北师大七下数学完全平方公式导学案

完全平方公式学习目标、重点、难点【学习目标】1、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算2、了解（a+b）²=a²+2ab+b²的几何背景3、完全平方公式的应用【重点难点】完全平方公式的推导及其应用知识概览图完全平方公式新课导引观察右图，一个边长为a的正方形，现在把它的边长增加了b，形成图中的四个图形，你能用不同的方法表示现在图形的面积吗?试一试!【问题探究】由上图可知，这个图形的面积可表示为a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，还可以表示为(a+b)2．观察图形，你会得出什么结论?【解析】观察图形可得如下结论：(a+b)2＝a2+2ab+b2．教材精华知识点1完全平方公式两数和的完全平方．公式：(a+b)2＝a2+2ab+b2．语言叙述：两个数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数积的2倍．公式推导：(a+b)2＝(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2．几何解释：先观察图1-9，再用等式表示阴影部分面积的运算：(a+b)2＝++．(如图1-10所示)两数差的完全平方．公式：(a-b)2＝a2-2ab+b2．语言叙述：两个数差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数积的2倍．公式推导：把a-b看成a+(-b)，则有：(a-b)2＝[a+(-b)]2＝a2+2·a·(-b)+(-b)2＝a2-2ab+b2．几何解释：可用图1-11中的面积关系来解释．(a-b)2＝a2-2ab+b2．两个公式的区别：两个公式一个是两数和的平方，一个是两数差的平方；等号右边的2倍项一个是“+”，一个是“-”；左右两边都是一个符号的差别，简称为“一号之差”．【拓展】完全平方公式中的a，b可以是数，也可以是单项式或者是多项式．知识点2完全平方公式的应用抓住公式的特征是正确应用公式的前提，首先要判断一个代数式是否可以利用完全平方公式展开，如果能用公式展开，再选用公式．应用完全平方公式的步骤是：①确定两数，即确定谁相当于公式中的a，谁相当于公式中的b；②再看好是两数和，还是两数差；③选用公式写出结果．如在计算(-b2+4a2)如果将-b2看成公式中的a，4a2看成公式中的b，则有[(-b2)+(4a2)]2＝(-b2)2+2·(-b2)·4a2+(4a2)2=-b2-8如果将4a2看成公式中的a，b2看成公式中的b，则有(-b2+4a2)2＝(4a2-b2)2＝(4a2)2-2·4a2·b2+(b2)2＝16a规律方法小结本节主要学习了完全平方公式，这是继平方差公式之后的两个公式，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：(1)切勿把此公式与公式(ab)2＝a2b2混淆，或随意写成(a+b)2＝a2+b2；(2)切勿把“乘积项2ab”中的“2”丢掉；（3)计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．探究交流(a+b)2与a2+b2有什么区别?(1)读法不同：(a+b)2读作“a与b两数的和的平方”；a2+b2读作“a与b两数的平方和”．(2)运算顺序不同：(a+b)2是先求和然后再平方，而a2+b2是先平方再求和。(3)几何意义不同：如图1-12所示，大正方形的面积是(a+b)2，而图中阴影部分的面积是a2+b2．(4)项数不同：(a+b)2是二项式的千方，它的展开式是a2+2ab+b2，是一个二次三项式；a2+b2是二次二项式，有a2+b2＝(a+b)2-2ab．(5)只有当a＝0或b＝0时，才有a2+b2＝(a+b)2．课堂检测基础知识应用题1、有如下运算：①(2a-3b)2＝4a2-9②(a+2b)2＝a2+2ab+4b2；③=；④0.3a=．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2、运用乘法公式计算.综合应用题3、某农场为了鼓励小学生集体到农场去劳动，许诺学生到农场劳动后，每人得到的苹果数将等于参加劳动的人数，第一天去农场劳动的有x人，第二天去了y人，第三天去了(x+y)人，第四天去了(x+2y)人，则在这四天中，农场送出去的苹果有多少个?4、已知x+＝a，求x2+-1的值．探索与创新题5、已知ΔABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2-ab-bc-ac＝0，试判断ΔABC的形状．体验中考1、用配方法将代数式a2+4a-A．(a+2)2-1B．(a+2)2-5C．(a+2)2+4D．(a+2)2-92、先化简，再求值：(a+b)(a-b)+(a+b)2-2a2，其中a＝3，b＝-.学后反思 附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题需利用完全平方公式进行判断，要掌握完全平方公式的特征．完全平方公式的右端是三项而不是两项，由此可断定①式不正确．由公式的符号特征(右边“乘积项”与左边表示两数和还是两数差的符号一致)断定④式中含ab的项的系数应为“-”，而不能为“+”，从而断定④式不正确．计算(a+2b)2的结果为a2+4ab+4b2，可见②式也不对．③式是正确的．故选B．【解题策略】解这类题目要特别注意利用完全平方公式的特征．对于上面第④式，利用公式的符号特征，其不正确可谓一目了然，这比按公式展开计算要快得多．2、方法1：同时利用公式(a+b)2＝a2+2ab+b2与公式(a-b)2＝a2-2ab+b2把两个括号展开，然后合并同类项．方法2：从整体上观察题目，能发现符合a2-b2的形式，若由此联想到平方差公式，则可以逆用平方差公式解决此题．解法l：=+2··5+25-=+5x+25-+5x-25=10x解法2：===(5+5)=10x.3、分析每人得到的苹果数相当于人数，当第一天去x人时，每人得苹果x个，共得苹果x2个；第二天去了y人，共得苹果y2个；第三天去了(x+y)人，共得苹果(x+y)2个；第四天去了(x+2y)人，共得苹果(x+2y)2个．解：四天中农场共送出去苹果：x2+y2+(x+y)2+(x+2y)2＝x2+y2+x2+2xy+y2+x2+4xy+4y2＝3x2+6xy+6y2(个)．4、分析通过观察，可以把已知代数式两边平方，平方后和所求代数式接近．解：因为x+＝a，所以＝a2，x2++2x·=a2，x2+=a2-2，所以x2+-1＝a2-2-1＝a2-3．【解题策略】解此题的关键是在不求出x的情况下，如何利用完全平方公式将x2+用a表示出来．5、分析式子a2+b2+c2-ab-bc-ac＝0，体现了三角形三边关系，从形式上看与完全平方公式相仿，但无公式中间项“2ab”中的2倍，所以想到把等式两边同时扩大到原来的2倍，从而得到结论．解：因为a2+b2+c2-ab-bc-ac＝0，所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc所以(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2＝0，所以a-b＝0，b-c＝0，a-c＝0，