【不等式的应用研究】

不等式的应用研究摘要柯西不等式和排序不等式是两种非常重要的不等式。它们广泛应用于高等数学中，如线性代数中的极值问题和向量问题。柯西不等式可以解决这些问题。这两种不等式在数学中也有一定的应用。特别是其他不等式的应用、变量的极大值、不等式的证明、方程组的解集和三角形问题得到了广泛的应用。新课程改革后，这两种不等式也被列入数学选修4-5题“不等式选讲”中。越来越多的数学问题可以通过柯西不等式或排序不等式来解决，并将两者结合起来。应用柯西不等式和排序不等式，可以使一些复杂的基础数学问题、高考试题或更深层次的竞争问题更容易解决。关键词：柯西不等式；排序不等式；教育价值第1章数学中的不等式及分类1.1数学中的不等式不等式已成为近年来高考的热点和热点，高考外的试题与其本身的性质和功能有着很大的关系。不平等在联系过去和未来方面起着重要作用。利用不等式不仅可以解决集、函数、线性规划、最大值和取值范围等问题，而且可为进一步学习高等数学打下坚实的基础。对人要参加高考，学习和掌握不等式知识可以提高整体的数学素养和解决数学问题的能力。在高考的考试范围内，函数的最大值或最小值一直被视为一个关键点。有很多方法可以解决函数的最大值问题。用不等式的方法解决问题的一部分，将产生一种新的解决问题的方法和新的求解技术。例如已知x＜5/4，求函数y=4x－2+1/4x－5的最大值。不少同学面对这种题目时很可能想到了用函数的单调性处理，实际上我们应用均值不等式那会更简单、更快捷。从而节约时间取处理其他的问题。1.2数学中的不等式分类1.2.1柯西不等式（1）（n维形式）对于任意的实数a1，a2，a3，…an与b1，b2，b3，…bn，有当且仅当时等号成立（当=0时，认为=0，1≤k≤n）（2）（向量形式）向量，有当且仅当与共线时成立。1.2.2排序不等式排序不等式设有两组有序实数a1，a2，a3，…an与b1，b2，b3，…bn，满足a1≥a2≥a3≥…≥an与b1≥b2≥b3≥…≥bn则有下列不等式成立：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn≥a1bi+a2bi+a3bi+…+anbi≥a1bn+a2bn-1+a3bn-3+…+anb1等号成立当且仅当a1=a2=a3=…=an或b1=b2=b3=…=bn，要应用排序不等式，首先要做的是取两组有序实数，这是解决问题的关键。第2章柯西不等式在数学中的应用2.1利用柯西不等式求变量的最值例1已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=4，3a2+b2+4c2+3d2+12e2=10，求b的最值。解：由柯西不等式得即所以解得1≤b≤3当且仅当时等号成立，代入当时，bmax=3当例2：已知实数x，y，：满足x2+y2+z2=9，试求2x+3y一4z的最大值与最小值。解：由柯西不等式得：即故2x+3y-4z的最大值为，最小值为-总结：利用柯西不等式得到变量的最大值，关键是构造一组数，使不等式中的不等式转化为柯西不等式的形式，不等式最终可以通过收缩的方式变成常数。第二，要注意同一时间是否可以建立相等的数字。这是一个容易出错的地方。2.2利用柯西不等式证明不等式例3设x，y，z∈R+，满足x+y+z=1，试证：证明：由柯西不等式知：又因为x+y+z=1所以故原不等式成立。例4：设a，b为非负数且a+b=1，x，y∈R+，求证：(ax+by}(bx+ay）≥xy证明：（ax+by）（bx+ay）=（ax+by）（ay+bx）≥（a+b）2=[（a+b）]2又因为a+b=1，所以(ax+by}(bx+ay）≥xy故原不等式成立。总结：利用柯西不等式的方法如聪明一些不等式删除常数，提姆，改变配方结构的柯西不等式，或重新安排一些位置，如4对这种方法的使用情况。根据具体主题选择不同的方法，使问题更容易解决。2.3利用柯西不等式解方程组由柯西不等式解这个方程，首先是柯西不等式方程的应用包含无理不等式的类型，然后结合原方程不等式方程，利用柯西不等式的等式条件平等的决心，与原方程同解但无理方程更简单，从而得到该方程的解。2.4利用柯西不等式解三角问题例5△ABC的三边长分别为a，b，c，其外接圆半径为R，求证分析：由题中的变量知，能联系边长三角形正弦值的定理是正弦定理，若将题中的三边a，b，。分别用2RsinA，2RsinB，2RsinC替换，这时不等式左边就类似于柯西不等式的左边形式。证明：由三角形正弦定理可得a2=4R2sin2A，b2=4R2sin2B，c2=4R2sin2C所以≥（2R+2R+2R）2=36R2故原不等式成立。总结：对于三角问题，有时没有条件来应用柯西不等式。通常，我们引入一些参数来解决已知函数、三角函数或柯西不等式等式条件的问题。2.5柯西不等式在数学竞赛中的应用总的来说，竞争问题相当复杂。这可能与表面上的柯西不等式无关。变形后可以用柯西不等式求解。因此，竞争的难点是如何变形，然后使用柯西不等式。在这种情况下，我们需要平时获得的经验，通过观察、猜测、推理等方法来解决问题。2.6在学习中应注意的问题柯西不等式是新课程标准中的一个新内容。从上述例子中可以看出，柯西不等式的重要性是可以实现的。在北京师范大学的选修教材中，第二章是柯西不等式的第一、第二形式，其次是柯西不等式的一般形式。这个过程是从一个特殊的过程到一个一般的类比过程。在教科书中，我们首先给出柯西不等式的二维形式。其次，从柯西不等式的二维形式到一般形式，其次利用平面向量法证明了不等式的成立，引出了柯西不等式的向量形式。第3章排序不等式在数学中的应用3.1利用排序不等式证明不等式例6已知a，b，c∈R+，证明分析：首先根据题目选取两组有序实数，我们不妨设a≥b≥c＞0，则且然后利用排序不等式证明原不等式。证明：不妨设a≥b≥c＞0，则且由排序不等式得同样两式相加得故原不等式成立。例7己知a，b，c∈R+且满足a+b+c=1，证明：3(a2+b2+c2)+2≤27(a3+b3+c3)分析：首先选取两组有序实数，不妨设a≥b≥c＞0，则a2≥b2≥c2，然后利用排序不等式证明该不等式。证明：不妨设a≥b≥c＞0，则a2≥b2≥c2所以a3+b3+c3≥ca2+ab2+bc2同样a3+b3+c3≥ba2+ab2+ac2所以2(a3+b3+c3)≥ba2+ab2+ac2+ca2+ab2+bc23(a3+b3+c3)≥ba2+ab2+ac2+ca2+ab2+bc2+a3+b3+c3=（a+b+c）(a2+b2+c2)=a2+b2+c2由于a+b+c=1所以3(a2+b2+c2)+2=3(a2+b2+c2)+2（a+b+c）2≤3(a2+b2+c2)+2X3(a2+b2+c2)=9(a2+b2+c2)小于等于27(a3+b3+c3)故原不等式成立。总结：对于以上两道例题，我们使用的方法是反复应用以及联合使用。对于一道题目可以反复的使用排序不等式，也可以联合其他不等式一起来解决问题。3.2利用排序不等式解三角问题对于任意的△ABC，若三边a≥b≥c，则三角A≥B≥C，三角函数sinA≥sinB≥sinC，三条高ha≥hb≥hc，这些都是应用排序不等式的良好基础。3.3排序不等式在数学竞赛中的应用对于一道复杂的有关排序不等式的竞赛题，要结合其他重要不等式，通过换元，反复利用排序不等式等技巧灵活解决问题。3.4学习中应注意的问题利用排序不等式解决问题首先最关键的一步是选取两组有序实数，而“有序”体现在两方面。第一方面知道这两组数的大小关系，例如：小明要去超市购买价格不同的铅笔3支，作业本5本，橡皮擦6块，这些文具的单价有1元，2元，3元的，问怎样花钱最少，怎样花钱最多?很显然，利用排序不等式，花钱最少的为逆序和3x3+5x2+6x1=25元，花钱最多的为顺序和3x1+5x2+6x3=31元，这就是将实际问题转化为数学问题，也是排序不等式最简单的应用。另一方面不知道这两组数的大小关系。那么对于这种情况，该怎样利用排序不等式解决问题?下面给出三种概念：对称式：一个多元多项式，如果把其中任何三种元交换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是对称式。轮换对称式：如果一个多项式中的变量按照任何次序轮换后，原多项式不变，那么称该多项式是轮换多项式(简称轮换式)。在例6中不等式的左端为，右端这三种式子均为轮换对称式，同样对于例7中不等式两端的式子都是轮换对称式，这就会混淆人的判断力，认为只要是关于轮换对称式的不等式都可以先假设各变量之间的大小关系，再利用排序不等式解决问题。其实不是这样的，只有对称式才可以首先假设各变量之间的大小关系，例6和例7之所以能假设各变量之间的大小关系，是因为其中的轮换对称式的本质也是对称式。例6设a，b，c>0，求证分析：初看这道题，可能会直接假设a，b，c的大小关系，这样的做法是错误的，因为在这个不等式中左边的式子是轮换对称式，但它不是对称式，所以不能直接假设a，b，c的大小关系，正确的做法应先对上式作变形，再利用排序不等式证明。总结：只有对称性可以首先假设变量之间的尺寸关系，但并非所有对称表达式都可以通过排序不等式来证明。一些旋转对称可以通过排序不等式来证明，因为本质是对称的。第4章不等式的教育价值及学习方法4.1体会数学的美感从古代到现在，大多数人认为数学枯燥，枯燥，而且是一门更难的学科。因为有大量的公式，这个定理将被巧妙地运用。作为无知，数学也可以体验美。数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。简言之，数学之美是数学之美与令人愉悦之美。历史上许多学者和数学家从不同侧面对数学美进行了生动的描述。ApeloaKlass说：“哪里是最早的数学，哪里就有美。”亚里士多德也说，“虽然是数学中的善美没有明显的参考，善与美不能从数学完全分离。因为美的主要形式是“秩序、对称和确定性”，这些都是数学研究的原则。本文介绍的两种不等式在结构上是对称的。柯西不等式：它也可以用一句话说明：平方和的乘积大于等于乘积和的平方。此形式两边和谐、对称，所以方便记忆，在做题的过程中，不容易出现记忆偏差的现象。排序不等式：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn≥a1bi+a2bi+a3bi+…+anbi≥a1bn+a2bn-1+a3bn-3+…+anb1当人看到这个公式，顺序之和大于等于乱序之和大于等于逆序之和，结构非常清晰、明了，很容易记忆。从这三种式子我们可以体会到数学之美，也不感到数学的枯燥乏味。所以在学习中，一定要培养自己发现数学美的能力，从而传授于人，使得数学中的公式，定理等像语言一样优美，4.2体会数学思想（1）构造法施工方法是指当很难从正面解决一些问题，应根据设定的条件和结论的本质问题，从一个新的视角，从新的角度来观察和分析问题，牢牢把握问题的条件和结论之间的内在联系，利用数据形状特征，使用的条件称为原料，已知的数学关系和理论为工具的思维建构数学对象的使用，条件和结论与自然隐含在原始问题清楚在新构建的数学对象之间的关系，并用数学方法对象方便。解决数学问题。两种不等式在培养人数学结构中起着重要作用。上述实例所采用的技术和方法有不断、熟练的拆装、施工等。柯西不等式的关键应用程序的一组数的建设，使其朝着柯西不等式转化，排序不等式首先验证不等式公式应用的两侧是对称的，只有对称，构建两套数字，假设变量之间的关系的大小。（2）化归思想它既是解决问题的重要思想，又是数学思维的有效途径。转换的方法是通过解决问题的方法和技巧来解决问题。一般来说，复杂的问题总是转化为容易的问题。文中介绍的例子，从柯西不等式的曲面应用出发，不能解决这个问题。但是，重新安排后两部分的位置，我们可以利用它们使问题的难度大大降低，让人们在黎明前看清。同样的，例如，如果问题肯定不是通过排序不等式来解决的，因为它不是对称的，但变形公式是对称的，在不等式的两边，此时，你可以用排序不等式，而且方法非常简单，一目了然。（3）联想思想联想思维是从当前事物的特征中回忆出来的一种思维现象，与当前事物有着共同的特点。这个想法适用于任何学科，尤其是数学。应用联想思维可以把已知知识与未知知识和旧知识联系起来。它在整个知识系统中起着非常重要的作用。对于一个主题，如果我们不知道如何解决它，我们可以猜测和联想是否可以使用柯西不等式或排序不等式。进一步验证了该方法是可行的，解决了自然问题。问题的经验是通过投机、联想、验证慢慢积累起来的。（4）类比思想类比的思想是利用已有的知识和经验，将陌生的问题与已解决的熟悉的问题或相似的事物进行比较，从而创造性地解决问题。只有对人的知识、过程进行类比、类比，有利于人的自主学习，感受到知识之间的内在联系，这种思维方式对于新课程的学习，都有很大的帮助，解决相关问题。在柯西不等式的研究中，主要有两方面的内容：一是利用二维形式的类比，首先给出柯西不等式，然后用平面向量的方法来证明这种不等式，从而使柯西不等式的类比向量形式；第二，从模拟二维形式出发，给出柯西不等式的一般形式。这三种类比都很重要，增强了人自主探究的愿望。第6章总结不等式在数学学习中应用非常广泛。本文所研究的柯西不等式和排序不等式，在数学的应用中不等式不仅内容广泛，而且方法灵活多样，的确是一个需要认真学习与研究的领域。本文从不等式的分类入手，阐述了不等式在数学中不等式的分类。以及分类中，柯西不等式和排序不等式在数学中的应用。分别从这两种不等式在数学解题中的运用，