向量及向量地基本运算

一、教目标：

实用标准文案向量及向量的基本运算．理解向量的有关概念，掌握量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解量共线的充要条.2向代数运算法则形则边形法则解决有关问题断培养并深化用数形结合的思想法解题的自觉意.二、教重点：三、教过程：

向量的概念和向量的加法和减法则．（一）主要知识：）向的关念①向量有小又有方向的量量一般用

……来表示有向线段的起与终点的大写字母表示，如：。的大小即向量的模（长度②零向量：长度为0的量，记

0

，其方向是任意的，

0

与任意向量平行<注意与0的区③单位向量：模为1个单度向量。④平行向量（共线向量相相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上向把a度相等相向量叫a的相反向量-a⑤相等向量：长度相等且方向相的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记ab）向加

。①求两个向量和的运算叫做向量加法。设

a,BCb，a+b=AC。向量加法有“三角形法则”与“行四边形法则

说明

0a0a

；（2）向量加法满足交换律与结律；3)量减①相反：与

a

长度相等、方向相反的向量，叫a

的相反向量。记作

a

量的相反向量仍是零向量反量有：）

(a)

=a；aa)=(a)+

a

=

0

；、为相反向量，则a=

bbaab=。②向量减法：向量a加上b的反向量叫做与b的，记作：两个向量差的运算，叫做向量的法。

aa(b)

。求ab

的作图法b可示为从点指向的点的向有起点注）用行边法时，个知量要始的和量始与知量的点合那对线而差量另条角，方是减量向减量（2）三角法的点是首相，由一向的点向后个量的终的向段表这向的；向是减量终指向减量终。4)数向的①实λ与向量

a

的积是一个向量，记λ

a

，它的长度与方向规定如下：精彩文档

实用标准文案（Ⅰ）a（Ⅱ）当

0

时a

的方向与a

的方向相同；当

0

时a

的方向与a

的方向相反；当

0时

a

，方向是任意的。②数乘向量满足交换律合与配。数向的的算λμ为数，则①λ()=(μ)

a②(λ+μ)a=aμ③λ(

a

+

)=λ

a

+

5)个量线理向量非零向量a共线

有且只有一个实数使得b

a

。6)面量基定如果

e12

是一个平面内的两个不共线向量那么对这一平面内的任一向量

，有且只有一对实数

1

,

2

使：

a

ee1122

其中不共线的向量

e12

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。7)别意（1）量的加法与减法是互逆算。（2）等向量与平行向量有区，向量平行是向量相等的必要条件。（3向平行与直线平行有区，直线平行不包括共线（即重合括共线（重合）的情况。（4）量的坐标与表示该向量有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。（二）主要方法：1．充分理解向量的概念和向量表示；2．数形结合的方法的应用；3．用基底向量表示任一向量唯性；4．向量的特例

0

和单位向量，要考虑周全．（三）例题分析：例、判断下列各命题是否正确向量没有方向若

abb位向量都相等就是有向线段相等向量若共起点相同若

abc，a

；若

a

，

b

，则

ac

若形ABCD

是平行四边形ABCDDA知A（3，2按向a（1）平移后得到的向量B的标为精彩文档

实用标准文案（3，－3

a

的充要条件是

aa；解不正确量方向任,不确模相方向不，单位向量的模为很多正确，有向线段是向量的一种表示形式确，（6正确，向量相等有递性（7不正确，因b

，则不共线的向量

a也有正,如

ABCDDA

（9正∵a（1移公式是

y

，将A分代入可求得AB故

A

=）－5（10）正确，当a，方相反时，即使

a能得到

a

；点评正确理向的关念例、如图平行四边形ABCD对角线相于C，线BC上有一点足BC=3BM,线CD有N足CD＝3CN,设OA表OM解：

111BA,BAOBa6665142OBBMab.CN,CD6333

11OAOBbab26点评根据向的何减则对形的量行相示练中

习:△ABCBC交于E,AM是B边于设B用

分表示向AE

解：

2bba33

a

1a3

a例、一条渔船距对岸4km，以2km/h的度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，河的速解：设表直于对岸的速BC表水流速度为际航行时间为4km÷2km/h=2h精彩文档

在ABC中

实用标准文案AB2AC42所以河水速为

3km/h点评求合力分合速分问用量是一常问要于用行边和三形则例、在ABC，、E分为AB、AC的点，用向量的方法证明：DE平等于0.5BC分析证DE平等于只

解：如图

DEAEADAcAB又中点

,AEAC2即

AEAD

12

所以DE平且等于

0.5BC点评几何问可转为量题证往会的简明练习已G是ABC的重心求证：

证明：以向量B邻边作行四边形GBEC，则

2GD

，又由G的心知

2GDGA2GD2GD

。例、设

e12

是不共线的向量知量

AB

e

2e

e

A,B,D三值分析

BD解：

BDCDCBe

,使

BD

)得

k8点评共线或行题向或标行充条解例3．经过OAB重G的线OA分别交于Q，1m求的值。

O解：bOGb)PQnb1OGOP(mb3

A

G

Q

B精彩文档

1221实用标准文案1221P线，得1存在实数，使PQPG，nbma(mb3从而

n

1m(m3，消去得：13

11nm

3（四）巩固练习：1．已知梯形

ABCD

中，

|2

，

N

分别是

DC

、

的中点，若

AB

e1

，2

，用

e，

表示

DC

、

、

．

M

C解

DC

1eAB122

N

（2）

BCBAACABACADDCABAD

11ABee22（3）

MNAN

1111ABADABAD444

e12．（设两非零向量

、

不共线，如果2e1

21

21

8e2

,证：

三点共线（2

、

是共向B2

1

e21

2

,e

三点

的值.（1）明：因为

6e1

21

8e2所以

10e15e12又因为

1

3e2得即

5AB又因为公共