二次函数中的符号问题与求解析式

关于二次函数中的符号问题与求解析式第一页，共五十四页，编辑于2023年，星期日2回味知识点：1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是

.3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是

.a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下。（0、c）X=-第二页，共五十四页，编辑于2023年，星期日3归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上a>0开口向下a<0（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:交点在x轴上方c>0交点在x轴下方c<0经过坐标原点c=0第三页，共五十四页，编辑于2023年，星期日4（3）b的符号：由对称轴的位置确定：对称轴在y轴左侧a、b同号对称轴在y轴右侧a、b异号对称轴是y轴b=0（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定:与x轴有两个交点b2-4ac>0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac<0归纳知识点：简记为：左同右异第四页，共五十四页，编辑于2023年，星期日5归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定第五页，共五十四页，编辑于2023年，星期日二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c，△与抛物线的关系aa,bc△a决定开口方向：a＞０时开口向上，

a＜０时开口向下︳a︱越大开口越小。a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧

a、b异号时对称轴在y轴右侧

b＝０时对称轴是y轴c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴

c＝０时抛物线过原点

c＜０时抛物线交于y轴的负半轴△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点

△＝０时抛物线与x轴有一个交点

△＜０时抛物线于x轴没有交点第六页，共五十四页，编辑于2023年，星期日2、判断y=ax2+bx+c符号

a、b、c、

2a+b、2a-b、

b2-4ac、

a+b+c、a-b+c、

1-1第七页，共五十四页，编辑于2023年，星期日abc2a+b2a-bb2-4ac

a+b+c

a-b+c4a+2b+c4a-2b+c开口方向大小向上a>0向下a<o对称轴与y轴比较左侧ab同号右侧ab异号与y轴交点交于上半轴c>o下半轴c<0-与1比较-与-1比较与x轴交点个数令x=1，看纵坐标令x=-1，看纵坐标令x=2，看纵坐标令x=-2，看纵坐标第八页，共五十四页，编辑于2023年，星期日3、判断y=ax2+bx+c符号a、b、c2a+b,2a-b,b2-4aca+b+ca-b+c4a+2b+c、4a-2b+c1-1第九页，共五十四页，编辑于2023年，星期日10快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xoy根据图像可得：1、a＞02、-＞03、△=b²-4ac＞04、C＞0第十页，共五十四页，编辑于2023年，星期日11抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：根据图像可得：1、a＞02、-＜03、△=b²-4ac＞04、C＝0第十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期日12抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：根据图像可得：1、a＞02、-＞03、△=b²-4ac＝04、C＞0第十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期日13抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：根据图像可得：1、a＞02、-＝03、△=b²-4ac＝04、C＝0第十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期日14抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：根据图像可得：1、a＜02、-＞03、△=b²-4ac＜04、C＜0第十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期日15练一练：1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限xoyD根据图像可得：1、a＜02、-＞03、△=b²-4ac＞04、C＞0第十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期日16练一练：2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c＞0；④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是（）A、4个B、3个C、2个D、1个xoyx=1B根据图像可得：1、a＜02、-＝13、△=b²-4ac＞04、C＜0第十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期日17练一练：3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0;⑤a-b+c＞0正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个xoy-11C根据图像可得：1、a＜02、-＝-13、△=b²-4ac＞04、C＞0第十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期日184.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的范围,并说明理由.1MOBAyx1想一想：根据图像可得：1、a＜02、-＜03、a+b+c＝04、C＝1第十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期日195.(06.芜湖市)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是

.再想一想：-2

设正方形的对角线长为2n，根据图像可得：∵A（0、2n）、B（-n、n）、

C（n、n）∴n=a（±n）²+2n、c=2n，∴a=-，∴ac=2n*（-）

=-2

第十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期日206.（06.浙江省）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴．(以下有(1)、(2)两问，每个考生只须选答一问，若两问都答，则只以第(2)问计分)第(1)问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0．其中正确结论的序号是

（答对得3分，少选、错选均不得分）．第(2)问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的序号是

（答对得5分，少选、错选均不得分）．xyO1-12仔细想一想：①④②③④第二十页，共五十四页，编辑于2023年，星期日212.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为

；1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围是________;3.(03武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0)经过点（－1，0），且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞0；③－a＋b＋c＞0；④b2-2ac>5a2．其中正确的个数有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个第二十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期日（1）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c，a－b＋c这五个代数式中，值为正数的有（）练习A．4个B．3个C．2个D．1个yx-11第二十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期日1.已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，则有（）

(Ａ)a＜0,b＜0,c＞0(Ｂ)a＜0,b＜0,c＜0

(C)a＜0,b＞0,c＞0(D)a＞0,b＜0,c＞0第二十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期日（2）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c为常数）的一个解的范围是（）x6.176.186.196.20y＝ax2＋bx＋c-0.03-0.010.020.04A．6.17＜X＜6.18B．6.18＜X＜6.19C．-0.01＜X＜0.02D．6.19＜X＜6.20第二十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期日yx02-3（3）小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象观察得出下面的五条信息：①a＜0；②c＝0；③函数的最小值为-3；④当x＜0时，y>0；⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1>y2

你认为其中正确的个数有（）

A．2B．3C．4D．5第二十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期日（4）请你写出一个二次函数y＝ax2＋bx＋c，使它同时具有如下性质：①图象关于直线x＝1对称；②当x＝2时，y>0；③当x＝－2时，y<0。答：____________第二十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期日二次函数解析式的求法第二十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期日二次函数解析式常见的三种表示形式：(1)一般式(2)顶点式(3)交点式第二十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期日1、已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线与x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线的解析式；分析：∵直线与x轴、y轴的交点为（2，0），（0，3）则：第二十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期日

2、公园在点A处安装水龙头OA，已知AO=2米，在水平距离OD=0.5米时达到最高CD=3米，建立如图所示的直角坐标系中，A点的坐标是（

，

）、D点的坐标是（

，

）、C点的坐标是（

，

）。顶点是

，此抛物线的解析式为

。CAByxOD第三十页，共五十四页，编辑于2023年，星期日

3、把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位时的顶点坐标为（-2，0），且a+b+c=0，求a、b、c的值。设原抛物线的解析式为y=a（x+m）2+n则平移后抛物线的解析式为y=a（x+m+5）2+n-1根据题意得：∴y=a（x-3）2+1=ax2-6ax+9a+1∴a-6a+9a+1=0……第三十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期日4、已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；（2）当x取何值时，y>0？（3）将抛物线作怎样的一次平移,才能使它与坐标轴仅有两个交点,并写出此时抛物线的解析式。xyoABDC-15-2.5第三十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期日

4、已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；（2）当x取何值时，y>0？（3）将抛物线作怎样的一次平移,才能使它与坐标轴仅有两个交点,并写出此时抛物线的解析式。xyoABDC-15-2.5第三十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期日

4、已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；（2）当x取何值时，y>0？（3）将抛物线作怎样的一次平移,才能使它与坐标轴仅有两个交点,并写出此时抛物线的解析式。xyoABDC-15-2.5第三十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期日

4、已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；（2）当x取何值时，y>0？（3）将抛物线作怎样的一次平移,才能使它与坐标轴仅有两个交点,并写出此时抛物线的解析式。xyoABDC-15-2.5第三十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期日5、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D，使S△OCD=S△OCB，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。xyoABC（1）y=x+4A（1，5）∴y=-x2+6x第三十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期日5、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D，使S△OCD=S△OCB，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。xyoABC（1）y=x+4y=-x2+6x（4，8）（6，0）第三十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期日5、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D，使S△OCD=S△OCB，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。xyoABCy=-x2+6x（4，8）（6，0）（2）S△OCB=24设点D坐标为（x，y）∴y=±12……第三十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期日

1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为P（-2，9），且与x轴有两个交点A、B（A左B右），S△ABC=27，求：（1）二次函数的解析式；（2）A、B两点的坐标；（3）画出草图；（4）若抛物线与y轴交于C点，求四边形ABCP的面积。试一试：(1)y=-x2-4x+5(2)A(-5,0),B(1,0)(4)S=30第三十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期日2、已知：一次函数的图象交y轴于点（0，-1），交抛物线y=x2+bx+c于顶点和另一点（2，5），试求这个一次函数的解析式和b、c的值。点拔：∴y=3x-1∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为第四十页，共五十四页，编辑于2023年，星期日

3、已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（-5，0）、（0，）（1，6）三点，直线L的解析式为y=2x-3，（1）求抛物线的解析式；（2）求证：抛物线与直线无交点；（3）若与直线L平行的直线与抛物线只有一个交点P，求P点的坐标。点拔：（1）（2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解（3）设与L平行的直线的解析式为y=2x+n则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一个解。即△=0第四十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期日4、已知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直线y=3x-1交于A（m，2）、B（n，5），且其中一个交点为该抛物线的顶点，求（1）此二次函数的解析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大。先求出A、B两点的坐标：A（1，2）、B（2，5）①若A（1，2）为顶点：设解析式为y=a(x-1)2+2∵5=a+2∴a=3又∵函数有最大值,∴a=3不合,舍去.②若B（2，5）为顶点：设解析式为y=a(x-2)2+5∵2=a+5∴a=-3则解析式为y=-3(x-2)2+5第四十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期日第四十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期日1、已知二次函数与轴两个交点为A（，0），B（，0），且满足，求此二次函数解析式。2、已知二次函数（1）求证：不论k取何值，这个函数的图像与轴总有两个交点。（2）实数k为何值时，这两个交点之间的距离最小，并求这个最小距离。第四十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期日（南京市中考题）如果抛物线与轴交于A、B两点，点A在轴的正半轴上，点B在轴的负半轴上，0A=a,0B=b,若a:b=3:1，求抛物线的解析式。第四十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期日已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k－1＝0有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝2x2+4x+k－1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y＝x+b(b＜k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.第四十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期日解（1）由题意，得Δ＝16－8(k－1)≥0，所以k≤3，而k为正整数，所以k＝1，2，3.（2）当k＝1时，方程2x2+4x+k－1＝0有一个根为0；当k＝2时，方程2x2+4x+k－1＝0无整数根；当k＝3时，方程2x2+4x+k－1＝0有两个非0整数根；综上所述，k＝1和k＝2时，不合题意，舍去，k＝3符合题意.当k＝3时，二次函数为y＝2x2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位，得到的图象的解析为y＝2x2+4x－6.（3）设二次函数为y＝2x2+4x－6的图象与x轴交于A，B两点，则A(－3，0)，B(1，0).依题意，得翻折后的图象如图所示，当直线y＝x+b经过点A时，可求得b＝；当直线y＝x+b经过点B时，可求得b＝－.由图象可知，符合题意的b(b＜3)的取值范围为－＜b＜.第四十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期日如图1，已知二次函数y＝x2－2x－1的图象的顶点为A.二次函数y＝ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y＝x2－2x－1的图象的对称轴上.（1）求点A与点C的坐标；（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y＝ax2+bx的关系式.图1第四十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期日解如图2.（1）因为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，所以顶点A的坐标为(1，－2).又因为二次函数y＝ax2+bx的图象经过原点，且它的顶点在二次函数y＝x2－2x－1图象的对称轴l上，所以点C和点O关于直线l对称，所以点C的坐标为(2，0).（2）因为四边形AOBC是菱形，所以点B和点A关于直线OC对称，因此，