九年级数学(上册)考点解析

九年级数学（上册）考点解析

第一章：证明（二）

§1.1你能证明它们吗

一、考点解析

1、三角形全等的判定以及全等三角形的性质

2、等腰三角形的性质和判定及其应用

3、等边三角形的性质和判定及其应用

4、两个重要定理及其应用

（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半.

（2）在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.

5、反证法以及用反证法证题的基本步骤

6、分类讨论思想

二、典型例题解析

例1、如图1,已知点D、E在4ABC的边BC上，AD=AE,

BD=CE,求证:AB=AC.

证法—'：'."AD=AE,/_ADE=ZAED,

•••BD=CE,.-.BD+DE=CE+DE,即BE=CD,

.♦.在Z\ABE和AACD中，AE=AD,/AED=/ADE,BE=CD,

AABE^AACD,.,.AB=AC.

证法二：如图2,过点A作AFJ_BC于点F,

•••AD=AE,AF1BC,，DF=EF,

..•BD=CE,...BD+DF=CE+EF,即BF=CF,

••1AF1BC,.-.ZAFB=ZAFC=9O°,

,.,AF=AF,/.AABF^AACF,/.AB=AC.

例2、如图3,已知D、E分别是等边三角形ABC的边BC、AC上的点，且BD=CE,连

接BE、AD,它们交于点F,求NAFE的度数

A

A

斛：•「△ABC是等边三角形，

ZABC=ZBCA=60°,AB=BC,

AAABDjfoABCE中，

AB=BC,ZABD=ZBCE,BD=CE

.'.△ABD^ABCE,r.NBAD=NCBE,BD图3C

•."AFE=NBAD+/ABE,/.ZAFE=：ZCBE+ZABE=ZABC=60°.

例3、如图4,已知在AABC中，AB=AC,P为底边BC上任意一点，PD_LAB于点D,

PE_LAC于点E,求证：PD+PE是一个定值.

A

斛：连接AP,过点（：作CF_LAB于点F,

由S.BC,S"AB=；ABPD,

SAPAC=5AC,PE--ABPE,SMBC-+S

得：-ABCF=-ABPD+-ABPE,

222BPC

图4

即，PD+PE=CF（定值）.

思考：如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上,其它条件保持不变，那么PD

与PE之间又有怎样的关系呢？

-A

斛：连接AP,过点C作CF1AB于点F,

由SMBC-JAB.CP,S"AB=；ABPD

Swc=；ACPE=g"PE,

SMBC=S〉PAB-SkPAC1

得：-ABCF^-ABPD--ABPE,B图5

222匚

即，PD-PE=CFr定值）.

即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为一定值.

例4、如外,。2,43，%，。5都是正实数，且％+。2+。3+。4+。5=1，求证：这5个实数

中至少有一个大于或等于1.

5

证明；假设这5个实数中没有一个大于或等于W，即。]<《，〃2<y，。3<W，。4<W，

%<（，贝1%+%+。3+。4+<5X],即4+2+%+。4+。5<1，这与已知中的

4+%+%+。4+。5=1相矛盾.所以假设不成立，原命题成立.

i战测评试题

一、选择题

1、下列说法中正确的是（）.

A、等腰三角形的三个外角都是钝角

B、等腰三角形顶角的外角一定是钝角

C、等腰三角形底角的外角一定是钝角

D、等腰三角形的底角是锐角，则顶角一定是钝角

2、等腰三角形有一底角的外角为105°,那么它的顶角为（）.

A、30°B、40°C、45°D、60°

3、在一个等腰三角形ABC中，若NA=50°,那么NB=（）.

A、50°B、65°C、80°D、50°、65°或80°

4、若等边三角形的边长为2,那么这个三角形的面积为（）.

A、乖>B、2C、273D、4

5、等腰三角形--腰上的高恰好是腰长的一半，则此三角形的顶角为（）.

A、30°B、45°C、60°D、30°或150°

二、填空题

6、等腰三角形的一边长为5,另一边长为6,那么这个三角形的周长为（).

7、如图6,已知在aABC中，D、E在AB边上，且AD

=AC,BE=BC,若NACB=88°,那么NDCE=（）.

8、如果等腰三角形的各边长均为正整数，周长为11,

那么满足上述条件且互不全等的三角形有（）个.

9、如图7,已知D是AABC的BC边的中点，且NADC

=45°,将4ACD沿AD对称到△AC'D处,连接C'B,

那么线段BC与BC'之间的数量关系为（）.

10、若等腰三角形一腰上的中线将其周长分成了12

和15的两部分，则它的底边长为（）.

12、（1）如图9-1,已知点C是线段AB上任意一点（点C与点A、B不重合），分别以

AC、BC为边在AB的同侧作等边三角形ACD、BCE,连接AE、BD,求证：AE=BD.

（2）如图9-2,如果点C是线段AB外任意一点，分别以AC、BC为边向外作等边三角

形ACD、BCE,连接AE、BD,那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若

不成立，请说明理由.

参考答案:

一、选择题

答案：1、C2、A3、D4>A5、D

提示：1、等腰三角形的底角必为锐角，否则两底角之和已经不小于180°,这与三

角形的内角和为180°相矛盾.因此其外角一定是钝角.

2、由底角的外角为105°可得这个底角为75°,再由180°-(75°+75°)

=30°可求得顶角为30°.

3、若NA是该等腰三角形的顶角，则NB=NC=(180°-50°)+2=65°；

若NA是该等腰三角形的底角，/B也是底角，则NB=/A=50°；若/A是该等腰三

角形的底角，NB是顶角，则NB=180°-(50°+50°)=80°；

4、作一边上的高，则可求得高为百，从而其面积为」X2X6=百.

2

5、注意分顶角为锐角和钝角两种情况来讨论即可.

二、填空题

答案：6、16或177、46°8、39、BC=CBC'10、7或11

提示：6、分5为腰长和底边长两种情况讨论即可.

7、VZACB=88°,：.ZA+ZB=180°-88°=92°,VAD=AC,AZACD

=NADC,：BE=BC,NBCE=NBEC,而NA+NACD+NADC=180°,ZB+ZBCE

+ZBEC=180°,：.2(ZACD+ZBCE)=2X180°—(ZA+ZB)=268°,ZACD

+ZBCE=134",XVZACD+ZBCE=ZACB+ZDCE,.\ZDCE=134°-88°=46°.

8、设等腰三角形的腰长为a,底边长为6,则2a+b=11,从而有a=3,b=5；

。=41=3；。=5,6=1这三种情况.

9、由/ADC=45°及C'D与CD关于AD对称可得/C'DC=NC'DB=90°,从

而BC=2BD=2x--BC'=夜BC'.

2

10、设等腰三角形的腰长为a,底边长为b,则由题意得a+^-a=12,