建筑力学静定梁

建筑力学静定梁第一页，共一百零一页，2022年，8月28日静定结构受力分析几何特性：无多余联系的几何不变体系静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力求解一般原则：从几何组成入手，按组成的相反顺序进行逐步分析即可本章内容： 静定梁；静定刚架；三铰拱；静定桁架； 静定组合结构；静定结构总论第二页，共一百零一页，2022年，8月28日一、静定梁第三页，共一百零一页，2022年，8月28日梁平面弯曲的概念

以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形或简称弯曲(Bending)。以弯曲为主要变形的杆件称为梁(beam)。当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变形后的梁轴线也仍在纵向对称平面内，这种在变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲。第四页，共一百零一页，2022年，8月28日内力

指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。第五页，共一百零一页，2022年，8月28日§3-1单跨静定梁的内力分析一、截面上内力符号的规定：

轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图要注明正负号；

剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的合力,使杆微段有顺时针方向转动趋势的为正，画剪力图要注明正负号；

弯矩—截面上应力对截面形心的力矩之和,不规定正负号。弯矩图画在杆件受拉一侧，不注符号。NNQQMM第六页，共一百零一页，2022年，8月28日二、单跨梁单跨梁支反力XMYL/2L/2P例.求图示梁支反力A解:第七页，共一百零一页，2022年，8月28日三、截面法求指定截面内力KC例:求跨中截面内力解:(下侧受拉)第八页，共一百零一页，2022年，8月28日计算指定截面上的剪力和弯矩例题1

外伸梁受荷载作用，图中截面1-l和2-2都无限接近于截面A，截面3-3和4-4也都无限接近于截面D。求图示各截面的剪力和弯矩。§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第九页，共一百零一页，2022年，8月28日解：1.根据平衡条件求约束反力2.求截面1-1的内力第十页，共一百零一页，2022年，8月28日3.求截面2-2的内力第十一页，共一百零一页，2022年，8月28日4.求截面3-3的内力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第十二页，共一百零一页，2022年，8月28日5.求截面4-4的内力比较截面1-1和2-2的内力发现说在集中力的两侧截面剪力发生了突变，突变值等该集中力的值。第十三页，共一百零一页，2022年，8月28日比较截面3-3和4-4的内力在集中力偶两侧横截面上剪力相同，而弯矩突变值就等于集中力偶矩。梁的内力计算的两个规律：（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方向投影的代数和。即：若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”，或“左上，右下剪力为正”。相反为负。§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第十四页，共一百零一页，2022年，8月28日（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心O的力矩的代数和。即：若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形(即上部受压，下部受拉)时，等式右方取正号，反之，取负号。此规律可简化记为“下凸弯矩正”或“左顺，右逆弯矩正”，相反为负。第十五页，共一百零一页，2022年，8月28日例题2

一外伸梁，所受荷载如图示，试求截面C、截面B左和截面B右上的剪力和弯矩。§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]解：1.根据平衡条件求出约束力反力第十六页，共一百零一页，2022年，8月28日2.求指定截面上的剪力和弯矩截面C：根据截面左侧梁上的外力得：截面B左、B右：取右侧梁计算，得：§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第十七页，共一百零一页，2022年，8月28日剪力方程和弯矩方程在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，FQ=FQ(x)M=M(x)梁的剪力方程梁的弯矩方程§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第十八页，共一百零一页，2022年，8月28日四、剪力图和弯矩图

以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ(x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第十九页，共一百零一页，2022年，8月28日例题3

图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此梁的剪力图和弯矩图解：1.列剪力方程和弯矩方程(0＜x＜l)(0≤x＜l)2.作剪力图和弯矩图由剪力图和弯矩图可知：§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第二十页，共一百零一页，2022年，8月28日例题4

简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力由对称关系，可得：§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第二十一页，共一百零一页，2022年，8月28日2.列剪力方程和弯矩方程3.作剪应力图和弯矩图§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第二十二页，共一百零一页，2022年，8月28日例题5

简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力2.列剪力方程和弯矩方程

（0<x<a）(0≤x≤a)AC段：§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第二十三页，共一百零一页，2022年，8月28日CB段：(a<x<l)(0≤x≤l)3.作剪力图和弯矩图§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第二十四页，共一百零一页，2022年，8月28日第二十五页，共一百零一页，2022年，8月28日例题6

简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力2.列剪应力方程和弯矩方程AB段：（0<x<l）§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第二十六页，共一百零一页，2022年，8月28日CB段：

(a<x≤l)AC段：

(0≤x≤a)3.绘出剪力图和弯矩图

§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第二十七页，共一百零一页，2022年，8月28日第二十八页，共一百零一页，2022年，8月28日五、作内力图的基本方法例:作图示粱内力图内力方程式:弯矩方程式剪力方程式轴力方程式解:MQ第二十九页，共一百零一页，2022年，8月28日六、弯矩,剪力,荷载集度之间的微分关系1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线.微分关系:M图Q图Pl

自由端无外力偶则无弯矩.截面弯矩等于该截面一侧的所有外力对该截面的力矩之和第三十页，共一百零一页，2022年，8月28日M图Q图例:作内力图

铰支端无外力偶则该截面无弯矩.第三十一页，共一百零一页，2022年，8月28日2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线,

且凸向与荷载指向相同.Q=0的截面为抛物线的顶点.1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线.M图Q图第三十二页，共一百零一页，2022年，8月28日例:作内力图M图Q图第三十三页，共一百零一页，2022年，8月28日2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线,

且凸向与荷载指向相同.1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线.3.集中力作用处,Q图有突变,且突变量等于力值;M

图有尖点,且指向与荷载相同.M图Q图第三十四页，共一百零一页，2022年，8月28日M图Q图M图Q图A支座的反力大小为多少,方向怎样?第三十五页，共一百零一页，2022年，8月28日2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线,

且凸向与荷载指向相同.1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线.3.集中力作用处,Q图有突变,且突变量等于力值;M

图有尖点,且指向与荷载相同.4.集中力偶作用处,M图有突变,且突变量等于力偶值;Q图无变化.M图Q图第三十六页，共一百零一页，2022年，8月28日几种典型弯矩图和剪力图l/2l/2ml/2l/2Plq1、集中荷载作用点M图有一夹角，荷载向下夹角亦向下；Q图有一突变，荷载向下突变亦向下。2、集中力矩作用点M图有一突变，力矩为顺时针向下突变；Q图没有变化。3、均布荷载作用段M图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；Q图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜第三十七页，共一百零一页，2022年，8月28日例:作内力图M图Q图M图Q图

铰支座有外力偶,该截面弯矩等于外力偶.

无剪力杆的弯矩为常数.

自由端有外力偶,弯矩等于外力偶第三十八页，共一百零一页，2022年，8月28日练习:利用上述关系作弯矩图,剪力图第三十九页，共一百零一页，2022年，8月28日练习:利用上述关系作弯矩图,剪力图第四十页，共一百零一页，2022年，8月28日练习:ll第四十一页，共一百零一页，2022年，8月28日§3-2分段叠加法作弯矩图MAMBqM+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBqMBMAMMMBMAMAMBMMM分段叠加法的理论依据：假定：在外荷载作用下，结构构件材料均处于线弹性阶段。ABO图中：OA段即为线弹性阶段

AB段为非线性弹性阶段第四十二页，共一百零一页，2022年，8月28日3m3m4kN4kN·m4kN·m4kN·m2kN·m4kN·m6kN·m3m3m8kN·m2kN/m4kN·m2kN·m4kN·m4kN·m6kN·m4kN·m2kN·m（1）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图（1）悬臂段分布荷载作用下（2）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图第四十三页，共一百零一页，2022年，8月28日分段叠加法作弯矩图的方法：（1）选定外力的不连续点（分布荷载的始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；（2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。第四十四页，共一百零一页，2022年，8月28日1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFG例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。[分析]该梁为简支梁，弯矩控制截面为：D和F叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值解：（1）先计算支座反力kNkN（2）求控制截面弯矩值P=8kNADm=16kN.mFB48第四十五页，共一百零一页，2022年，8月28日1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFGABCDEFGABCDEFG17132672315308M图（kN.m）1797+_Q图（kN）第四十六页，共一百零一页，2022年，8月28日内力

指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。第四十七页，共一百零一页，2022年，8月28日应力的概念问题提出：PPPP1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：①内力在截面分布集度应力；

②材料承受荷载的能力。1.定义：由外力引起的（构件某截面上一点处）内力集度。第四十八页，共一百零一页，2022年，8月28日

工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。PAM①平均应力(A上平均内力集度)②全应力（总应力）：(M点内力集度)2.应力的表示：第四十九页，共一百零一页，2022年，8月28日③全应力分解为：pM垂直于截面的应力称为“正应力”

(NormalStress)；位于截面内的应力称为“剪应力”(ShearStress)。应力单位：Pa=N/m2

MPa=106N/m2GPa=109N/m2第五十页，共一百零一页，2022年，8月28日平面图形的几何性质反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，统称为截面的几何性质。形心和静矩形心(Centroids)坐标公式：

3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第五十一页，共一百零一页，2022年，8月28日组合图形是几个规则而成的图形。图形组合的静矩：

图形组合的形心坐标公式：

3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]静矩又称面积矩第五十二页，共一百零一页，2022年，8月28日惯性矩、惯性积和平行移轴定理惯性矩(MomentsofInertia)定义为：

惯性积(ProductsofInertia)定义为：极惯性矩(PolarMomentsofInertia)定义为：3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第五十三页，共一百零一页，2022年，8月28日同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性矩和惯性积是不同的。

平行移轴公式3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第五十四页，共一百零一页，2022年，8月28日例2

计算图示T形截面的形心和过它的形心z轴的惯性矩。

选参考坐标系oz´y´

3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第五十五页，共一百零一页，2022年，8月28日（2）计算截面惯性矩3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第五十六页，共一百零一页，2022年，8月28日3.3梁的弯曲应力梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。

梁的弯曲正应力(normalstress)§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第五十七页，共一百零一页，2022年，8月28日1、变形几何关系弯曲平面假设：

变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交。2、物理关系

3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第五十八页，共一百零一页，2022年，8月28日3、静力学关系z轴必须通过截面的形心3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第五十九页，共一百零一页，2022年，8月28日横截面对y和z轴的惯性积为零，y和z轴为主轴3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第六十页，共一百零一页，2022年，8月28日最大弯曲正应力

3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第六十一页，共一百零一页，2022年，8月28日

圆形截面的抗弯截面系数

矩形截面的抗弯截面系数

空心圆截面的抗弯截面系数3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第六十二页，共一百零一页，2022年，8月28日例1

图所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm，a=2m，F=1.5KN。计算A截面上K点的弯曲正应力。3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第六十三页，共一百零一页，2022年，8月28日解：先计算截面上的弯矩截面对中性轴的惯性矩(momentofinertia)A截面上的弯矩为负，K点在中性轴(neutralaxis)的上边，所以为拉应力。

3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第六十四页，共一百零一页，2022年，8月28日梁的弯曲剪应力(Shearingstress)当梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，这时剪应力可达到相当大的数值，剪应力就不能忽略了。矩形截面梁的弯曲剪应力3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第六十五页，共一百零一页，2022年，8月28日Iz代表整个横截面对中性轴矩z的惯性距；而Sz*则代表y处横线一侧的部分截面对z轴的静距。对于矩形截面，3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第六十六页，共一百零一页，2022年，8月28日矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度呈抛物线分布；在截面的上、下边缘剪应力τ=0；在中性轴(y=0),剪应力最大，3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第六十七页，共一百零一页，2022年，8月28日剪应力最大公式：工字形截面梁的弯曲剪应力腹板上的弯曲剪应力沿腹板高度方向也是呈二次抛物线分布，在中性轴处(y=0)，剪应力最大，在腹板与翼缘的交接处(y=±h/2)，剪应力最小3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第六十八页，共一百零一页，2022年，8月28日近似地得表示腹板的剪应力或

3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第六十九页，共一百零一页，2022年，8月28日圆形截面梁的弯曲剪应力在中性轴上，剪应力为最大值τmax

一般公式：3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第七十页，共一百零一页，2022年，8月28日例3

梁截面如图8.16(a)所示，横截面上剪力FQ=15KN。试计算该截面的最大弯曲剪应力，以及腹板与翼缘交接处的弯曲剪应力。截面的惯性矩Iz=8.84×10‑6m4。最大弯曲剪应力发生在中性轴上。中性轴一侧的部分截面对中性轴的静矩为：解：1.最大弯曲剪应力。3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第七十一页，共一百零一页，2022年，8月28日最大弯曲剪应力：

(2).腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力交接处的弯曲剪应力3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第七十二页，共一百零一页，2022年，8月28日梁的强度条件(strengthcondition)

为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。1弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件为：要求梁内的最大弯曲正应力σmax不超过材料在单向受力时的许用应力[σ]3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第七十三页，共一百零一页，2022年，8月28日利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算：正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。2弯曲剪应力强度条件

最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态，相应的强度条件为：

要求梁内的最大弯曲剪应力τmax不超过材料在纯剪切时的许用剪应力[τ]3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第七十四页，共一百零一页，2022年，8月28日在一般细长的非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力远大于最大弯曲剪应力。但是，对于薄壁截面梁与弯矩较小而剪力却较大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷载作用在支座附近的梁等，则不仅应考虑弯曲正应力强度条件，而且弯曲剪应力强度条件也可能起控制作用。例4

图所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为T字形，并承受均布荷载q作用。试校该梁的强度。已知荷载集度q=25N/mm，截面形心离底边与顶边的距离分别为y1­=95mm和y2=95mm，惯性矩Iz=8.84×10-6m4，许用拉应力[σt]=35MPa，许用压应力[σc]=140Mpa。3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第七十五页，共一百零一页，2022年，8月28日3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第七十六页，共一百零一页，2022年，8月28日解：（1）危险截面与危险点判断。

梁的弯矩如图示，在横截面D与B上，分别作用有最大正弯矩与最大负弯矩，因此，该二截面均为危险截面。

截面D与B的弯曲正应力分布分别如图示。截面D的a点与截面B的d点处均受压；而截面D的b点与截面B的c点处均受拉。

即梁内的最在弯曲压应力σc,max发生在截面D的a点处。至于最大弯曲拉应力σt,max,究竟发生在b点处，还是c点处，则须经计算后才能确定。由于|MD|>|MB|，|ya|>|yd|,因此|σa|>|σd|3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第七十七页，共一百零一页，2022年，8月28日（2）强度校核。梁的弯曲强度符合要求

3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第七十八页，共一百零一页，2022年，8月28日例5

悬臂工字钢梁AB，长l=1.2m，在自由端有一集中荷载F，工字钢的型号为18号，已知钢的许用应力[σ]=170Mpa，略去梁的自重，(1)试计算集中荷载F的最大许可值。(2)若集中荷载为45kN，确定工字钢的型号。3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第七十九页，共一百零一页，2022年，8月28日解：1.梁的弯矩图如图示，最大弯矩在靠近固定端处，其绝对值为：Mmax=Fl=1.2FN·mF的最大许可值为：由附录中查得，18号工字钢的抗弯截面模量为Wz=185×103mm3公式(8.16)得：1.2F≤(185×10-6)(170×106)3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第八十页，共一百零一页，2022年，8月28日(2)最大弯矩值Mmax=Fl=1.2×45×103=54×103N·m按强度条件计算所需抗弯截面系数为：

查附录可知，22b号工字钢的抗弯截面模量为325cm3

，所以可选用22b号工字钢。3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第八十一页，共一百零一页，2022年，8月28日例6

例8.5中的18号工字钢悬臂梁，按正应力的强度计算，在自由端可承受的集中荷载F=26.2KN。已知钢材的抗剪许用应力[τ]=100Mpa。试按剪应力校核梁的强度，绘出沿着工字钢腹板高度的剪应力分布图，并计算腹板所担负的剪力FQ1。3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第八十二页，共一百零一页，2022年，8月28日解：（1）按剪应力的强度校核。截面上的剪力FQ=26.2kN。由附录查得18号工字钢截面的几个主要尺寸

Iz=1660×104mm4,腹板上的最大剪应力3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第八十三页，共一百零一页，2022年，8月28日腹板上的最小剪应力为（3）腹板所担负剪力的计算可见，腹板所担岁的剪力占整个截面剪力FQ的96.6%。3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第八十四页，共一百零一页，2022年，8月28日提高梁强度的措施在横力弯曲中，控制梁强度的主要因素是梁的最大正应力，梁的正应力强度条件1、合理安排梁的受力情况3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第八十五页，共一百零一页，2022年，8月28日2选用合理的截面形状矩形截面比圆形截面好，工字形截面比矩形截面好得多

3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第八十六页，共一百零一页，2022年，8月28日

3

采用变截面梁

3.3梁的弯曲应力§0绪论§1力学基础§2力矩与力偶§3平面力系§4轴向拉压§5扭转§6几何组成§7静定结构§8梁弯曲应力§9组合变形§10压杆稳定§11位移计算§12力法§13位移法及力矩分配法§14影响线[练习][思考][返回]第八十七页，共一百零一页，2022年，8月28日§3-4静定梁受力分析3-1—3-3单跨梁1.单跨梁支反力2.截面法求指定截面内力