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文档简介

授课题目：向量空间的同构教学目标理解向空间同构的概念、性质及重要意掌握有维向量空间同构的充要条授课时数：学教学重点：向量空间同构的概教学难点：同构的判.教学过程：一、线性空间同构的定义定义：设

F是两个向量空间V到W的个映射f叫一个同构映射，如果（i）是V到的双射；（ii）

f

iiifF,如果V的同构映射存在，则称V与V同，记为

'

二、同构射的性质设f是V到的构映射，则

f

是

W到V的构映射。设f是V到的同构映射，则（i）

f（ii）

f

（iii）

,bF,

f

（iv

,1

2

n

线性相关

ff(1

),2

,f()n

线性相证明(i)由定义的条(3),取,那(0f

(ii)由义的条件2),

f(f

所以有

f(

(iii)利用条件(和(可直接得.(iv)如果

,1

,2

n

线性相关那存在不全为零的数

,,1

,Fn

使/

12n

由

(i)

和

(iii)

得

到)f()1

)f(n12

)(0)nn

于是

f),f(),12反之如果

,f()线性相关.nf),(),f()12n

线性相关那么存在不全零的数,,,aF1n

使得

f)f(112

fn设空间，

,1

,2

,

n

是V基，f是V到W的构映射，则

f),f1

),)2

是的基.证明思路1

),),f(

线性无关.、每个都能由

ff1

,f()n

线性表出.三线性间的同构如果两个线性空间

FF建立一个同构映射么就说

与

F

同构记作

F定理VFi设证明由V数域上一个n维线性空取定V的个基

{1

2

,

}n

对意关于基

{12

,}n

的坐标为

(a,12

,a)n

令

f:

(aa,12

,).n显然

f

是V到的个双射如果对于任意

,

并且

f

)aa,1

,)n

f

)b,b,)1

由理5.5.1得

f(a,,12

,)a,)n12na122

,a)nn,1

,)bn2

,)nff(/

fttttftttt对于

F,(a,)12

从f是V到F的同构映射故

V

定理向量空间的同构是一个等价关证明反身性和传递性显下主要证明对称.设Vf

是线性空间

到

的同构映射,由于f

是V

到

的双射,所以是

f

是到V的射且

ff

是W到W的等映射,是f

f是到V的等映射.设

由是V到W

的同构映射f(f(f(ff(f

f

(

因为f是射所

f

(

(f

(

同理可证,对意F

f(aaf(

故

f

是

到V的构映射定理F,dimVdimW证明

""

如果

V

设

f

是

V

到

的构映射,{12

,}n

是

V

的基则定有

f),(),12

,f()是的个基,因n""设则V

n

,F

n

于定理表明数上有相同维数的线性空间本质上是一致.例：设

1

是n维空的2

V

的一个基，

是n

s矩(

,1

,2

)s

2

)n

证明：

,1

2

)s

的维数等于

的秩。证明:设为A的第k列k

k1

,,2

,nkj

,是j2jt1

2

s中的任意个向，则

x

ji

ji

(,,)ji2nji

(,

xjijiix0jijii

ii于是知,j

,,与其所对应的t个向量j2

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