人教数学A版-3《随机变量及其分布》综合训练【含解析】

选修2-32章章末综合训练一、选择题1．某次市教学质量检测，甲，乙，丙三科考试成绩的分布可视为正态分布，则由图得下列说法中正确的是()A．乙科总体的标准差及平均数都居中B．甲，乙，丙的总体的平均数不相同C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小[答案]D[解析]本题主要根据正态曲线的特征来进行判断，由图可知，甲、乙、丙的对称轴相同，即μ相同，当σ越小时曲线越“瘦高”，当σ越大时曲线越“矮胖”，故正确答案为D.2．(2022·杭州)某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为()A． B．C． D．[答案]D[解析]由题意知，这批水稻种子的发芽率为P1＝，出芽后的幼苗成活率为P2＝，由相互独立事件的概率乘法公式知，P＝P1×P2＝×＝.3．若X～B(n，p)且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2 B．2－4C．3·2－10 D．2－8[答案]C[解析]随机变量X服从参数为n和p的二项分布，所以E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝6,np(1－p)＝3))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝12，,p＝\f(1,2).))所以P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))12＝3·2－10.4．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值为()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]记事件A＝“正面向上”，A发生的次数ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，由题设知：Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝Ceq\o\al(k＋1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5，∴k＋k＋1＝5，k＝2.故选C.二、填空题5．(2022·湖北理，14)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Pxy已知ξ的期望Eξ＝，则y的值为________．[答案][解析]由分布列可得x＝－y且7x＋＋＋10y＝，解得y＝.6．两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为和，则恰有一台雷达发现飞行目标的概率为________．[答案][解析]所求概率为×(1－＋(1－×＝.易出现如下错误：＋＝，两个事件A，B中恰有一个发生包含两种情况：一是A发生而B不发生；二是A不发生而B发生．三、解答题7．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)．[解析]将产品编号，设1,2,3号产品为一等品，4号产品为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取到第i号，第j号产品，则试验的基本事件空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，事件A有9个基本事件，AB有6个基本事件，所以P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).[点拨]本题属古典概型类条件概率问题，用公式P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))来解决．注意当基本事件空间容易列出时，可考虑此法．8．加工某种零件需经过三道工序，设第一，二，三道工序的合格率分别为eq\f(9,10)，eq\f(8,9)，eq\f(7,8)，且各道工序互不影响．(1)求该种零件的合格率P；(2)从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率．[解析](1)P＝eq\f(9,10)×eq\f(8,9)×eq\f(7,8)＝eq\f(7,10).(2)该种零件的合格率为eq\f(7,10)，由独立重复试验的概率公式，得恰好取到一件合格品的概率为Ceq\o\al(1,3)×eq\f(7,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))2＝.至少取到一件合格品的概率为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))3＝.[点拨](1)应用相互独立事件同时发生的概率公式P(AB)＝P(A)P(B)可求P.(2)注意“恰好出现一件合格品”与“至少出现一件合格品”不一样，前者属独立重复实验，而后者不属独立重复实验，可用对立事件去解决．9．某商场经销某种商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列如下表：ξ12345P商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及期望Eη.[解析](1)由A表示事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，知eq\x\to(A)表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P(eq\x\to(A))＝(1－3＝，故P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－＝.(2)η的可能取值为200元，250元，300元．P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，P(η＝300)＝1