任意角-高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

1.2任意角情境导入有公共端点的两条射线组成的几何图形叫角.范围：0°～360°初中学过角的概念是什么，角的范围是多大?有超出0°～360°的角吗？新知探索（1）跳水中有前空翻转体540°，后空翻转体720°，这些角的度数都大于360°，而且方向不相同；（1）跳水运动员身体在空中旋转的周数如何用数学语言描述？（2）如果你的手表快了5分钟，该如何校准？校准完成后，分针、秒针各转了多少度？（3）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手如何转动？转动的角度如何用数学语言描述？新知探索（2）通过校准手表我们发现时针和分针都进行了逆时针旋转，旋转的度数也不同，分针按逆时针方向旋转了30°，秒针按逆时针方向旋转了5圈．（3）拧紧螺丝时，需要将扳手顺时针方向旋转，如顺时针转2圈，即顺时针旋转720°．拧松螺丝时，需要将扳手逆时针方向旋转，如逆时针转2圈，即逆时针旋转720°．新知探索

角的概念：

平面内一条射线OA绕着端点O按照箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α．其中，点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边．OAB顶点始边终边按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有旋转，则称它形成了一个零角．α我们如何表示那些大于360°的角，和朝两个相反方向旋转的角呢？新知探索正角(逆时针)负角(顺时针)零角(没有做任何旋转)

新知探索正角α＝210°即角的始边逆时针旋转210°负角β＝－150°即角的始边顺时针旋转－150°负角γ＝－660°即角的始边顺时针旋转－660°学习了任意角的概念，同学们能画出下列各角吗？正角α＝210°，负角β＝－150°，负角γ＝－660°．α＝210°β＝－150°γ＝－660°新知探索辨析1：判断正误.(1)大于90°的角都是钝角.（

）(2)零角的终边与始边重合.（

）(3)从13:00到13:10,分针转过的角度为60°.（

）(4)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大.（

）答案：×，√，×，×.

答案：A.新知探索xyO我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？以角的终边（除端点外）在平面直角坐标系的位置对角分类：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角新知探索1.指出它们分别是第几象限角？

405°，－200°，－510°，－50°，310°Oxy－200°Oxy405°第一象限角Oxy－510°Oxy－50°310°第二象限角第三象限角第四象限角新知探索2.锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角么？锐角一定是第一象限角．第一象限角不一定是锐角．例如：405°是第一象限角，但却不是锐角．Oxy405°第一象限角新知探索相等的角终边一定相同吗？终边相同的角一定相等吗？如果不相等，他们的度数有什么关系呢？相等的角的终边一定相同．终边相同的角不一定相等．Oxy－50°310°第四象限角670°终边相同的角的度数都相差360°吗？

新知探索

新知探索

在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置.因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.新知探索判断下列各角是第几象限角．（1）－60°；（2）945°；（3）－950°12′．解：（1）因为－60°角的终边在第四象限，所以它是第四象限角；（2）因为945°＝225°＋2×360°，所以945°与225°角的终边相同，而225°角的终边在第三象限，所以945°角是第三象限角；（3）因为－950°12′＝129°48′＋（－3）×360°，所以－950°12′与129°48′角的终边相同，而129°48′角的终边在第二象限，所以－950°12′角是第二象限角．新知探索写出终边在平面直角坐标系y轴上的角的集合．Oxy90°270°

y轴分为正半轴和负半轴两部分新知探索轴线角的集合：角终边的位置角的集合表示在轴的非负半轴上在轴的非正半轴上在轴的非负半轴上在轴的非正半轴上在轴上在轴上在坐标轴上新知探索

新知探索已知角α为锐角，那么角α的终边与角α＋π，α－π，π－α终边的几何关系是什么？xyOαα＋πxyOαα－πxyOαπ－α关于原点对称关于y轴对称新知探索

若角α为任意角，那么角α的终边与角α＋π，α－π，π－α终边的几何关系是什么？xyOαα＋π关于原点对称xyOαα－πxyOαπ－α关于y轴对称新知探索已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(

)A．A＝B＝C

B．A⊆CC．A∩C＝B

D．B∪C⊆C解：由已知得B⫋C，所以B∪C＝C，故D正确．故选D.D新知探索下列各个角中与2019°终边相同的是(

)A．－149°

B．679°

C．319°

D．219°解：因为2019°＝360°×5＋219°，所以与2019°终边相同的角是219°.故选D.D新知探索

在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.解：(1)与－120°终边相同的角相差360°的整数倍．∵－120°＋360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限角．(2)与640°终边相同的角相差360°的整数倍．∵640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限角．

新知探索写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为

．解：落在第二象限时，表示为k•360°＋135°.落在第四象限时，表示为k•360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k•180°＋135°，k∈Z}．{α|α