北师大版2022高考总复习数学理考点演练离散型随机变量的均值与方差

第九节离散型随机变量的均值与方差1.设一随机试验的结果只有A和eq\x\to(A)，且P(A)＝m，令随机变量X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，A不发生，))则X的方差D(X)＝()A.mB.2m(1－mC.m(m－1)D.m(1－m)2.某一随机变量X的概率分布如下表，且E(X)＝，则m－eq\f(n,2)的值为()X0123PmnA.－B.0.2C.D.－3.某一计算机网络有n个终端，每个终端在一天中使用的概率为p，则这个网络中一天平均使用的终端个数为()A.np(1－p)B.npC.nD.p(1－p)4.若随机变量X1～B(n,，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝eq\f(3,2)，则D(X3)的值是()A.0.5B.1.5C.5.某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.6.(2022·皖南八校高三摸底联考)对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：检测次数12345678检测数据ai(次/分钟)3940424243454647上述数据的统计分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中eq\x\to(a)是这8个数据的平均数)，则输出的值是()A.6B.7C.8D.7.随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝eq\f(1,3)，则D(X)的值是________．8.若p为非负实数，随机变量X的概率分布列为：X012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)则E(X)的最大值为________，D(X)的最大值为________．9.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(X)＝________(结果用最简分数表示)．10.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标上数0，两个面上标上数1，一个面上标上数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．11.甲、乙两个商店购进同一种商品的价格为每件30元，销售价均为每件50元．根据前5年的有关资料统计，甲商店这种商品一年的销售量X服从以下分布：X1020304050P乙商店这种商品一年的销售量服从二项分布η～B(40，．若这种商品在一年内没有售完，则甲商店在一年后以每件25元的价格处理．乙商店一年后剩下的这种商品第1件按25元的价格处理，第2件按24元的价格处理，第3件按23元的价格处理，依次类推．(1)根据前5年的有关资料统计，试分别预测今年甲、乙两个商店的销售量m和n；(2)若今年甲、乙两商店的实际销售量分别是(1)中的m和n，当它们今年各自购进40件这种商品并且全部处理完时，请你指出甲、乙两商店哪家获得的利润较大？并说明理由．12.(2022·浙江)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖．(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量X为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量X的分布列及期望E(X)；(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2)．

第九节离散型随机变量的均值与方差1.解析：显然X服从两点分布，∴D(X)＝m(1－m)，故选D.答案：D2.解析：由分布列的性质和期望的定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝1－－＝，,m＋2n＋＝，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝，,n＝，))∴m－eq\f(n,2)＝－＝.答案：B3.解析：设一天使用的终端个数为X，则X～B(n，p)，所以E(X)＝np.答案：B4.解析：由E(X1)＝2＝，得n＝10；由D(X2)＝eq\f(3,2)＝6p(1－p)，得p＝eq\f(1,2).∴D(X3)＝10×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝.答案：C5.解析：种子发芽率为，不发芽率为，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为X，则X～B(1000,，∴E(X)＝1000×＝100，故需补种的期望为2E(X)＝200.答案：B6.解析：该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数eq\x\to(a)＝eq\f(39＋40＋42＋42＋43＋45＋46＋47,8)＝43，9.解析：首先X∈{0,1,2}．∵P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,5),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,21)，∴E(X)＝0×eq\f(10,21)＋1×eq\f(10,21)＋2×eq\f(1,21)＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)10.解析：由题意知抛一次正方体向上的数为0的概率为eq\f(1,2)，向上的数为1的概率为eq\f(1,3)，向上的数为2的概率为eq\f(1,6)，则得下表：第一次掷第二次掷0120eq\f(1,2)×eq\f(1,2)eq\f(1,2)×eq\f(1,3)eq\f(1,2)×eq\f(1,6)1eq\f(1,3)×eq\f(1,2)eq\f(1,3)×eq\f(1,3)eq\f(1,3)×eq\f(1,6)2eq\f(1,6)×eq\f(1,2)eq\f(1,6)×eq\f(1,3)eq\f(1,6)×eq\f(1,6)于是可得向上的数之积的分布列为X0124Peq\f(3,4)eq\f(1,9)eq\f(1,9)eq\f(1,36)∴E(X)＝0×eq\f(3,4)＋1×eq\f(1,9)＋2×eq\f(1,9)＋4×eq\f(1,36)＝eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)11.解析：(1)E(X)＝10×＋20×＋30×＋40×＋50×＝30.E(η)＝40×＝32，从而m＝30，n＝32.(2)由题意知，甲商店的期望利润为30×(50－30)－(40－30)×(30－25)＝550(元)．乙商店剩下的产品，商品亏本金额是以30－25＝5为首项，公差为1，项数为8的等差数列．∴乙商店剩下的亏本金额为：8×5＋eq\f(8×8－1,2)×1＝68(元)，∴乙商店的期望利润为32×(50－30)－68＝572(元)>550(元)．∴乙商店的期望利润较大．12.解析：(1)由题意得X的分布列为X50%70%90%Peq\f(3,16)eq\f(3,8)eq\f(7,16)则E(X)＝eq\f(3,16)×50%＋eq\f(3,8)×70%＋eq\f(7,16)×90%＝eq\f(3,4).(2)由(1)可知，获得1等奖或2等奖的概率为eq\f(3,16)＋eq\f(3,8)＝eq\f(9,16).由题