变量间的相关关系及独立性检验

(会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量的相关关系/了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程)9.3

变量间的相关关系、回归分析及独立性检验1．相关关系的量：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系．2．回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析．3．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．4．正相关与负相关概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关．如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关．5.

回归直线：设所求的直线方程为，其中求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.6．相关系数：r＝叫做变量y与x之间的样本相关系数，简称相关系数，用 它来衡量两个变量之间的线性相关程度．7．相关系数的性质：|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小．1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤： ①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图． 如果根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是() A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③① 答案：D2．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是() A．由样本数据得到的回归方程＝bx＋a必过样本中心() B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量y和x之间的相关系数为r＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相 关关系 答案：C3．(2009·宁夏、海南)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u、v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．答案：C判断两个变量正相关还是负相关，有三种方法：1．利用散点图；2．利用相关系数r的符号；当r＞0时，正相关；r＜0时，负相关；3．在已知两变量线性相关时，也可以利用回归方程＝a＋bx.当b＞0时，＝a＋bx是增函数，两变量是正相关，当b＜0时，＝a＋bx是减函数， 两变量是负相关．【例1】山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)． (1)画出散点图； (2)判断是否具有相关关系．施化肥量x15202530354045棉花产量y330345365405445450455思维点拨：用施化肥量x作为横轴，产量y为纵轴可作出散点图，由散点图即可分析是否具有线性相关关系．解答：(1)散点图如右图所示， (2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系.对具有相关关系的两个变量进行统计分析时，首先要作出散点图，然后进行相关性检验，在确认具有线性相关关系后，再求其回归直线．

【例2】一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)对变量y与x进行相关性检验；(2)如果y与x有线性相关关系，求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？思维点拨：利用相关系数r进行线性相关检验(也可利用散点图)．如果线性相关，再求回归直线方程并加以判断．(2)＝0.7286x－0.8571.(3)要使≤10⇒0.7286x－0.8571≤10，所以x≤14.9013.所以机器的转速应控制在14.9013转/秒以下．解答：变式2.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：

(1)y与x间是否有线性相关关系？若有，求出线性回归方程； (2)估计使用年限为10年时的维修费用．使用年限(x)/年23456维修费用(y)/万元2.23.85.56.57.0【方法规律】1．求回归方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意回归直线方程中一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同)．2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：①确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；②根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；③求出回归直线方程．3．独立性检验是一种假设检验，在对总体的估计中，通过抽取样本，构造合适的随机变量，对假设的正确性进行判断.

为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩.数学888311792108100112物理949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议.【答题模板】(2)由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到b＝＝0.5，a＝100－0.5×100＝50，∴线性回归方程为＝0.5x＋50.当y＝115时，x＝130.建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．

【分析点评】1.成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决．本题容易出错的就是把回归系数和回归常数弄颠倒，导致解题错误．2．回归系数与回归常数．回归直线方程＝bx＋a和通常的一次函数表达式在