x5y10，则xy （2）已知log3a3b7，求log562【答案】

32【解析】（1）∵2x5y10∴xlog210，ylog510∴xy11lg5lg2lg10 log23log23

a，2a3，又3b7，故72a)b

故5623ab，又12342a42a2，从而562a2

122a故log1256log1212类型四、换 的运

3ab2 例4.已知log9a,18b5，求 45 a

log9a,18b5，log5b 于是 45log1845

log18log9a,18b5，log5b 于是lg36

log1845 log 解法三：log9a,18b5，lg9alg18lg5blg18 log3645lg36 解法四：log9a，18a又18b5,解法四：log9a，18a又18b5,455918b18a18ab 18

即36 )

x

a9a ax log182log 2 解决这类问题要注意隐含条件logaa1”的灵活运用．1log3 4

（2）9

（3）3(log23log23

2log32)(log23log2

2log32)5

33log25

log

9

32lg9lg322lg35lg210

lg8lg 3lg23lg 1log

2(1log3

log3

33

31log3251

251log 1log9 法二：92 3

5.求值

32

2

1log3 5

lg142lg7lg7lg182

log44log2125log425log85(log1258log254log510（2）0（3）3（4）13 25log52log23log3 原式lg(27)2(lg7lg3lg7lg(32原式=log(5log3 62)log(5log3log6)log8 21 2 原式3log25log251log25)(3log52133log52log25

1lg17lg2)211 1lg

log7

1 1【解析】7lg2

)107log710()lg71(7log72)log710()log710()1(2

)log7102 1lg

1lg

7lg2(2

10=m

lg7lg2lg(2

10lgm∴lg2lg7

7lg1lgm

∴ 2=m，即7lg2

1lg)10226（2014年浙江舟山月考）f(xlg(axlg（1）a=0.1f(x)lg(0.1x

1

x=1000（2）f(10)lg(10a

(1lga)(lga2)lg2alga210，可求lga（1）－14（2）（1）a=0.1f(x)lg(0.1x

1∴f(1000)lg100

2(7)（2）∵f(10)lg(10a)

(1lga)(lga2)lg2alga2∴lg2alga12∴(lga4)(lga3)∴lga4或lga∴a104或a 1】若ab是方程2(lgx)2lgx410的两个实根，求lg(ablogbloga 【答案】【解析】原方程可化为

2(lgx)24lgx1

，设lgx

，则原方程化为2t24t10．tt2,tt1 1 由已知ab则tlg