信号分析与信道课件

12.1信号分析

2.2信息及其度量

2.3信道与噪声

2.4通信系统的带宽

习题

2学时：5

目的：使学生了解通信原理中涉及的数学定义、公式和理论

要求：

了解信号分析；

掌握信息及其度量；

掌握信道的相关概念及其模型；

了解信道噪声；

掌握信道容量的计算（香农公式）；

了解通信系统中的带宽3认识信道1.掌握信息概念及其度量；2.掌握信道与噪声；3.掌握通信系统带宽；1.掌握信道的相关概念及其模型；2.掌握恒参和随参信道的概念及它们对信号的影响；3.掌握香农公式2.正确写出香农公式C=Blog2(1十S／N)为及格，并能利用香农公式进行计算为优秀；2.正确画出调制信道与编码信道为及格；3.写出信息量度量公式为及格，利用公式正确计算为优秀；4、掌握带宽概念，并用于频域计算为及格5信号：消息的一种具体表现形式，是消息的载体，如电信号就是消息的电的表现形式。

（通信的根本目的是传输代表消息的电（或光）信号，也就是研究信号传输的问题。）

信息：为消息中所包含的对受信者有意义的内容。

（在一般中，消息和信息可不区分。但在信息理论时必须严格区别。）

6消息、信息、信号之间的联系和区别:

消息带有需要传送给收信者的信息，即消息是信息的载体。

信息可以理解为消息中所包含的对受信者有意义的内容。

信号是消息的一种具体表现形式。7

信号就是随时间变化的某物理量（电压或电流）。在数学上，信号可以描述为时间的函数f(t)。

声音是随时间变化的一维函数f（t）；

9信号及其描述信号的分类

信号的形成是多种多样的，可以从不同的角度进行分类，在动态测量中我们可把信号看作时间的函数。

☆周期信号与非周期信号；☆确知信号与随机信号；☆能量信号与功率信号。10信号及其描述1、周期信号与非周期信号周期信号

周期信号是指经过一定时间可以重复出现的信号时域描述f(t)＝f(t±ｎT0)T0：最小重复时间，称周期，T0=2π/ω0，ω0：角频率。

简单的周期信号，如正弦信号、其有单一的频率，又称为简谐周期信号。

按信号是否具有重复性，将信号划分为周期信号和非周期信号。11非周期信号是不会重复出现的信号

如：说话的话音信号、锤子的敲击力、承载缆绳断裂时的应力变化、热电偶插入加热炉中温度的变化过程能量信号：指能量为有限值且在全部时间范围内的平均功率为零的信号。通常把能量信号在单位电阻上消耗的能量定义为归一化能量，简称能量。能量可以表示为：

3、能量信号与功率信号功率信号指的是有无限能量但平均功率为有限值的信号。平均功率：把单位电阻上所消耗的平均功率定义为周期信号的归一化平均功率，简称功率。一个周期为T的周期信号，其瞬时功率为在周期T内的平均功率为：能量信号的平均功率为零，研究其功率无实际价值；功率信号的能量必为无穷大，故研究其能量无意义。周期信号必然是功率信号，但功率信号并非一定是周期信号。152.1.2信号分析信号分析的核心内容是信号分解信号分析的本质是对一个信号的电压（或电流）、频率、带宽等的数学分析172、信号的频域频域——自变量是频率，即横轴是频率，纵轴是该频率信号的幅度，信号随频率变化的曲线就是频谱图2.1.3周期信号的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数任何一个周期为T的周期信号，只要满足狄里赫利条件，则可展开为傅里叶级数由欧拉公式：所以有将（2-3）代入式（2-1），则周期性信号还可以展开成如下指数形式：其中

根据式(2.6)求得频谱为解：在一个周期(-T/2，T/2)内，

据此画出的双边频谱，如图2-7(b)所示。显然，频谱的包络分布服从抽样函数分布规律，幅度呈衰减振荡且出现周期性的零点。式中称为抽样函数。由此得周期矩形信号的傅里叶级数指数形式为（1）离散性。周期信号的频谱中各谱线是不连续的，所有频谱均由最小间隔为基频的谱线组成。由于谱线之间的最小间隔为基频，而，故信号的周期决定了谱线之间的最小间隔，信号周期T越大，基频就越小，谱线之间越密；反之，T越小，越大，谱线之间越疏。由于非周期信号可以看作是的周期信号，因此可以预见，非周期信号的频谱应该是连续谱。

周期信号的频谱具有如下几个共同特性：

（2）谐波性。谱线只出现在基频整数倍的频率位置上。

（3）收敛性。即幅度衰减特性，实际工程中遇到的绝大多数信号，其幅值谱线将随频率的增加而不断衰减，并最终趋于零。

傅里叶变换提供了信号在频域和时域之间的相互变换关系。一般来说，一个时间信号如果满足狄里赫利条件，则此信号一定存在傅里叶变换。但这只是充分条件并不是必要条件，因为有些信号虽然不满足此条件，但是却存在傅里叶变换，如单位冲激信号和单位阶跃信号就是具体的例子。11信号

频谱

信号

频谱

【例2-2】已知一非周期矩形信号如图2.9(a)所示，求其频谱。图2.10非周期矩形脉冲及其频谱第2章信号分析基础

解：矩形脉冲信号又称为门函数，表达式为直接利用傅里叶变换的定义式(2-9)求得矩形脉冲信号的频谱为由图可以看出非周期矩形信号的频谱是一个连续谱。

2.帕塞瓦尔定理

若f(t)为能量信号，其傅里叶变换为F(W),则下列关系成立

若f(t)为周期信号，则有

30时域内能量信号的总能量等于频域内各个频率分量单独贡献出的能量的连续和；而周期信号的总的平均功率等于各个频率分量单独贡献出的贡献之和；而不同频率分量之间的乘积，对信号的总能量或总的平均功率都不产生任何影响。3.能量谱密度和功率谱密度信号的能量在频域上定义：信号功率在频域上定义：311.自相关函数能量信号的自相关函数定义为功率信号的自相关函数定义为

由以上两式可见，自相关函数反映了一个信号与其延迟τ秒后的信号之间相关的程度。当τ=0时，能量信号的自相关函数等于信号的能量；而功率信号的自相关函数等于信号的平均功率。2.1.5波形的互相关与自相关（2）互相关函数两个能量信号和的互相关函数定义为两个功率信号和的互相关函数定义为（2.28）

（2.29）

由以上两式可见，互相关函数反映了一个信号与另一个延迟τ秒后的信号间相关的程度。需要注意的是，互相关函数和两个信号的前后次序有关，即有342.1.6随机信号分析1、随机过程通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间t的随机过程。基本特征：它是时间t的函数，但在任一时刻的取值却是不确定的，是一个随机变量。或者它可看成是一个由全部可能实现的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现哪个实现是不确定。35图2-11n部通信机的输出记录接收机输出的噪声电压随时间的变化时不可预知，因而它是一个随机过程36随机过程定义：设随机试验E，每一次试验都得到一个时间波形（称为样本或实现），记做xi(t)，所有可能出现的结果的总体为(x1(t)，x2(t)，…，xi(t)，…)就构成一个随机过程，记做ξ(t)。无穷多个样本函数的总体叫做随机过程ξ(t)ξ(t)37*

随机过程的数字特征统计特性方差协方差相关函数

38例如，

1、某人收到一封来信，谈的是同学最近的工作、学习情况，

2、同时又收到一封家信，谈的是家人的健康情况

问：他从哪一封信中获得了更多的信息?

也许，按某种想当然的感觉，他会给出某种模糊的回答，如“家信中得到了更多的信息”。

这个结论可靠吗?就算这个结论不错，如进一步问：“家信中含有的信息比同学来信中含有的信息多了多少?”一般来说，很难回答这个问题。

为什么很难回答以上的问题呢?其主要原因在于对信息的本质缺乏明确的认识，经验性地把“信息”与“消息”混为一谈2.2信息及其度量

信号是消息的载体，而信息是其内涵。任何信源产生的输出都是随机的，也就是说，信源输出是用统计方法来定性的。对接收者来说，只有消息中不确定的内容才构成信息；否则，信源输出已确切知晓，就没有必要再传输它了

信息含量就是对消息中这种不确定性的度量。一从常识的角度来感觉三条消息：①太阳从东方升起；②太阳比往日大两倍；③太阳将从西方升起。第一条几乎没有带来任何信息第二条带来了大量信息第三条带来的信息多于第二条第一事件是一个必然事件，人们不足为奇；第三事件几乎不可能发生，它使人感到惊奇和意外，也就是说，它带来更多的信息信息含量是与惊奇这一因素相关联的，这是不确定性或不可预测性的结果。越是不可预测的事件，越会使人感到惊奇，带来的信息越多。信息及其度量

根据概率论知识，事件的不确定性可用事件出现的概率来描述。

可能性越小，概率越小；反之，概率越大。

因此，消息中包含的信息量与消息发生的概率密切相关。消息出现的概率越小，消息中包含的信息量就越大。即，一条信息发生的概率越小，信息量越大；概率越大（一种极端情况是“必然的事情”信息量为0）则信息量越小。例如以下3个消息：（1）我国将继续实行高考制度（2）我国在近5年内可能取消高考制度（3）我国自明年起将取消高考制度

（1）信息量是概率的函数，即I=I［P(x)］（3）若干个互相独立事件构成的消息，所含信息量等于各独立事件信息量之和，也就是说，信息具有相加性，即I［P(x1)P(x2)…］=I［P(x1)］+I［P(x2)］+…（2）P(x)越小，I越大；反之，I越小，且P(x)→1时，I→0P(x)→0时，I→∞假设x代表某信息中所涉及的事件，p(x)代表这个事件发生的概率，I表示从这个信息中获悉的信息量，根据上面的认知，显然I与P(x)之间的关系反映为如下规律：

综上所述，信息量I与消息出现的概率P(x)之间的关系应为

I=loga=–logaP(x)(2.43)信息量的单位由对数底数a决定

a=2时比特(bit)；目前广泛使用的单位

a=e时奈特(nit)；

a=10时哈特莱。之所以取对数是由于信息量的“累加性”决定的【例】

设一个二进制离散信源，以相等的概率发送数字“0”或“1”，则信源每个输出的信息含量为在工程应用中，习惯把一个二进制码元称作1比特若有M个等概率波形（P=1/M），且每一个波形的出现是独立的，则传送M进制波形之一的信息量为若M是2的整幂次，即M=2k，则有 当M=4时，即4进制波形，I=2比特， 当M=8时，即8进制波形，I=3比特。

式中，P为每一个波形出现的概率，M为传送的波形数。若M是2的整幂次，比如M=2K（K=1，2，3，…），则式(1.4-5)可改写为

式中,K是二进制脉冲数目，也就是说，传送每一个M（M=2K）进制波形的信息量就等于用二进制脉冲表示该波形所需的脉冲数目K。综上所述，对于离散信源，M个波形等概率（P=1/M）发送，且每一个波形的出现是独立的，即信源是无记忆的，则传送M进制波形之一的信息量为对于非等概率情况 设：一个离散信源是由M个符号组成的集合，其中每个符号xi(i=1,2,3,…,M)按一定的概率P(xi)独立出现，即

且有 则x1,x2,

x3,…,

xM所包含的信息量分别为 于是，每个符号所含平均信息量为

由于H(x)同热力学中的熵形式相似，故称它为信息源的熵48例2.4一信息源由4个符号0、1、2、3组成，他们出现的概率分别为3/8、1/4、1/4、1/8，且每个符号的出现都是独立的，若消息序列长为57个符号，其中0出现23次，1出现14次，2出现13次，3出现7次。试求消息序列所包含的信息量和平均信息量。解：由于消息序列中出现符号xi的信息量为 [ni和P（xi）分别为消息序列中符号xi出现的次数和概率]，消息序列所包含的信息量为每个符号出现信息量的和，即消息序列的平均信息量49课堂练习：2-102bit3bit3bit1bitH(S)=1/4*2+1/8*3+1/8*3+1/2*1=1.75(bit/符号)50P23例2.4概率改为1/8,1/4,1/2,1/8，做作业512.3信道与噪声2.3.1、信道特性及其数学模型信道是信号的传输媒介，它可分为有线信道与无线信道两类。

有线信道包括明线、对称电缆、同轴电缆及光缆等；

而无线信道有地波传播、短波电离层反射、超短波或微波视距中继、人造卫星中继以及各种散射信道等。52广义信道：除包括传输媒介外，还要包括有关的变换装置(如发送设备、接收设备、馈线与天线、调制器、解调器等)的信道狭义信道：仅传输媒介的信道广义信道按功能分类：调制信道、编码信道53调制信道，是指从调制器输出端到解调器输入端的部分，是传输已调信号的一个整体。信源编码器信宿译码器调制信道编码信道媒介发转换器调制器收转换器解调器54编码信道，是指从编码器输出端到解码器输入端的部分，是传输数字信号的一个整体。信源编码器信宿译码器调制信道编码信道媒介发转换器调制器收转换器解调器55编码信道对信号的影响是数字序列的变换，即把一种数字序列变成另一种数字序列。广义信道中的编码信道即属于离散信道。离散信道的数学模型反映其输出离散信号与其输入离散信号之间的关系，通常是一种概率关系，常用输入输出离散信号的转移概率来描述。56编码信道的模型：57调制信道是传输已调信号，他的输入端和输出端分别与调制器输出端和解调器输入端相连接，可是为一个二对端网络。58调制信道的模型：时变线性网络ei(t)eo(t)

59网络的输入与输出之间的关系可以表示为：

式中，ei(t)-------是输入的已调信号，

eo(t)------是信道的输出，

n(t)------为加性噪声(或称加性干扰)，它与ei(t)不发生依赖关系。

k(t)------称为乘性干扰，它依赖于信道的特性eo(t)=k(t)ei(t)+n(t)信道对信号的影响可归结为两个因素：一是乘性干扰k(t)的影响；二是加性干扰，n(t)的影响。

60k(t)------称为乘性干扰，它依赖于信道的特性恒参信道，k（t）随时间不变化或基本不变化；（如：有线信道、无线信道中的中、长波信道、卫星信道等）随参信道：k（t）随时间随机快速变化（电离层的反射和散射、对流层的散射）加性噪声来源分类：人为噪声－例：开关火花、电台辐射自然噪声－例：闪电、大气噪声、宇宙噪声、热噪声内部噪声

-例：电源、电子自由运动产生的热噪声n(t)------为加性噪声、称加性干扰)622.3.2、信道噪声(1)白噪声：是指它的功率谱密度函数在整个频率域(-∞<ω<+∞)内是常数，即服从均匀分布。我们称它为白噪声，因为它类似于光学中包括全部可见光频率在内的白光。

理想的白噪声功率谱密度通常被定义为

式中n。的单位是w／Hz.Pn(ω)=(-∞<ω<+∞)

(2)窄带高斯噪声：在实际的通信系统中，许多电路都可以等效为一个窄带网络。窄带网络的带宽W远远小于其中心频率ωo。当高斯白噪声通过窄带网络时，其输出噪声只能集中在中心频率ωo附近的带宽W之内，称这种噪声为窄带高斯噪。63窄带网络白噪声窄带噪声a）H(ω)0ω-ω0+ω0Sn(ω)tn(t)b）c）642.3.3、信道容量式中，C——信道容量，是指信道可能传输的最大信息速率，它是C=Blog2(1十S／N)(b/s)信道能够达到的最大传输能力；B——信道带宽；S——信号的平均功率；N——白噪声的平均功率；S／N——信噪比。香农公式65

由香农公式可得到如下结论：

(1)当给定B、S／N时，信道的极限传输能力(信道容量)C即确定。如果信道实际的传输信息速率R小于或等于C时，此时能做到无差错传输(差错率可任意小)。如果R大于C，那么无差错传输在理论上是不可能的。

(2)当信道容量C一定时，带宽B和信噪比S／N之间可以互换。换句话说，要使信道保持一定的容量，可以通过调整带宽B和信噪比S／N的关系来达到。

(3)增加信道带宽B并不能无限制地增大信道容量。当信道噪声为高斯白噪声时，随着带宽B的增大，噪声功率N=noB(no为单边噪声功率谱密度)也增大，在极限情况下

=log2(1+S/N)由上式可见，即使信道带宽无限大，信道容量仍然是有限的。66(4)信道容量C是信道传输的极限速率时，由于C=I/T,I为信息量，T为传输时间。根据香农公式：C=I/T=Blog2(1十S／N)于是有I=BTlog2(1十S／N)由此可知，在给定C和S／N的情况下，带宽与时间也可以互换。67（2）令S／N=1000，代人式(1.4-10)得Bmin=

==≈5*107Hz【例1-5】已知彩色电视图像由5×105个像素组成。设每个像素有64种彩色度，每种彩色度有16个亮度等级。设所有彩色度和亮度等级的组合机会均等，并统计独立。(1)试计算每秒传送100个画面所需的信道容量；(2)如果接收机信噪比为30dB，为了传送彩色图像所需信道带宽为多少?[注：log2x=3.321gx]

解：(1)信息／像素=log2(64×16)=10b