2020秋高中数学人教版4-5课堂演练：第四讲4.2用数学归纳法证明不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020秋高中数学人教A版选修4-5课堂演练：第四讲4.2用数学归纳法证明不等式第四讲数学归纳法证明不等式4。2用数学归纳法证明不等式A级基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证（）A．n＝1 B．n＝2C．n＝3 D．n＝4解析：由题意n≥3知应验证n＝3.答案：C2．用数学归纳法证明“1＋eq\f(1,2）＋eq\f（1，3)＋…＋eq\f（1，2n－1)＜n,（n∈N＋,n＞1）”时,由n＝k（k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（）A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋1解析:增加的项数为（2k＋1－1）－（2k－1）＝2k＋1－2k＝2k。故选C.答案：C3．设n为正整数，f(n）＝1＋eq\f（1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f（1,n)，计算得f（2)＝eq\f（3,2），f（4）＞2，f(8）＞eq\f(5，2），f（16）＞3，f（32)＞eq\f(7，2)，观察上述结果，可推测出的一般结论为（)A．f（2n）＞eq\f（2n＋1，2)（n＞1，n∈N＊）B．f(n2)＞eq\f(n＋2，2)（n＞1，n∈N＊）C．f(2n)＞eq\f(n＋2,2)(n＞1，n∈N＊)D．以上都不对解析：f(2）＝eq\f（3，2），f(4)＝f(22）＞eq\f(2＋2,2），f（8)＝f（23）＞eq\f(3＋2，2)，f（16）＝f(24）＞eq\f(4＋2，2），f(32）＝f(25）＞eq\f（5＋2,2），…，依此类推可知f（2n)＞eq\f（n＋2，2）(n＞1，n∈N*)．答案：C4．设f（x）是定义在正整数集上的函数，有f（k）满足：当“f（k）≥k2成立时，总可推出f(k＋1）≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是（）A．若f(3）≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B．若f（5)≥25成立,则当k＜5时，均有f（k）≥k2成立C．若f（7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f（4）＝25成立，则当k≥4时，均有f（k)≥k2成立解析:由“f(k）≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1）2成立"，因此，对于A，k＝1,2时不一定成立，对于B，C,显然错误．对于D,因为f（4）＝25＞42，因此对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．答案：D5．若不等式eq\f（1,n＋1）＋eq\f（1，n＋2）＋…＋eq\f（1，2n）＞eq\f(m，24）对大于1的一切自然数n都成立,则自然数m的最大值为()A．12 B．13C．14 D．不存在解析：令f（n）＝eq\f（1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f（1，2n），取n＝2，3，4，5等值发现f（n）是单调递减的,所以［f（n）］max＞eq\f（m，24），所以由f（2)＞eq\f（m,24)，求得m的值．故应选B.答案：B二、填空题6．用数学归纳法证明2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)时,第一步的验证为________．解析：当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．答案:21＋1≥12＋1＋27．在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1，B)＋eq\f(1，C）≥eq\f(9，π）成立;在四边形ABCD中，不等式eq\f(1，A）＋eq\f(1，B）＋eq\f（1,C)＋eq\f（1，D）≥eq\f(16,2π)成立；在五边形ABCDE中，不等式eq\f(1，A)＋eq\f（1,B）＋eq\f（1，C）＋eq\f（1，D）＋eq\f（1，E）≥eq\f（25,3π)成立．猜想在n边形A1A2…An中,类似成立的不等式为________．解析:由题中已知不等式可猜想:eq\f（1，A1）＋eq\f（1,A2）＋…＋eq\f(1,An）≥eq\f（n2,(n－2)π）(n≥3且n∈N*）．答案：eq\f(1，A1)＋eq\f(1，A2)＋…＋eq\f(1,An）≥eq\f（n2,(n－2)π）(n≥3且n∈N＊）8．在应用数学归纳法证明“1＋eq\f(1,22)＋eq\f（1,32)＋…＋eq\f(1,(n＋1）2）＜eq\f（2n＋1，n＋1)(n∈N＊）”时，从n＝k到n＝k＋1,不等式左边增加的项是________．解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾",当n＝k时，尾项的分母为（k＋1)2,n＝k＋1时尾项的分母为(k＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…,(n＋1)这些数都是连续相差1时．因此,从n＝k到n＝k＋1只增加了一项,即eq\f（1,（k＋2）2）(k∈N＋)．答案：eq\f(1，（k＋2）2）三、解答题9．设a为有理数,x〉－1.如果0<a〈1，证明：(1＋x)a≤1＋ax，当且仅当x＝0时等号成立．证明：0<a〈1，令a＝eq\f（m,n)，1≤m<n，其中m,n为正整数，则由平均值不等式,得（1＋x）a＝（1＋x）eq\s\up6（\f（m,n))≤eq\f（m（1＋x）＋（n－m），n）＝eq\f（mx＋n,n）＝1＋eq\f(m,n)x＝1＋ax，当且仅当1＋x＝1，即x＝0时,等号成立．10．已知函数f(x）＝eq\f（1，3)x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1（n∈N＊)．证明：由f（x)＝eq\f（1，3）x3－x,得f′（x）＝x2－1.因此an＋1≥f′(an＋1）＝（an＋1)2－1＝an(an＋2），（1)当n＝1时，a1≥1＝21－1,不等式成立．（2）假设当n＝k时,不等式成立，即ak≥2k－1，当n＝k＋1时,ak＋1≥ak（ak＋2）≥(2k－1)（2k－1＋2)＝22k－1。又k≥1，所以22k≥2k＋1，所以n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，不等式成立．根据（1)和(2)知,对任意n∈N＋，an≥2n－1成立．B级能力提升1．对于正整数n，下列不等式不正确的是()A．3n≥1＋2n B．0。9n≥1－0.1nC．0.9n≤1－0。1n D．0.1n≤1－0.9n解析：排除法，取n＝2，只有C不成立．答案：C2．利用数学归纳法证明eq\f(3×5×…×（2n－1）,2×4×…×（2n－2))＜eq\r(2n－1)时，n的最小取值n0应为________．解析：n0＝1时不成立,n0＝2时,eq\f(3，2)＜eq\r（3），再用数学归纳法证明，故n0＝2.答案:23．函数f(x）＝x2－2x－3。定义数列{xn}如下:x1＝2，xn＋1是过两点P（4,5），Qn(xn,f（xn）)的直线PQn与x轴交点的横坐标．(1）证明：2≤xn<xn＋1〈3；(2)求数列{xn｝的通项公式．（1）证明:用数学归纳法证明：2≤xn<xn＋1〈3.①当n＝1时，x1＝2，直线PQ1的方程为y－5＝eq\f(f（2）－5，2－4)（x－4)，令y＝0，解得x2＝eq\f(11,4），所以2≤x1〈x2〈3。②假设当n＝k（k≥1,k∈N＊）时，结论成立，即2≤xk<xk＋1〈3。直线PQk＋1的方程为y－5＝eq\f(f（xk＋1）－5，xk＋1－4）(x－4),令y＝0，解得xk＋2＝eq\f(3＋4xk＋1,2＋xk＋1).由归纳假设知xk＋2＝eq\f(3＋4xk＋1,2＋xk＋1）＝4－eq\f(5,2＋xk＋1）〈4－eq\f（5，2＋3)＝3；xk＋2－xk＋1＝eq\f(（3－xk＋1）(1＋xk＋1)，2＋xk＋1)>0，即xk＋1〈xk＋2.所以2≤xk＋1<xk＋2〈3，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤xn〈xn＋1<3。（2）解：由(1）及题意得xn＋1＝eq\f（3＋4xn，2＋xn）.设bn＝xn－3，则eq\f（1,bn＋1)＝eq\f（5，bn)＋1,eq\f（1，bn＋1）＋eq\f（1,4）＝5eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，bn)＋\f(1,4)))，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn）＋\f(1，4）)）是首项为－eq\f（3，4)，公比为5的等比数