2018高考·数学-第2章第二讲函数的基本性质

2018高考·数学-第2章第二讲函数的基本性质第一页，共50页。目录Contents考情精解读考点1考点2考点3A.知识全通关B.题型全突破C.能力大提升考法1考法2考法5考法4考法3考法6考法7易错第二页，共50页。考情精解读第三页，共50页。考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质考试大纲011.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.3.会运用函数图象理解和研究函数的性质.第四页，共50页。考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域函数的单调性【5%】·全国Ⅱ,21,12分·全国Ⅱ,15,5分·2016山东,20(Ⅰ)·2016四川,21(Ⅰ)·2015四川,9,5分·2014北京,2,5分函数的奇偶性、周期性

【5%】·全国Ⅲ,15,5分·全国Ⅰ,13,5分·全国Ⅰ,3,5分·2016江苏,11,5分·2016四川,14,5分·2015四川,4,5分·2015浙江,11,6分

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第五页，共50页。考纲解读命题规律考情精解读3返回目录1.热点预测函数单调性的判断和应用及函数奇偶性、周期性的应用是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题.2.趋势分析预计2018年高考仍将综合考查函数性质,并结合函数图象的特点,对各个性质进行综合考查.函数的性质还常常与向量、不等式、三角函数、导数等知识结合,进行综合考查.所以在备考中应加强这方面的练习.命题趋势

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第六页，共50页。知识全通关第七页，共50页。知识全通关1考点1 函数的单调性继续学习1.函数单调性的定义及几何意义

增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数几何意义自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第八页，共50页。知识全通关2【名师提醒】(1)函数的单调性定义中的x1、x2有三个特征:一是任意性;二是有大小,即x1<x2(x1>x2);三是同属于一个单调区间,三者缺一不可.(2)函数单调性“数”的表现是函数值的增大与减小,“形”的表现是函数图象的上升与下降.继续学习

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第九页，共50页。知识全通关3继续学习2.

单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫作y=f(x)的单调区间.

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第十页，共50页。知识全通关3继续学习高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第十一页，共50页。知识全通关3继续学习

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第十二页，共50页。知识全通关4考点2 函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特征继续学习

偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫作偶函数f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫作奇函数图象特征图象关于y轴对称图象关于原点对称注意

(1)具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称.(2)在原点处有定义的奇函数f(x),必有f(0)=0,但满足f(0)=0的函数f(x)未必是奇函数.

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第十三页，共50页。知识全通关5【规律总结】函数奇偶性的几个重要结论1.f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称;f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.2.如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).3.既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.4.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.5.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.继续学习高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第十四页，共50页。考点3 函数的周期性

1.周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.知识全通关6继续学习注意并不是周期函数都有最小正周期,如f(x)=5.

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第十五页，共50页。题型全突破第十六页，共50页。考法1 判断函数的单调性和求单调区间继续学习题型全突破1考法指导

1.定义法.利用定义判断.2.导数法.适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.3.图象法.由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.4.性质法.利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性.

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第十九页，共50页。继续学习题型全突破4所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).

答案

B

点评

求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第二十页，共50页。考法2函数单调性的应用题型全突破5考法指导

函数单调性应用问题的常见类型及解题策略:(1)利用函数的单调性求参数的取值范围.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,然后与已知单调区间比较求参数.需要注意的是,若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.此外,也可结合常见函数的单调性求解,比如一次函数、反比例函数和二次函数.(2)利用函数的单调性求解或证明不等式.若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数,则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2),在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时,可通过“脱去”函数符号“f”化为一般不等式求解,但无论如何都必须在同一单调区间内进行.需要说明的是,若不等式一边没有“f”,而是常数,应将常数转化为函数值.如若已知0=f(1),f(x-1)<0,则f(x-1)<f(1).(3)利用函数的单调性比较两个函数值或自变量值的大小.注意将对应的自变量转化到同一个单调区间内..继续学习高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第二十一页，共50页。题型全突破6

继续学习

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题型全突破7继续学习

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第二十三页，共50页。题型全突破8继续学习高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质

第二十四页，共50页。

考法指导1.利用函数的单调性求解函数的最值步骤为:(1)判断或证明函数的单调性;(2)计算端点处的函数值;(3)确定最大值和最小值.2.分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式,因而其最值的常用解法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值,然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值,各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.3.求最值的其他方法(1)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值;(2)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值;(3)导数法:先求出导函数,然后求出给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值;(4)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.考法3函数最值的求解题型全突破10继续学习高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第二十五页，共50页。题型全突破11继续学习

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第二十六页，共50页。

题型全突破12继续学习

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题型全突破14继续学习考法4函数奇偶性的判断

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第二十八页，共50页。题型全突破15继续学习2.判断函数奇偶性的步骤(1)求函数的定义域;(2)判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数为非奇非偶函数,若对称,则进行下一步;(3)判断f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数f(x)为偶函数,若f(-x)=-f(x),则函数f(x)为奇函数,若f(-x)≠±f(x),则f(x)为非奇非偶函数;(4)得出结论.高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第二十九页，共50页。返回目录题型全突破16

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第三十页，共50页。返回目录题型全突破17

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第三十一页，共50页。【突破攻略】1.在用定义判断函数的奇偶性时,要注意自变量在定义域内的任意性.不能因为个别值满足f(-x)=±f(x),就确定函数的奇偶性.

2.判定分段函数奇偶性时要分段讨论f(-x)与f(x)的关系,只有当所有区间上都满足相同的关系时,才能判定其奇偶性.

3.在求出定义域之前,不能化简函数解析式,否则会使定义域发生变化.

题型全突破18继续学习

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第三十二页，共50页。【突破攻略】题型全突破19继续学习

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第三十三页，共50页。考法指导

1.已知函数的奇偶性求函数的值或解析式抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式,或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程,从而可得f(x)的值或解析式.注意奇函数中f(0)=0这一结论的灵活应用.2.已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下,利用f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x),f(x)为偶函数⇔f(x)=f(-x),列式求解,也可利用特殊值法求解.对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑列式f(0)=0求解.3.应用奇偶性画图象和判断奇偶性利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性.题型全突破21继续学习考法5函数奇偶性的应用高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第三十四页，共50页。题型全突破22继续学习

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第三十五页，共50页。返回目录题型全突破23

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第三十六页，共50页。返回目录题型全突破24函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.【突破攻略】

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第三十七页，共50页。考法6函数周期性的判断及其应用

题型全突破25继续学习高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第三十八页，共50页。题型全突破26(7)若函数f(x)关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是2|b-a|;(8)若函数f(x)关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是4|b-a|;(9)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为2a;(10)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为4a.3.根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.继续学习

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第三十九页，共50页。题型全突破27继续学习

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第四十页，共50页。题型全突破28继续学习

高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质考法示例11

已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为

A.6 B.7 C.8 D.9思路分析

确定当0≤x<2时,函数图象与x轴的交点个数

根据f(x)是以2为周期的周期函数,确定当2≤x<4时函数图象与x轴的交点个数

同理得出当4≤x<6时函数图象与x轴的交点个数,并确定x=6时是否有交点

由各区间交点个数,即可得出正确选项第四十一页，共50页。解析当0≤x<2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当2≤x<4时,0≤x-2<2,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2≤x<4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4≤x<6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.当x7=6时,也符合要求.综上可知,共有7个交点.答案

B题型全突破29继续学习高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第四十二页，共50页。考法7函数性质的综合应用考法指导(1)函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,其中奇偶性多与单调性结合,而周期性多与抽象函数结合,并结合奇偶性求函数值.(2)函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.题型全突破31继续学习高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质题型全突破第四十三页，共50页。题型全突破32考法示例12

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则

A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

继续学习高考帮·数学第二章·第二讲函数的基本性质第四十四页，共50页。解析

因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=

f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)