2023年广东省高考数学总复习专题23：概率与统计解答题（含答案解析）

2023年广东省高考数学总复习专题23：概率与统计解答题

-------------------导图助思快速切入---------------------

［思维流程］——概率与统计问题重在“辨"——辨析、辨型

概

率

统

计

解

答

题

-典例分析规范答题——

(2019・全国I)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进

行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机

选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种

药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.

为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈

则甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1

分，甲药得一1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为

a和夕，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，“《=0」，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，

最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则po=O,ps=\,pt^api-1+bpi+cpi+1(z—1,2....

7),其中a=P(X=-l),6=P(X=0),c=P(X=l).假设a=0.5,4=0.8.

(i)证明：{Pi+i—p,}(i=0,l,2,…，7)为等比数列；

(ii)求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.

----------------高考真题把握规律-----------------

1.(2019•新课标H)"分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每

球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,

假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独

立.在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

(1)求P(X=2)；

(2)求事件"X=4且甲获胜”的概率.

第1页共15页

2

2.(2019•天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为假定甲、

乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

(I)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布

列和数学期望；

(II)设M为事件”上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：

30之前到校的天数恰好多2",求事件M发生的概率.

-------------------模拟演练命中靶心-------------------

1.2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了10月1日7：

00-23：00这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共

5000人次顾客购买商品时刻的的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7：00~11：

00,11：00—15：00,15：00-19：00,19：00〜23：00,依次记作[7,11),[11,15),

[15,19),[19,23].

(1)求该天顾客购买商品时刻的中位数t与平均值"(同一组中的数据用该组区间的

中点值代表)；

(2)由频率分布直方图可以近似认为国庆节假期期间该商场顾客购买商品时刻服从正态

分布N(u，62),其中u近似为",6=3.6,估计2019年国庆节假期期间(10月1日

-10月7日)该商场顾客在12：12-19：24之间购买商品的总人次(结果保留整数)；

(3)为活跃节日气氛，该商场根据题中的4个时间段分组，采用分层抽样的方法从这

5000个样本中随机抽取10个样本(假设这10个样本为10个不同顾客)作为幸运客户，

再从这10个幸运客户中随机抽取4人每人奖励500元购物券，其他幸运客户每人奖励

200元购物券，记获得500元购物券的4人中在15：00-19：00之间购买商品的人数为

X,求X的分布列与数学期望；

参考数据：若T~N(H，则①p(R-OCTVU+O)=0.6827；

②P(^-2o<T<n+2o)=0.9545；③P(|i-3O<T<H+3O)=0.9973.

第2页共15页

频率/组距

2.在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100

户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患

病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标X.将指标x按照[0,0.2),[0.2,

0.4),[0.4,0.6),[0.6,0.8),[0.8,1,0]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规

定若0兴＜0.6,则认定该户为"绝对贫困户"，否则认定该户为"相对贫困户”；当0众＜0.2

时，认定该户为“亟待帮住户工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭

受教育水平记为"良好"与"不好"两种.

(1)完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好

有关：

受教育水平良好受教育水平不好总计

绝对贫困户2

相对贫困户52

总计100

(2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[0,0.4)的贫困户中,

随机选取两户，用X表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X的分布列和数学期望EX.

2

K1_n(od-bc)

附：一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中"—+源+乩

P(K2>ko)0.150.100.050.025

ko2.0722.7063.8415.024

第3页共15页

3.近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植

的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的新奇水果的

箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：

X13467

y56.577.58

y与x可用回归方程"（其中°,“为常数）进行模拟.

（I）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润

是多少元.（利润=售价-成本）

（II）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的

频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置n辆小货

车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟

最多只能装载40箱该新奇水果，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利

500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.试比较"=3和"=4时此项业务每

天的利润平均值的大小.

参考数据与公式:设t=lgx,贝ij

0.546.81.530.45

AAu_s"=i(fj-Dfyj-y)

y=blgx+。中，a=y-bt

线性回归直线鼻(与可・

4.郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶6元，售价每瓶8

元，未售出的饮料降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，

每天需求量与当天最高气温（单位：。C）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500

第4页共15页

瓶；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量

为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得

下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

（I）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（II）设六月份一天销售这种饮料的利润为y（单位：元），当六月份这种饮料一天的进

货量"（单位：瓶）为多少时，丫的数学期望达到最大值？

第5页共15页

2023年广东省高考数学总复习专题23：概率与统计解答题

答案解析

------------导图助思快速切入-----------------------

［思维流程］——概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型

［回归方程、

T分析ic

［等可能事件、

一五百承神

概U关系1―面豆事柞

率

,通生•…

统

计-®-z商事许

解-一祺承作二

答

题［条件概率、

L(古典概型卜——芬布列

匚便^几何概型)

-------典例分析规范答题---------------------

(2019•全国I)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进

行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机

选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种

药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.

为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈

则甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1

分，甲药得一1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为

a和夕，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p,(z=0,l,....8)表示“甲药的累计得分为i时，

最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则po=O,P8=l，Pi=apt-1+bpi+cpi+1(z—1,2,...,

7),其中a=P(X=-l),6=P(X=0),c=P(X=l).假设a=0.5,4=0.8.

(i)证明：{0+i—pi}(i=O,l,2,…，7)为等比数列；

(ii)求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.

审题路线图

(1)确定x的取值情况t求概率一写分布列

⑵确定系数a,b,c—构造并证明等比数列已知外,［求p4一说明试验方案的合理性

构建答

规范解密分步得分

题模板

第6页共15页

(1)解X的所有可能取值为-1,0,1.

P(X=T)=(l_a)£,

P(X=0)=磔+(1—a)(l-£),

P(X=l)=a(l一份..................................................3分

第一步

所以X的分布列为

定元：确定

X-101

随机变量的

p(1一郎磔+(1—团(1一份1(1一”)

意义和取

值.

.................................................................................................................................4分

第二步

(2)(i)证明由(1)得a=0.4,。=0.5,c=0.1...........................................5分

定性：确定

因此pi=0Api-1+0.5/?/+0.\pi+1,故0.1(/VH—p»=0.4(pLp『i),即p^\—pi=

概率模型并

4(“一P-i)......................................................................................................6分

计算随机变

又因为pi—po=pi，O,所以{pi+i—p/}(i=0,l,2,…，7)为公比为4,首项为pi

量取每一个

的等比数列.......................................................7分

值的概率.

(ii)解由(i)可得

第三步

P8=P8-p7+p7-p6+…+pi-po+po

列表：写出

=(P8~P7)+(P1一夕6)+…+3-po)

随机变量的

48-l

一p\.

3分布列.

3第四步

由于°8一1,故Pl-48।....................................................................1°分

求解:利用

所以P4=04—P3)+S3—〃2)+。2—0)+3—PO)随机变量的

44-1分布列，等

p

3'比数列累加

=」一......................................................11分法并结合题

257目条件求

P4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在解.

甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P4=

—=0.0039,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.…12

257

分

评分细则第(1)问：三个概率写正确给3分；分布列写正确再给1分.

第(2)问：(i)a,b,c三个值正确给1分；写出推导公式给1分，判断首项给1分.

(ii)利用等比数列累加列方程给3分；求出小，写出结论给1分.

第7页共15页

-------------------高考真题把握规律--------------------

1.(2019•新课标H)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每

球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,

假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独

立.在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

(1)求P(X=2)；

(2)求事件"X=4且甲获胜”的概率.

【解答】解：(1)设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件4(k=l,2,3,...),

则P(X=2)=P(A1A2)+P(&&)

=P(Ai)P(A2)+P(4)P(4)

=0.5x0.4+0.5x0.6=0.5.

(2)P(X=4且甲获胜)=P(&A2A34)+P(4&月34)

=P(公)Pa2)P(G)P(4)+P(Ai)P(&)p(A3)p(4)

=(0.5x0.4+0.5x0.6)x0.5x0.4=0.1.

2

2.(2019•天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为假定甲、

乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

(I)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布

列和数学期望；

(II)设M为事件"上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：

30之前到校的天数恰好多2",求事件M发生的概率.

【解答】解：(/)甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概

2

率均为3.

2

故X〜B(3,3),

从而=4"白尸—-

所以，随机变量X的分布列为:

第8页共15页

X0123

P

2

X_—

随机变量X的期望E（X）=3,3~2.

2

（//）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为匕则丫〜8（3,3）,

且M={X=3,Y=1}U{X=2,丫=0},由题意知{X=3,丫=1}与夕=2,丫=0}互斥，且{X

=3}与{丫=1},{X=2}与『=0}相互独立，

由（/）知，P（M）=P（{X=3,r=l}U{X=2,Y=0}=P（{X=3,Y=1}+P{X=2,K=0}

=p（x=3）p（y=i）+p（x=2）p（r=o）

----------模拟演练命中靶心-------------------

1.2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了10月1日7：

00-23：00这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共

5000人次顾客购买商品时刻的的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7：00~11：

00,11：00—15：00,15：00〜19：00,19：00〜23：00,依次记作[7,11）,[11,15）,

[15,19）,[19,23].

（1）求该天顾客购买商品时刻的中位数t与平均值*（同一组中的数据用该组区间的

中点值代表）；

（2）由频率分布直方图可以近似认为国庆节假期期间该商场顾客购买商品时刻服从正态

分布N（u，62）,其中u近似为“，6=3.6,估计2019年国庆节假期期间（10月1日

-10月7日）该商场顾客在12：12-19：24之间购买商品的总人次（结果保留整数）；

（3）为活跃节日气氛，该商场根据题中的4个时间段分组，采用分层抽样的方法从这

5000个样本中随机抽取10个样本（假设这10个样本为10个不同顾客）作为幸运客户，

再从这10个幸运客户中随机抽取4人每人奖励500元购物券，其他幸运客户每人奖励

200元购物券，记获得500元购物券的4人中在15：00-19：00之间购买商品的人数为

X,求X的分布列与数学期望；

参考数据：若T〜N（n，o2）,则①户（H-o<T<n+o）=0.6827；

第9页共15页

②P(H-2o<T<n+2o)=0.9545；③P(p-3o<T<n+3o)=0.9973.

A频率/组距

【解答】解：(1)根据题意，中位数好(15,19),

由4x(0.025+0.075)+(t-15)x0.100=0.5,得t=16,

x=、

4(z9x0.025+13x0.075+17x0.100+21x0.050)=15.8；

(2)由题意可得，商场顾客购买商品时刻服从正态分布N(15.8,3.62),

口-6=12.2,^+6=19.4,

所以2019年国庆节假期期间，商场顾客在12：12-19：24之间购买商品的概率为P(12.2

<7<19.4)=0.6827,

所以人数为5000x0.6827x7=23895；

(3)根据题意X可能取值为0,1,2,3,4,

—=钊1

P(X=o)^io14,P(X=l)Cio",

_C6^4_3_C6^4_4_C4_1

P(X=2)C1O7,P(X=3)C1O界，P(X=4)^10

X的分布列如下

X01234

p

[834]

Xr+X+X亍+3X+4•于彳.—1.6

E(X)=01412127躬210

2.在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100

户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患

病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x.将指标x按照[0,0.2),[0.2,

0.4),[0.4,0.6),[0,6,0.8),[0.8,1.0]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规

第10页共15页

定若0兴＜0.6,则认定该户为“绝对贫困户"，否则认定该户为"相对贫困户”；当0众＜0.2

时，认定该户为“亟待帮住户工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭

受教育水平记为"良好"与"不好"两种.

(1)完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好

有关：

受教育水平良好受教育水平不好总计

绝对贫困户2

相对贫困户52

总计100

(2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于［0,0.4)的贫困户中,

随机选取两户，用X表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X的分布列和数学期望EX.

*2_______”(ad-be)2_________

附：一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+&

P(K2>ko)0.150.100.050.025

ko2.0722.7063.8415.024

M«/a»

2JOO

IM

【解答】解：(1)由如图所示的频率分布直方图可得0众＜0.6的概率pi=(0.25+0.50+0.75)

x0.2=O3,所以100户家庭的“绝对贫困户”由100困.3=30,由(1)的表可得"受教育水

平不好”的由30-2=28,

由题意可得"相对贫困户"由100-30=70,由表可得“受教育水平良好的"有70-52=18,

所以表的值为下表：

第11页共15页

受教育水平良好受教育水平不好总计

绝对贫困户22830

相对贫困户

185270

总计2080100

_100(2x52-18*28)2_

因为卜220x80x70x304,762>3,841,

所以有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关;

(2)由题意可得100户家庭中由“亟待帮住户”有100x0.25x0.2=5户,

[0,0.4)的贫困户有:100x(0.25+0.5)x0.2=15,

由题意可得随机变量X的可能取值为：0,1,2,

_Q产_3__10

p(x=0)p(x=l)21,p(x=2)

X012

3102

P2191

所以X的分布列为:7

,10+2_=2

所以数学期望EX=O・7!--2

3.近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植

的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的新奇水果的

箱数x(单位：十箱)与成本y(单位：千元)的关系如下：

X13467

y56.577.58

y与X可用回归方程)'=""十°(其中°,“为常数)进行模拟.

(I)若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润

是多少元.(利润=售价-成本)

(II)据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的

第12页共15页

频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置n辆小货

车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟

最多只能装载40箱该新奇水果，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利

500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.试比较"=3和"=4时此项业务每

天的利润平均值的大小.

参考数据与公式：设1=©乂，则

线性回归直线y=b3+0中,

纥率/组距

4080120160200箝数

立（『t）2一强

【解答】解：（I）根据题意,

Q=V一抗=

所以6.8-3.4x0.54=4.964,

V=

所以3.4H4.964.

y=

又t=lgx,所以3.4/gx+4.964.

V=_

所以x=10时，3.4+4.964=8.364（千元），

即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000-8364=6636.

（II）根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分布表

为：

第13页共15页

箱数[40,80)[80,120)[120,160)[160,200]

P1111

8428

设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为冷，丫2元.

则看的可能取值为1500,800,100,其分布列为:

Y11500800100

P511

848

=Jx1500+1x800+i-X100=

故E(Yi)u40