高考试题-数学理

2008年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）

理科数学

数学（理）试题头说明：

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22—24题为选

考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结

束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、

准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选

择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.

5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂

♦

参考公式：

样本数据X1，X2，…，X”的标准参锥体体积公式

V=-Sh

3

其中亍为样本平均数其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式球的表面积、体积公式

V=ShS=4nR：丫=一兀/?’

3

其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知函数y=2sin（（yx+⑼3>0））在区间［0,2句的图像如下：

那么。=()

11

A.1B.2C.-D.-

23

z?—2z

2.已知复数Z=贝——-=()

z-1

A.2iB.—2iC.2D.—2

3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()

4.设等比数列｛为｝的公比q=2,前c项和为

贝山二()

的

5.删

6.已知0]>02>。3>0,则使得(1一。/)2<1(1=1,23)都成立的X取值范围是()

21(1)(21

A.0,—B.0,—C.0)—D.0,—

a

JaJ、03>k)

3—sin70°

7.)

2-cos210°

72

A.B.2D.

222

8.平面向量。,b共线的充要条件是()

A.a，b方向相同B.a,b两向量中至少有一个为零向量

32GR,b=AaD.存在不全为零的实数4,%，+

9.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加•

天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有()

A.20种B.30种C.40种D.60种

10.由直线x=，,x=2,曲线y=l■及X轴所围图形的面积为(

)

2X

1517

A.——B.C.-In2D.21n2

4T2

11.己知点P在抛物线=4x上，那么点P到点。(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离

之和取得最小值时，点P的坐标为()

A.f—1jB.f—>1jC.(L2)D.(1,—2)

12.删

第n卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做

答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知向量Q=（0,—,11）,b=（4,10）,|痴+“=屈且入〉0,贝iJ4=.

14.设双曲线工-二=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行双曲线的一条渐近线的直线

916

与双曲线交于点B,则△AFB的面积为.

15.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同•个球面

上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,则这个球的体积为

8------------

16.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）,结果如下：

甲品种：271273280285285287292294295301303303307

308310314319323325325328331334337352

乙品种：284292295304306307312313315315316318318

320322322324327329331333336337343356

由以上数据设计了如下茎叶图

甲乙

3127

7550284

5422925

8733130467

94031235568

8

855332022479

741331367

343

ccr-r

根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论:

;

②.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知｛《｝是一个等差数列，且4=1，%=—5.

（I）求｛4｝的通项。“；

（II）求｛4｝前0项和5”的最大值.

18.（本小题满分12分）

如图，已知点P在正方体A6CO—A'6'C'。'的对角线8。上，ZPDA=60°.

（I）求OP与CC'所成角的大小；

（II）求DP与平面A4'。'。所成角的大小.

19.（本小题满分12分）

48两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别

（I）在A,B两个项目上各投资100万元，丫1和丫2分别表示投资项目A和8所获得的利润,

求方差DY1，。丫2；

（II）将x（0W其100）万元投资A项目，100—X万元投资B项目，/（X）表示投资A项目

所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求一（X）的最小值，并指出x为何值时,

/（X）取到最小值.

（注：D（aX+b）=a2DX）

20.（本小题满分12分）

在直角坐标系xOy中，椭圆G：=+==1（a>b>0）的左、右焦点分别为G,后.F2也是

a~b~

抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为G与Cz在第一象限的交点，且|MFzl=».

3

(I)求Q的方程；

(II)平面上的点N满足赤=诟+丽，直线l〃MN,且与G交于A,B两点，若

OAOB=0,求直线/的方程.

21.(本小题满分12分)

设函数/(x)=ax+—L(a,/>eZ),曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为y=3.

x+b

(i)求y(x)的解析式:

(H)证明：函数y=/(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

(III)证明：曲线y=/(x)上任一点的切线与直线x=l和直线*x所围三角形的面积为定值,

并求出此定值.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用

2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，过圆。外一点〃作它的一条切线，切点为A,过A点作直线AP垂直直线。M,垂

足为P.

(I)证明：OMOP=OA2；

(II)N为线段4P上一点，直线N8垂直直线。N,且交圆。于8点.过8点的切线交直

线ON于K.证明：ZOKM=90°.

23.(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

x怎一戊

已知曲线G：〈(。为参数)，曲线C2：

[y=sin。

(I)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数;

(H)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线G'，.型G'，C；

的参数方程.C；与公共点的个数和C1与。2公共点的个数是否相同？说明你的理由•

24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数/(刈=卜_8|_卜_4|.

(I)作出函数y=/(x)的图像；

(II)解不等式|x—8|—|x—4|>2.

参考答案

BBDCABCDADAC

(13)3(14)一(15)—

153

(16).1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或：乙品种棉花的纤

维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度)。

2.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散.(或：乙品种棉花的纤维长度较

甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定).甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤

维长度的分散程度更大).

3.甲品种棉花的纤维长度的中位效为307mm,乙品种棉花的纤谁长度的中位数为318mm

4.乙品种棉花的纤堆长度基本上是对称的.而且大多集中在中间(均值附近).甲品种棉

花的纤维长度除一个特殊值(352)外.也大致对称.其分布较均匀.

三、解答题

(17)解：

,、fa,+J=1

(1)设｛4｝的公差为d,由已知条件，5,解出6=3,d=—2,

所以Qa=%-l)d=-2n+5o

(2)Sn=na1+—--d=-n~+4〃=4-(〃-2)

所以"=2时，取到最大值4。

(18)解:

如图，以。为原点，D4为单位长度建立空间直角坐标系。-孙z。

则方=(i,o,o),dF=(o,o,i).

连结80,8力

在平面58'。'。中，延长。P交"。'于

设丽=W，M,1)(M>0),

由已知(而，万耳=60°,

由方丽=|网西cos(瓯西

可得2M=12m2+1。

解得机=也，所以而=(Y2,Yl,i

222

也xO+也xO+lxl/T

(I)因为cos<DH,CC'>=2------'------=—,

lxV22

所以＜丽，页＞=45°.

即。尸与CC'所成的角为45°.

(II)平面AA'D'D的一个法向量是DC=(0,10).

^-xO+^^x1+1x0.

因为cos<DH,DC>-----------------=—,

lxV22

所以＜。”,。。＞=60".

可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°.

19.解：

(I)由题设可知外和与的分布列分别为

=(5—6)2乂0.8+(10—6)2然0.2=4,

吗=2x0.2+8x0.5+12x0.3=8,

"=(2—8)2x0.2+(8—8>X0.5+(12-8)2X0.3=12.

100—x

(II)f(x)=D

1002

x100-X2

IDY

t+IDY

ibo1002

=磊[,+3(]00_》)2]

=(4x2-600.r+3X10()2),

当了=胆=75时，/(x)=3为最小值.

2x4

20.解:

(I)由。2：y2=4x知6(1,0).

设%),M在G上，因为|加入|=|，所以玉+1=1,

组一2_2显

得芯=§,%=.

M在G上，且椭圆C的半焦距c=l,于是

48,

<9/3b?消去。2并整理得

b-=a2-1.

9aJ37/+4=0,

解得a=2(a=］不合题意，舍去).

3

22

故椭圆G的方程为?+1~=1・

(H)由何+丽=而知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点。，

因为1〃MN,所以/与0M的斜率相同，

276

故/的斜率女=一尚一=指.

3

设/的方程为y=J4(x—m).

3x2+4y2=12,

由《消去y并化简得

y=y/6(x-m)f

9x2-16mx+8优2-4=0.

设A(』，％),B(X2,必)，

16m8m2-4

%+工2=丁，百次2二--—•

因为。A_LOB,所以玉4=0•

x}x24-y}y2-XjX2+6(玉-m)(x2-m)

2

-lxyx2-6m(x}+x2)+6m

Sm2-4/16/72/

=7--------om----+6m2

99

12c八

二一(14加2-28)=0.

所以m=±^2.

此时A=(l6m了-4x9(8m2-4)>0,

故所求直线/的方程为y=Jdx—26，或>=®+26.

21.解：

1

(I)fM

。+与2

2aH-----=1,(

十口2+b.。=1，

于是《[解Z得IM！

1八》=—L

a-------7=0,i

因q,Z?eZ,故/(x)=xd----.

x-1

(H)证明：已知函数%=%，都是奇函数.

X

所以函数g(x)=x+，也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.

X

而/(x)=x-l+」一+1.

X-1

可知，函数g(x)的图像按向量a=(1,1)平移，即得到函数/(X)的图像，故函数/(X)的图像

是以点(1,1)为中心的中心对称图形.

(1、

(III)证明：在曲线上任取一点X。，x0+----

、/一1,

由/'(玉,)=1----J知，过此点的切线方程为

—*■)

%一九0+111Z\

y一―-——七一=1-------T(尤一%).

/-1[_(%-1);

令X=1得y=泡土1,切线与直线x=l交点为1,互担].

X。-1(XO-1J

令y=x得y=2x()-1,切线与直线y=x交点为(2x0-l,2x0-1).

直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).

从而所围三角形的面积为-■—1