抽象代数 群的定义

抽象代数群的定义1第一页，共十二页，2022年，8月28日群的定义

设非空集S上有一个运算·,1、如果运算满足结合律，则称(S,·)是半群。2、如果半群S中有一个元素e满足a∈S有

e

·

a=a·

e=a，则称(S,·,e)是幺半群，称e为单位元或幺元。3、如果幺半群S满足a∈S有ｂ∈S使得

a·ｂ=ｂ·a=e则称a是可逆元，并称ｂ是a的一个逆元。注：通常用1表示单位元。2023/3/162第二页，共十二页，2022年，8月28日群定义４命题若a是可逆元，则a的逆元是唯一的，记为a－１．证明：若a有两个逆元ｂ和ｃ，即有

ab=ba=1,ac=ca=1

b=1b=cab=c1=c.■5、如果幺半群S的每个元素都有逆元，则称Ｓ是一个群(group)。运算满足交换律的群Ｓ称为交换群.2023/3/163第三页，共十二页，2022年，8月28日群定义6、对群G中的元a和正整数n．

an表示n

个a

相乘;

a-n

=(a-1)n,a0=17、验证：amn

=(am)n;

am+n

=aman.2023/3/164第四页，共十二页，2022年，8月28日几个问题:(1)、为什么要求群的运算满足结合律?

(2)、为什么要有单位元？(3)、逆元的存在性有何运算意义?

2023/3/165第五页，共十二页，2022年，8月28日群的例子再明确一下群的概念定义设Ｇ是一个非空集合，如果Ｇ上定义了一个运算满足（Ｉ）结合律

a,b,c∈A有(ab)c=a(bc)；（Ⅱ）有单位元e：a∈A有

ea=ae=a；（Ⅲ）有逆元

a∈G，有b∈Ｇ使得

ab=ba=e(其中b称为a的逆元，记为a－１

)。则称Ｇ是一个群．注意：记住验证运算的封闭性！2023/3/166第六页，共十二页，2022年，8月28日1.１群的概念和例子例１实集Ｒ、有理数集Ｑ、整数集Ｚ关于数的加法都是交换群（满足交换律的群）；关于数的乘法怎么样？规定：只有交换群的运算符才能用加号“+”表示。当交换群G的运算符才能用加号“+”表示时，则称G为加群。例２正实集Ｒ＋、正有理数集Ｑ＋关于数的乘法都是交换群；正整数集Ｚ＋关于数的乘法怎么样？2023/3/167第七页，共十二页，2022年，8月28日例３即方程xn=1的全部根之集，不难验证:1.１群的概念和例子设是n次单位根集．Ｕn关于数的乘法是一个群．叫做n次单位根群。2023/3/168第八页，共十二页，2022年，8月28日1.１群的概念和例子证明：例４域Ｆ上的全体n阶可逆方阵GLn(F)关于矩阵的乘法构成一个群，称为Ｆ上的n阶一般线性群．即Ａ,Ｂ∈GLn(F)，有AB∈GLn(F)．封闭性可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵，结合律:矩阵的乘法满足结合律；单位元:单位矩阵Ｉ就是单位元；逆元:Ａ∈GLn(F)，Ａ可逆，A的逆矩阵就是Ａ的逆元．2023/3/169第九页，共十二页，2022年，8月28日1.１群的概念和例子例５域Ｆ上的行列式为1的全体n阶方阵之集SLn(F)关于矩阵的乘法构成一个群，称为Ｆ上的n阶特殊线性群．例6实数域R上的全体n阶正交矩阵之集On(R)关于矩阵的乘法构成一个群，称为n阶正交群．2023/3/1610第十页，共十二页，2022年，8月28日例7向量空间VＦ上的全体可逆线性变换GL(V)关于变换的合成运算构成一个群．例8

n维欧氏空间VＦ上的全体正交变换之集On(V)关于变换的合成运算构成一个群．例9平面上绕一定点按同一方向旋转2k/

n的变换记为k

，则{1,2,…,n}