代数运算和方程求解

代数运算和方程求解第一页，共十四页，2022年，8月28日内容提要代数运算方程求解第二页，共十四页，2022年，8月28日4.1代数运算4.1.1多项式的结构运算名称意义Expand[poly]Factor[poly]FactorTerms[poly]FactorTerms[poly,{x,y}]Collect[poly,x]Collect[poly,{x,y…}]按幂次展开多项式poly对多项式poly进行因式分解提取全部数字因子提取全部不依赖于x和y的因子把多项式按x次幂展开把多项式按x,y…次幂展开多项式的结构操作函数控制多项式输出的函数名称意义Expand[poly,patt]PowerExpand[expr]Collect[poly,patt]Collect[expr,var,h]将多项式表示成各项与patt匹配形式将(xy)n分解成xnyn的形式按与patt匹配的方式排列多项式将h应用与每一项中第三页，共十四页，2022年，8月28日4.1.2求多项式的结构名称意义PolynomialQ[expr,x]PolynomialQ[expr,{x1,x2,…}]Variables[poly]Length[poly]Expr[[n]]或Part[expr,n]Exponent[poly,x]Coefficient[poly,expr]Coefficient[poly,expr,n]Coefficient[poly,expr,0]CoefficientList[poly,,{x1,x2,…}]判断表达式expr是否是关于x的多项式判断表达式expr是否是关于xi的多项式列出多项式poly的所有变量给出多项式poly的项数提取多项式expr的第n项多项式poly中x的最高指数多项式poly中expr的系数多项式poly中expr^n的系数多项式poly中expr^0的系数，即不含expr生成一个由多项式poly中xi的系数组成的表求多项式结构的函数

函数Polynomial判断表达式expr是否为关于x的多项式，即使表达式中没有x，函数返回值也是True函数Length和Part只能在展开后的多项式中使用第四页，共十四页，2022年，8月28日4.1.3有理多项式的运算名称意义ExpandNumerator[expr]ExpandDenominator[expr]Expand[expr]ExpandAll[expr]ExpandAll[expr,patt]仅展开多项式的分子仅展开多项式的分母仅展开分子、把分母当成单项把分母和分子完全展开只展开与patt匹配的项有理多项式的展开函数有理式化简函数名称意义Together[expr]Apart[expr]Cancel[expr]Factor[expr]合并具有相同分母的项把表达式分解成简单分母项和的形式约去分子和分母的公因式因式分解第五页，共十四页，2022年，8月28日4.1.4多项式的代数运算名称意义PolynomialQuotient[poly1,poly2,x]PolynomialRemainde[poly1,poly2,x]PolynomialGCD[poly1,poly2]PolynomialLCM[poly1,poly21]PolynomialMod[poly,m]PolynomialReduce[poly,{poly1,poly2,…}{x1,x2,…}]Resultant[poly1,poly2,x]返回poly1除以poly2的结果，舍掉余数返回poly1除以poly2的余数求两个多项式的最大公约数求两个多项式的最小公倍数求poly以m为模的余数求用polyi表示poly的最小表达式求两个多项式的消元式多项式的代数运算函数函数PolynomialMod和函数PolynomialRemainde的区别在于前者做的运算是乘减，即poly1减去poly2乘以一个整数或整式；后者做的是除法，最后得到的一定是次数比除式低的多项式。PolynomialMod可以使用多个模本节讨论的大多数代数运算只是适用于一般的多项式，这种多项式具有整数指数和有理数系数

第六页，共十四页，2022年，8月28日名称意义FactorSquareFree[poly]FactorList[poly],FactorSquareFreeList[poly],FactorTremsList[poly]Factor[poly,GaussianIntegers→True]以平方幂次的形式改写多项式以因式列表的形式给出结果对多项式进行因式分解，允许系数为高斯整数因式分解函数生成特定多项式的函数名称意义Cyclotomic[n,x]Decompose[poly,x]InterpolatingPolynominal[{f1,f2,…},x]InterpolatingPolynominal[[{x1,f1},{x2,f2},…],x]给出关于x的第n个分圆多项式如可能，将多项式分为一系列简单的多项式组合给出一个当x为整数i时，与fi相等的关于x的多项式给出一个当x为整数xi时，与fi相等的关于x的多项式和因式分解不同，用函数Decompose的分解结果有可能不是唯一的

第七页，共十四页，2022年，8月28日4.1.5以质数为模求多项式的余式名称意义PolynomialMod[poly,p]Expand[poly,Modulus→p]Factor[poly,Modulus→p]PolynomialGCD[poly1,poly2,Modulus→p]以p为模求poly的余式以p为模展开多项式以p为模对多项式进行因式分解以p为模求多项式的最大公约数以质数为模处理多项式的函数实数域上的因式分解函数名称意义Factor[poly,Extensiong→{a1,a2,…}]Factor[poly,Extensiong→Automatic]多项式系数可以为ai的组合允许多项式系数为实数数值4.1.6实数域上的多项式运算第八页，共十四页，2022年，8月28日4.1.7三角函数表达式名称意义TrigExpand[expr]TrigFactor[expr]TrigFactorList[expr]TrigReduce[expr]TrigToExp[expr]ExpToTrig[expr]将三角函数表达式展开为各项和的形式将三角函数表达式改写为积的形式给出各项以及它们的幂次使用倍角化简三角函数表达式将三角函数表达式改写为指数形式将指数形式改写为三角函数表达式处理三角表达式的函数复变量表达式的展开函数名称意义ComplexExpand[expr]ComplexExpand[expr,{x1,x2…}]展开表达式expr，假设所有变量为实数展开表达式expr，假设指定的变量都是复数4.1.8复变量表达式第九页，共十四页，2022年，8月28日4.1.9表达式的化简名称意义Simplify[expr]FullSimplify[expr]FullSimplify[expr,ExcludedForms→patt]使用各种代数和三角函数表达式化简表达式在最大的范围内对表达式进行化简化简表达式，但对于patt相匹配的表达式不进行化简表达式的化简函数带有假设的化简函数名称意义Simplify[expr,assum]FullSimplify[expr,assum]使用假设assum化简使用假设assum完全化简当根据给出的假设也无法判断等式和不等式的正确与否时，Mathematica返回的是等式或不等式第十页，共十四页，2022年，8月28日名称意义x∈dom或Element[x,dom]{x1,x2,…}∈dompatt∈dom指定x属于域dom指定xi属于域dom指定任何与patt匹配的表达式属于域dom指定变量位于域的函数数的集合符号名称意义ComplexRealsAlgebraicsRationalsIntegersPrimesBooleans复数域C实数域R代数域A有理数域Q整数域Z质数域P布尔值B（取值为True或False）第十一页，共十四页，2022年，8月28日4.2方程求解4.2.1方程及其根的表示名称意义Solve[Ihs=rhs,vars]NSolve[Ihs=rhs,vars]Root[Ihs=rhs,vars]Root[f,k]FindRoot[Ihs=rhs,{x,x0}]给出方程的解集直接给出方程的数值解集以逻辑表达式的形式给出方程的解求方程f的第k个解，其中f用隐式符合表示求x=x0时，方程的解值方程求解函数4.2.1方程及其根的表示4.2.2求解一元代数方程第十二页，共十四页，2022年，8月28日4.2.3方程组求解名称意义Solve[eqns,{x1,x2,…}]Solve[eqns]Solve[eqns,vars,elims]Eliminate[eqns,elims]FindRoot[eqns,{x,x0},{y,y0},…]求解eqns中指定的变量求解eqns中全部变量消去变量elims，求变量vars的值重新排列方程组以消去变量elims求x=x0,y=y0,…是线性方程组的解求解方程组的函数InverseFunction函数的使用格式名称意义InverseFunction[f]InverseFunction[f,n]InverseFunction[f,n,tot]求函数f的反函数求函数f对于第n个参数的反函数求当参数个数为tot时，f