精选新课标高二数学归纳法(经典总结)

精选新课标高二数学归纳法(经典总结)1/10数学归纳法、极限〔一〕第一数学归纳法：\o"查看图片"一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n〕，有如下步骤：〔1〕证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；〔2〕假设当n=k〔k≥n0，k为自然数〕时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合〔1〕〔2〕，对一切自然数n〔≥n0〕，命题P(n〕都成立。〔二〕第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题P(n〕，〔1〕验证n=n0时P(n〕成立；〔2〕假设n0≤n<=k时P(n〕成立，并在此根底上，推出P(k+1〕成立。综合〔1〕〔2〕，对一切自然数n〔≥n0〕，命题P(n〕都成立。〔三〕倒推归纳法〔反向归纳法〕：〔1〕验证对于无穷多个自然数n命题P(n〕成立〔无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1〕；〔2〕假设P(k+1〕〔k≥n0〕成立，并在此根底上，推出P(k〕成立，综合〔1〕〔2〕，对一切自然数n〔≥n0〕，命题P(n〕都成立；〔四〕螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n〕，Q(n〕，〔1〕验证n=n0时P(n〕成立；〔2〕假设P(k〕〔k>n0〕成立，能推出Q(k〕成立，假设Q(k〕成立，能推出P(k+1〕成立；综合〔1〕〔2〕，对一切自然数n〔≥n0〕，P(n〕，Q(n〕都成立。1．数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n的命题对于从正自然数n0开始的所有正自然数n都成立〞的问题。2．能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。[举例1]，那么=A．+，B．++，C．-D．+-解析：是从n+1开始的n个连续自然数的倒数和，故是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和，即===++-=+-应选D。[举例2]用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除〞的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为[解析]假设n=k时命题成立.即:5k－2k被3整除.当n=k+1时，5k+1－2k+1=5×5k－2×2k=5(5k－2k)＋5×2k－2×2k=5(5k－2k)＋3×2k[稳固1]用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n>1)时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。A.2B.2－1C.2D.2＋1[稳固2]用数学归纳法证明命题：(n＋1)×(n＋2)×…×(n＋n)=2n×1×3×…×(2n－1)3．数学归纳法公理：如果关于自然数n的一个命题p(n)满足以下条件(1)p(n0)成立,即当n=n0时,命题成立，(2)假设p(k)成立,那么p(k+1)也成立；根据(1)(2)知命题p(n)对n≥n0的所有自然数n都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，〔1〕是递推的根底，〔2〕是递推的条件；二者缺一不可。4．数学归纳法通常用于证明关于自然数n的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设〞即命题p(k)成立证明命题p(k+1)成立〔p(k)成立，求证p(k+1)成立〕是数学归纳法证明中最关键的一步；而明晰命题p(k)与命题p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。[举例1]为正整数，用数学归纳法证明：当时，；解析：视为关于的不等式，为参数，以下用数学归纳法证明：〔ⅰ〕当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；〔ⅱ〕假设当时，不等式成立，即，那么当时，，，于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式也成立．综合〔ⅰ〕〔ⅱ〕知，对一切正整数，不等式都成立．[举例2]设正整数数列满足：，且对于任何，有；〔1〕求，；〔2〕求数列的通项．〔07高考江西理22〕解析：〔1〕据条件得①当时，由，即有，解得．因为为正整数，故．当时，由，解得，所以．〔2〕由，，，猜测：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由〔1〕知均成立；2假设成立，那么，那么时由①得因为时，，所以．，所以．又，所以．故，即时，成立．由1，2知，对任意，．[稳固1]数列，，…，，…；S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S，并用数学归纳法证明。[稳固2]各项均为正数的数列的前项和满足，且，．〔Ⅰ〕求的通项公式；〔Ⅱ〕设数列满足，并记为的前项和，求证：〔07高考重庆理21〕5．假设存在，那么=，假设==0，那么一般“约分〞〔约去含的因式〕后再求极限。假设=A、=B，那么[±]=A±B,[]=AB,=(B≠0).[举例].〔07高考陕西理13〕解析：==，∴=[稳固1]以下四个命题中，不正确的选项是〔〕A．假设函数在处连续，那么B．函数的不连续点是和C．假设函数，满足，那么D．〔07高考湖南理7〕[稳固2]________6．假设||<1,那么=0；=1，那么=1；假设>1或≤-1,那么不存在。=(为常数)；“〞型的式子极限为0；“〞型、“〞型的极限不存在；“〞型和“〞型，一般分子、分母“同除以〞一个式子〔包括“约分〞〕后再求极限；含有根式的和〔差〕的式子一般有理化后再求极限。假设=A、=B，那么(±)=A±B,()=AB,=(B≠0).[举例1]假设.解析：分母有理化[举例2]和是两个不相等的正整数，且，那么〔〕A．0 B．1 C． D．〔07高考湖北理5〕解析：===，选C。[稳固1]把展开成关于的多项式，其各项系数和为，那么等于〔〕A． B． C． D．2[稳固2].eq\o(\s\do4(n→∞),\s\up3(lim))eq\f(1,2n(\r(n2+1)－\r(n2－1)))等于()A.1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.0[迁移]设正数满足，那么〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．〔07高考重庆理8〕7．无穷数列{}的前n项和为Sn，称为数列{}的无穷多项和或所有项和。求时，切不可分别求各项的极限后再求和；必须先求Sn，再求极限。假设{}为等比数列，公比为q且|q|<1，那么=。[举例1]假设数列满足:,且对任意正整数都有,那么〔07高考湖南理2〕A．B．C．D．P1P2Pn-1Q1Q2Qn-1Pn-2O解析：数列满足:,且对任意正整数都有，，∴数列P1P2Pn-1Q1Q2Qn-1Pn-2O[稳固2]如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，从而得到个直角三角形．当时，这些三角形的面积之和的极限为．解析：，，…，；，，…，，记的面积为Sn，那么S1=，S2=，…，Sn-1=;====.[稳固1]数列｛｝的前n项和为Sn，那么Sn＝______________[稳固2]如图，等边三角形ABC的面积等于1，连结这个三角形各边