函数零点与二次函数

函数零点与二次函数第一页，共三十一页，2022年，8月28日注意：①上述判定方法中在（a,b)内的零点不一定唯一；②逆命题不成立；③对于f(a)f(b)＞0，我们无法判定f(x)在(a,b)内是否有零点.第二页，共三十一页，2022年，8月28日3.用二分法求方程的近似解求解步骤：（1）确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0，给定精确度ε;（2）求区间(a，b)的中点x1;（3）计算f(x1)：①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；②若f(a)f(x1)＜0，则令b=x1(此时零点x0∈(a，x1));③若f(x1)f(b)＜0，则令a=x1(此时零点x0∈(x1，b));(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复(2)~(4).第三页，共三十一页，2022年，8月28日1.f(x)在定义域内是单调函数，则f(x)的零点至多有

个.2.函数

的零点是

.3.函数

没有零点，则实数

a的取值范围是

.第四页，共三十一页，2022年，8月28日一、零点的求取例.函数

的零点是

.4.函数

的零点是

.5.求函数

的零点.6.函数f(x)=lg(x2-1)+8的零点个数是（）A.1B.2C.3D.0第五页，共三十一页，2022年，8月28日二、函数零点存在的判定及其个数的讨论例函数的零点所在的大致区间为（）7.函数的零点所在的大致区间为（）和第六页，共三十一页，2022年，8月28日7.讨论函数f(x)=2-x-lg(x+1)的零点个数.例判断函数

的零点个数.6.讨论函数

的零点个数.8.已知函数f(x)=2x+ln(1-x)，讨论函数f(x)在定义域内的零点个数.二、函数零点存在的判定及其个数的讨论(0<a<1)第七页，共三十一页，2022年，8月28日三、用二分法求方程的近似解例求函数f(x)=x3+2x2-3x-6，x∈(1,2)的一个的零点(误差不超过0.1).第八页，共三十一页，2022年，8月28日

[解]∵f(1)=-6<0，f(2)=4>0,∴存在x∈(1,2)，使f(x)=0.用二分法逐次计算，列表如下：第九页，共三十一页，2022年，8月28日第十页，共三十一页，2022年，8月28日∵|1.75-1.6875|=0.0625<0.1,且最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7,∴所求的零点是1.7第十一页，共三十一页，2022年，8月28日第十二页，共三十一页，2022年，8月28日第十三页，共三十一页，2022年，8月28日3.已知函数

，讨论函数f(x)在定义域内的零点个数.1.函数的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)2.方程log4x+x=7的解所在区间是( )A.(1,2)B.(3,4)C.(5,6)D.(6,7)4.求函数

的零点.第十四页，共三十一页，2022年，8月28日例若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.(-2,2)B.[-2,2]C.(-∞,-1)D.(1,+∞)四、由函数零点个数求参数的取值范围第十五页，共三十一页，2022年，8月28日1.二次函数的三种表示形式①一般式：

;②配方式：

;③零点式：

.2.二次函数的图象二次函数的图象是一条

，a＞0时，开口

；a＜0时，开口

.图象的对称轴方程为：y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-k)2+h(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)抛物线向上向下二次函数第十六页，共三十一页，2022年，8月28日3.二次函数的性质①a＞0时，在

上为减函数，在

上为增函数.ymin=h.②a＜0时，在(-∞,k］上为

，在［k,+∞)上为

，ymax=h.4.二次函数在限定区间上的最大（小）值，求解时关键要抓住：①图象的开口方向;②区间与对称轴的位置关系;③结合图象，利用单调性求解.减函数(-∞,k］［k,+∞)增函数第十七页，共三十一页，2022年，8月28日1.若函数f(x)=(m-1)x2+(m2-1)x+1是偶函数，则在区间[0,+∞)上，f(x)是（）A.增函数B.减函数C.常函数D.可能是减函数也可能是常数2.已知二次函数f(x)=ax2+bx,满足f(1-x)=f(1+x),且方程f(x)=x有等根，求函数f(x)的解析式.课本41页自主学习1课时作业315页题4第十八页，共三十一页，2022年，8月28日二次函数图象及其应用研究一元二次方程的根的分布问题，一般情况下需要考虑三个方面：（1）一元二次方程根的

；（2）相应二次函数区间端点

；（3）相应二次函数图象的对称轴

与

的位置关系.判别式函数值的符号端点第十九页，共三十一页，2022年，8月28日设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根，则x1、x2分布范围与二次方程系数之间的关系如下：根的分布x1<x2<kk<x1<x2x1<k<x2图象等价条件f(k)>0Δ>0f(k)>0Δ>02ab-<k2ab->kf(k)<0第二十页，共三十一页，2022年，8月28日f(k1)>0根的分布图象等价条件k1<x1<k2<x2<k3x1x2∈(k1，k2)在（k1，k2）内有且仅有一个根f(k2)<02ab-Δ=0k1<<k1f(k1)>0f(k2)<0f(k3)<0f(k1)f(k2)<0或Δ=02ab-且∈(k1，k2)或或f(k1)=02ab-k1<2k1+k2<2k1+k2f(k2)=0<2ab-<k2第二十一页，共三十一页，2022年，8月28日3.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2，(a＜b)并且a、β是方程f(x)=0的两根(a

＜β)，则实数a，b，a

，β的大小关系是

.二次函数的图象及其应用课本43页名师示范1第二十二页，共三十一页，2022年，8月28日例已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+6+2m,求实数m的范围，使方程x2-2(m-1)x+6+2m=0(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小;(2)都比1大；(3)有两个实根且；(4)至少有一个正根.第二十三页，共三十一页，2022年，8月28日4.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1的两个零点都在(-2,4)内，求实数a的取值范围.第二十四页，共三十一页，2022年，8月28日5.已知函数f(x)=x2+2mx+2m+1.（1）若函数f(x)的两个零点x1,x2满足x1∈(-1,0)，x2∈(1,2),求m的取值范围;（2）若方程f(x)=0的两根均在区间（0,1）内，求m的取值范围.第二十五页，共三十一页，2022年，8月28日6.已知函数f(x)=mx2+(m-3