人教九下数学2实际问题与二次函数导学案

实际问题与二次函数学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握求实际问题中抛物线的解析式的方法；2、掌握求二次函数最值的方法；3、掌握利用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；【重点难点】1、求实际问题中抛物线的解析式的方法；2、求二次函数最值的方法；3、利用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；知识概览图利用二次函数的知识解决生活中的实际问题，应注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面，如物体运动规律问题、销售问题、利润问题、几何变化问题等，先将问题抽象成二次函数模型，再利用二次函数的知识解决这些实际问题．新课导引如右图所示的是某防空部队进行射击时在平面直角坐标系中的示意图，位于地面O处正上方km的A处的直升机向目标C发射防空导弹，已知点C距离地面2.25km，与点O的水平距离为7km，当导弹运行到距地面的最大高度3km时，相应的水平距离为4km(即图中的点D)，如果导弹的运行轨迹为抛物线，那么按此轨迹运行的导弹能否击中目标C?请说明理由．【问题探究】解决此问题的关键是如何将日常生活中的实际问题转化为数学问题，如何建立数学模型，并且将所得到的解代回到实际问题中，验证是否具有实际意义．教材精华知识点1求实际问题中抛物线的解析式有关函数的应用题主要考查应用数学知识分析和解决实际问题的能力，应用题所涉及的数学知识并不深奥，也不复杂，但涉及的背景材料十分广泛，包括社会、人文、科技、生产、生活等方方面面，且文字冗长，有时很难抓住要领，所以要运用函数知识来观察、分析、概括所给的实际问题，将其转化为数学问题并建立数学模型，列出函数关系式是解决问题的关键．拓展解决与抛物线有关的实际问题的一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系．(2)将已知条件转化为点的坐标．(3)合理地设出所求函数的解析式．(4)代入已知条件或点的坐标，求出解析式．(5)利用解析式来解决问题．知识点2求二次函数最值的方法对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当自变量为全体实数时，求最大(小)值的常用方法有三种：(1)配方法：y=ax2＋bx＋c=a(x2＋x)＋c=a(x2＋x＋)－a·＋c=a(x＋)2＋．若a＞0，则当x＝时，y最小值＝；若a＜0，则当x＝时，y最大值＝．(2)公式法：直接利用上述关系式经过配方得到的结论．(3)判别式法：在y＝ax2＋bx＋c中，把y看作是已知数，得到关于x的一元二次方程ax2＋bx＋(c－y)＝0，若x是任意实数，则有Δ＝b2－4a(c－y)≥0，∴4ay≥4ac－b2当a＞0时，y≥，即y最小值＝；当a＜0时，y≤，即y最大值＝.若需求出x的值，只需将y＝代入方程ax2＋bx＋(c－y)＝0中，即可求出x的值．拓展上述三种方法中，前两种是最常用的方法，应正确地选择适当的方法求二次函数的最值．知识点3利用二次函数求实际问题中的最大值或最小值二次函数就是反映客观世界中变量间的关系和变化规律的一种常见的数学模型，利用二次函数解决实际问题，首先必须建立数学模型，即将实际问题转化为二次函数问题，然后求出函数的解析式，再通过解析式和图象来解决实际问题．通过前面的学习，我们已经体会到二次函数是一类最优化问题的数学模型，运用它来解决实际问题必须具备两个条件：其一，会从实际问题中建立数学模型；其二，会根据函数的图象及其性质求出最大(或最小)值．拓展(1)本节知识用到了转化思想及数学建模思想，如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中函数的变量之间的关系．(2)当抛物线中出现直角三角形时，有时需要分类讨论，当没有指明哪个角是直角时，要分三种情况来讨论，即每个顶角都有可能是直角．(3)数形结合思想在本节中得到了广泛的应用．课堂检测基础知识应用题1、求下列二次函数的最值．(1)y＝－x2＋2x－1；(2)y＝3x2－6x＋1；(3)y＝2x2＋3；(4)y＝－x2＋6x＋8．2、当一枚火箭竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)之间的关系可以用关系式h＝－5t2＋150t＋10来表示，经过多长时间火箭能够到达最高点?最高点的高度是多少?综合应用题3、有一种葡萄，从树上摘下以后不保鲜，最多只能存放一周，如果放在冷藏室里保鲜，则可以延长存放时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期间的个体重量基本保持不变，现有一个体户，按市场价格购进了200千克这种葡萄，并放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克葡萄的价格每天可上涨元，但是存放一天需付各种费用20元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃．(1)设x天后每千克葡萄的市场价为p元，写出p与x之间的函数关系式；(2)若存放x天后将葡萄一次性出售，设葡萄的销售总金额为y元，写出y与x之间的函数关系式；(3)该个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获得最大利润ω?最大利润ω是多少?(本题不要求写出自变量x的取值范围)探索创新题4、(1)如图所示，求抛物线的解析式及抛物线顶点M的坐标；(2)若点N为线段BM上一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时(点N不与点B、点M重合)，设OQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．体验中考张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图26－73所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当x为何值时，S有最大值?并求出最大值．学后反思 附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析求二次函数的最值，即求抛物线顶点的纵坐标．当a＞0时，二次函数有最小值；当a＜0时，二次函数有最大值．解：(1)∵a＝－1＜0，∴二次函数有最大值．∵y＝－x2＋2x－1＝－(x2－2x＋1)＝－(x－1)2，∴当x＝1时，y取最大值，即y最大值＝0．(2)∵a＝3＞0，∴二次函数有最小值．又∵y＝3x2－6x＋1＝3(x2－2x＋1)－3＋1=3(x－1)2－2，∴当x=1时，y取最小值，即y最小值＝－2．(3)∵a＝2＞0，∴二次函数有最小值．∴当x＝0时，y取最小值，即y最小值＝3．(4)∵a＝－1＜0，∴二次函数有最大值．又∵y＝－x2＋6x＋8＝－(x2－6x＋9－9)＋8＝－(x－3)2＋17，∴当x＝3时，y取最大值，即y最大值＝17．【解题策略】对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号决定了函数有最大值还是最小值．当自变量的范围取全体实数时，最大值或最小值就是抛物线顶点的纵坐标．2、分析求火箭到达的最高点及到达最高点所需要的时间，即是求抛物线的顶点坐标，因此解决本题的关键是求出抛物线的顶点坐标．解：由h＝－5t2＋150t＋10，得h＝－5(t－15)2＋1135，∴当t＝15s时，h有最大值，且h最大值＝1135m．答：经过15s火箭能够到达最高点，最高点的高度是1135m．【解题策略】此题中当函数取得最大值时，自变量的取值符合自变量的取值范围，若不符合，还应考虑在自变量的取值范围内的函数的最值情况．3、解：(1)p＝2＋.(2)y＝(2＋(200－x)＝－＋38x＋400．(3)ω＝y－20x－2×200＝－＋38x＋400－20x－400＝－＋18x，当x==45时，ω最大==405(元)．即存放45天后出售，可获得最大利润405元．【解题策略】此类问题主要是根据题意列出函数关系式，再利用求二次函数的最值问题来解决．4、分析△PAC为直角三角形应分三种情况来讨论，即∠PAC＝90°，∠APC＝90°，∠ACP＝90°．解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，把点(0，－2)代入解析式，得－2＝a×1×(－2)，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2，其顶点M坐标是．(2)设线段BM所在直线的解析式为y＝kx＋b，点N的坐标为N(t，h)，∴解得∴线段BM所在直线的解析式为y＝x－3，∴h=t－3，其中＜t＜2，∴S=×l×2＋=∴S与t之间的函数关系式是S＝－t2＋t＋1，自变量t的取值范围是＜t＜2(3)存在符合条件的点P，且坐标是P1，P2．理由如下：设点P的坐标为(m，n)，则n＝m2－m－2．PA2＝(m＋1)2＋n2，PC2＝m2＋(n＋2)2，AC2＝5．下面分三种情况进行讨论：①若∠PAC＝90°，则PC2＝PA2＋AC2，∴解得m1＝，m2＝－l（舍去），∴点P1．②若∠PCA＝90°，则PA2＝PC2＋AC2，∴解得m3＝，m4＝0(舍去)，∴点P2．③观察图象可知，当点P在对称轴的右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可