概率论ppt课件 7.1 点估计

第七章参数估计统计推断:利用样本提供的信息对总体的某些统计特性进行估计或判断，从而认识总体。(1)参数估计(第七章）(2)假设检验(第八章)统计推断分为两大类:

从本章开始，讨论数理统计学的基本问题---统计推断。参数估计的主要内容§1点估计§2估计量的评选标准§3区间估计§3.1正态总均值与方差的区间估计§3.2单侧置信区间

设总体X的分布函数的形式已知，但是它的某些参数是未知的，通过总体的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题．§7.1点估计一、矩估计法二、最大似然估计法

设总体X的分布函数为F(x;),其中为待估计的参数.X1,X2,..,Xn是X的一个样本,x1,x2,…,xn是相应的样本值.点估计问题的一般提法:

点估计:用样本X1,X2,…,Xn构造一个适当的统计量用它的观察值作为未知参数的近似值.称(X1,X2,…,Xn)为的估计量.(x1,x2,…,xn)称为的估计值.估计量和估计值统称为估计,并都简记为.点估计常用方法:矩估计法;最大似然估计法.[注]参数的估计量是样本X1,X2,..,Xn的函数.(X1,X2,…,Xn),(x1,x2,…,xn)一、矩估计法用样本(原点)矩作为总体(原点)矩的估计量的方法称为矩估计法．

设总体X的分布函数为F(x;1,2,...,k),其中1,2,...,k为待估参数,如果i=E(Xi)(i=1,2,..,k)存在,i为1,2,…,k的函数,记i=i(1,2,…,k)(i=1,2,..,k),X1,X2,…,Xn为总体X的样本,用Ai来估计E(Xi),建立k个方程:A1=1(1,2,…,k)A2=2(1,2,…,k)…………….Ak=k(1,2,…,k)1=1(A1,A2,…,A

k)2=2(A1,A2,…,A

k)…………….k=k(A1,A2,…,A

k)用作为i的估计量------矩估计量.ik阶样本矩求矩估计的方法

设总体X的分布函数为F(x;1,2,...,k),其中1,2,...,k为待估参数,

为i的矩估计量.iK阶样本矩(1)求总体X的前k阶矩

i=E(Xi)=i(1,2,…,k),i=1,2,..,k(2)解出

i=i(1,2,…,k),i=1,2,..,k(3)令

i=i(A1,A2,…,A

k),i=1,2,..,k例1

设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知，

X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的矩估计量．解解得，由矩估计法解因为由矩估计法,所以的矩估计量为故的矩估计值为例2

设总体X服从参数为的指数分布,X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，试用矩估计法求

的估计值.解例3

设总体X的均值E(X)=,方差D(X)=2

都存在,且2>0.但,2均为未知.X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,求,2的矩估计量.解得由矩估计法,对任何总体,总体均值与方差的矩估计量都不变．【注】(1)若总体X~b(1,p),则未知参数p的矩估计量为(2)若总体X~b(N,p),则未知参数p,N的矩估计量为常见分布的参数矩估计量(3)若总体X~N(,2),则未知参数,2

的矩估计量为(4)若总体X~P(),则未知参数的矩估计量为或

③没有利用总体分布函数所提供的信息，难保证有优良的性质。【注】矩估计法的优点和不足优点：直观、简便,特别对总体期望和方差进行估计时不需要知道总体的分布.不足：①要求总体原点矩存在，而有些随机变量的原点矩不存在，就不能用此法进行参数估计;②矩估计量有时不唯一；作业第173页第七章习题

1，2二、最大似然估计法最早由德国数学家高斯于1821年提出,后来英国统计学家费希尔在1912年重新提出并做了进一步的研究.

最大似然原理的直观想法:

“概率最大的事件最可能出现”.它是目前点估计中最广泛应用的一种方法.该方法建立在最大似然原理的基础上。参数估计的最大似然法是要选取这样的值来作为参数的估计值,使得当参数取这一数值时,观测结果出现的可能性为最大.例4

设在罐中放有许多白球和黑球,已知两种球的数目之比为1:3,但不知哪种颜色的球多,若采用有放回方式从罐中取3个球,发现有一只黑球,问在此情况下应估计哪种颜色的球多?解：设p=黑球所占比例=则则p=1/4或p=3/4又设X=“取出的3只球中黑球的数目”,

应有p=1/4.故认为罐中白球多.似然函数(1)离散型总体设总体X分布律为待估参数,是可能取值的范围.设X1,X2,…,Xn是来自X的样本，样本观察值为x1,x2,…,xn,则

(X1,X2,…,Xn

)的联合分布律为对固定的样本观察值x1,x2,…,xn

，记称其为样本的似然函数.(2)连续型总体设总体X的概率密度为f(x;),为未知参数，

定义样本的似然函数为:最大似然估计法：就是固定样本观察值，在取值的可能范围内挑选使似然函数达到最大的参数，作为的估计值。则称为的最大似然估计值，定义若存在，使得称为的最大似然估计量.如何求L()的最大值?当lnL()关于可微时,lnL()

的最大值点必满足：

由于L()与lnL()在上有相同的最大值点,所以求L()的最大值点可以改为求lnL()

的最大值点.-----对数似然方程当lnL()关于不可微时,回到定义求.由此方程组可解得参数的极大似然估计值或令分布中含有多个未知参数时，这时,似然函数L是这些未知参数的函数.分别令例5

设X~b(1,p),X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本,求参数p的最大似然估计量.解

X的分布律为P{X=x}=px(1-p)1-x,x=0,1.设x1,x2,…,xn是相应于X1,X2,…,Xn一个样本值,故似然函数为似然估计量似然估计值令于是例6

设总体X~N(,2),,2均未知，又设X1,X2,...,Xn为总体X的样本,x1,x2,…,xn为X的一组样本观测值，试求,2

的最大似然估计值及估计量.解似然函数为似然方程组X的概率密度为例7

设总体X~U[a,b],a,b

均未知，又设X1,X2,...,Xn为总体X的样本,x1,x2,…,xn为X的一组样本观测值，试求a,b

的最大似然估计值和估计量.(用定义)例8

已知一批灯泡的使用寿命T服从参数为的指数分布,现随机抽取18只,测得使用寿命(小时)如下:16,29,50,68,100,130,140,270,280,340,410,450,520,620,190,210,800,1100求参数与的最大似然估计值．解:因为T服从指数分布，故参数的最大似然估计为所以计算得例4一个袋子中有黑球和白球个数比为R:1,现从袋中有放回地一个一个地取球，直到取到黑球为止。记X为取出的白球数，这样做了n次（每次袋中黑、白球的比例不变）。得样本求R的极大似然估计量。解：总体X的分布律为似然函数令如果为参数的最大似然估计量，又函数具有单值反函数，则是的最大似然估计量．似然估计的性质:例如，在例6中已得到

根据上述性质，得到的最大似然估计为标准差的最大似然估计为最大似然估计的不变性例设总体X的概率分布为其中(0<<1)未知参数.现抽得一个样本值

x1=1,x2=2,x3=1,x4=3,x5=1,求的矩估计值和最大似然估计值.X123pi

22(1-)(1-)2§7.3

估计量的评选标准一、无偏性二、有效性三、相合性(一致性)定义1

设是未知参数的估计量，如果一、无偏性

称为以作为的估计的系统误差.无偏估计的实际意义就是无系统误差.则称是的无偏估计量．例1

设总体X的数学期望与方差2存在,X1,X2,...,Xn为总体X的样本,证明：(1)是的无偏估计量;(2)也是的无偏估计量;,其中是2

的无偏估计量;(3)不是2

的无偏估计量.(4)证明

由于,所以是的无偏估计量。

即是的无偏估计量。

是的无偏估计量即由于

因此不是的无偏估计量，即用估计总体X

的方差时，有系统误差．所以一般常用估计总体方差，不过当n很大时,与相差不大．定义2

设与都是参数的无偏估计，如果则称较有效．二.有效性