概率论与数理统计课件3.1随机变量的数学期望

第三章随机变量的数字特征

我们知道，随机变量的分布完整地描述了随机变量的统计规律性，但在许多实际问题中，并不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只要知道它的某些数字特征.例如，在评价某地区粮食产量的平均水平时，只需要知道，该地区粮食的平均产量；又如，在评价某班级的学习情况时，既要考虑学生的平均成绩，又要注意学生的两极分化情况（学生的成绩与平均成绩的偏离程度），若该班的平均成绩较高，偏离程度较小，说明该班的教学质量比较好.

本章将讨论随机变量常用的数字特征：数学期望、方差、相关系数、矩等.3.1随机变量的数学期望数学期望的概念1．离散型随机变量的数学期望我们知道离散型随机变量的分布列可以全面地描述了这个随机变量的统计规律，但在许多实际问题中，这样的“全面描述”有时并不使人感到方便，举例来说，已知在一变，量个同一品种的母鸡群，一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量，如果要比较两个品种母鸡的年产蛋量，通常只要比较两个品种母鸡的年产蛋量的平均值就可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量最高，当然是“较好”的品种，这时如果不去比较它的平均值，而只看它的分布列，虽然“全面”，却使人不得要领，既难以掌握，又难以迅速做出判断，这样的例子可以举出很多。例如：要比较不同班级的学习成绩通常就是比较考试中的平均成绩.

例3.1.1

某手表厂在出厂的产品中，抽查了N=100只手表的日走时误差，数据如下

日走时误差-2-101234只数310172821165这时，抽查到的这100只手表的平均日走时误差为

其中

是“日走时误差为k秒”这一事件的频率，可记为

，于是

平均值=

当较大时，

接近

，于是

接近于

，就是说，当试验

次数很大时，随机

变量

的观察值的算术平均

接近于

，称

为随机变量

的数学期望或均值，一般地，有如下定义：定义3.1.1设离散型随机变量的可能取值为

，其分布列为

，则当

时，称

存在数学期望（均值），并且数学期望为

=.若

的数学期望不存在.从定义可以看出，

E是由随机变量的分布列所确定的一个实数，它形式上

是当的一切可能取值与它对应的概率的乘积，独立地取较多的值时，这些值

的平均值稳定在随机变量的数学期望上.

当改变列举次

的取值可依某种次序一一列举的，

同一种随机变量的列举次序可以有所不同，序时它的数学期望（均值）应是不变的，这意味着求和次序可以改变，而其和保持不变，

由无穷级数的理论知道，必须有绝对收敛，即

才能保证它的和不受求和次序的影响.注意数学期望是反映随机变量取值的平均水平（集中程度）的数量指标.例3.1.2

设为离散型随机变量，其分布列为试问

的数学期望是否存在？解：

而发散，故

的数学期望是不存在的.注意并非所有随机变量都存在数学期望.例3.1.3

设一个盒中有5个球，其中有3个黄球，2个白球从中任取两个球，问平均取到的白球数是多少？解：设为任取两个球中的白球数，

的分布列为

012

0.30.60.1则例3.1.4

设射手甲与乙在同样的条件下进行射击，

其命中环数分别有下面的概率分布：0567891000.050.150.10.10.10.50567891000.10.150.10.10.150.4试评定他们射击水平的高低.解由此可见，甲平均命中的环数高于乙，即可以认为甲的射击水平.例3.1.5

一道选择题，应该有多少种选择答案，

答对者应给多少分，答错者应罚多少分，才能使猜答案者没有收益呢？解:设一道选择题的选择分支有

个，其中一个

是正确答案，答对者给

分，

答错者应罚

分，即得

分，不答者得

0分，以

表示猜答案者所得分数

那么的设计要以

为标准，简单的以无收益

为标准.我们有

即这就是选取

所应满足的关系式。

从上面例子可以发现,求离散型随机变量的数学期望关键

是要求它的分布列.2.连续型随机变量的数学期望设是连续型随机变量，其密度函数为

p(x),在

在数轴上取很密的分点

则

ξ

落在小区间

的概率（如图）

此时，概率分布

……

……可视为

的离散近似，服从上述分布的离

散型随机变量的数学期望

也可以近似表示为积分

定义3.1.2

设

为一个连续型随机变量，

密度函数为

时，称

的数学期望(均值)存在，且的数学期望

是的可能取值（关于概率）的平均，

这里要求

道理与离散型随机变量一样.求

E(ξ).

解:随机变量ξ的概率密度为

故

例3.1.6

已知随机变量ξ的分布函数例3.1.7

设

的密度函数为

试问

的数学期望是否存在？解:因为

所以

不存在.

二、几种常用分布的期望1.退化分布设

的分布列为

则

2.两点分布

设

的分布列为

10p1-p则3.二项分布

设

,则

事实上，

上式中，

是利用了二项式的重要性质.

作变化为

则上式变为

利用这一性质来计算随机变量的数学特征是以后经常使用的手段.4.几何分布

设

～g(k,p)，则

事实上，这里使用了幂级数和函数的逐项可微性

5.Poisson分布

设～则

事实上，这里再次使用了变换

由此可知，泊松分布的参数

就是它的均值

由概率分布可唯一的确定其数

学期望；反过来，由于泊松分布是由

就是它的均值，由概率分

布可唯一的确定其数学期望；

反过来，由于泊松分布是由

确定的，因此，

只要知道它的均值，也就唯一确定了泊松分布.6.均匀分布设

则事实上，因为

的密度函数为

结果表明，期望为[a,b]的中点，这点由概率分布

的均匀性是不难理解的.

7.指数分布设

则

推导过程见

分布.

8.正态分布设则事实上,

可见正态分布的参数

正是它的数学期望.我们知道正态分布的密度函数曲线是关于直线

对称的,因此这一结果从直观上说也很自然.9.

分布

密度函数为这里用到

为的分布密度函数

1.离散型随机变量函数的数学期望定理3.1.1

设

为一个离散型随机变量，其分布列为

又是实变量

的单值函数，如果

=定理的重要意义在于当我们要求随机变量

三、随机变量函数的数学期望的函数

数学期望时,不必求出随机变量

的分布,直接利用

的分布就可以解决问题了.

定理3.1.2

若（）是一个二维离散型随机变量，其联合分布列为

又g(x,y)是实变量x,y的单值函数，如果则有

=例3.1.7

设随机变量的分布列为

020.40.30.3解:

=例3.1.8

设随机变量

密度函数为

且求a,与b的值，并求分布函数F(x).解:由题意得解方程组得

当时，有

2、连续型随机变量函数的数学期望(1)若

是连续型的,它的分布密度为p(x)，则这里同样要求绝对收敛.这里同样要求绝对收敛.例3.1.9

设

例3.1.10

过单位圆上一点P作任意弦PA，PA与直径PB的夹角服从均匀

分布

求弦PA的长的数学期望.解:由题意得

的密度函数为例3.1.11

设

相互独立，且都服从N（0，1），求

解:

联合密度函数为

四、数学期望的性质性质1

，则

存在，而且有

特别，若c为一个

常数，

则

性质2

对任一二维随机变量

若

都存在，存在且

联合密度为

是

的函数，有

则对任意实数性质3

设、是两个随机变量,则有对任意实数,有证证明仅对连续型进行证明，离散型的可类似证明

设

的联合密度为

是

的函数，有

性质4

设

、是相互独立的随机变量,则有证离散型的情形类似地证明.性质2与性质3可以推广到任意有限个情形。对任意n个常数

有若

相互独立，则

例3.1.12

若

～求解:

===

例3.1.13

若随机变量

求的数学期望

解令

由于

于是由数学期望的性质即得例3.1.14

将

个不同的球随机地放入

n个有编号的求有球的盒子

数的数学期望

解：直接求分布列比较繁琐，可设

例3.1.15从甲地到乙地的客车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以表示停车次数，求解:

，如果先求

可能取值为

注意到经过每一站时是否停车只有两种可能，由此设则

例3.1.16

对N个人验血有两种方法：（1）逐个检验，这样必须进行N次试

个人为一组，把个人的血样合若检验结果为阴性，则这k

个人的血只要作一次检验若检验结果为阳性，则对这k个人的血再逐个检验，这样共需检验这样共需检验k+1

设每个人检验结果为阳性的概率为p

且这些人的检验结果是相互独立的，试求在第二种检验方法下，需要进行检验次数的数

学期望

解:设

是在第二种检验方法下进行检验的次数，是第i组的验血次数

则当

即这时可根据N选取适当的k使e达到最小如N=10000，时时可以减少验血次数，例3.1.17

设掷两颗骰子，用

分别表示第一、第二颗骰子出现的点数，

求两颗骰子出现点数之和的数学期望

解:令

分别表示第一、第二颗骰子出现的点数，

分布列为

所以，从而

习题3.11．袋中有

张卡片，上面记有

现从中有放

回地抽取k张卡片来

求号码之和

的数学期望

2．已知整值随机变量

的分布为

求3．某产品的次品率为

检验员每天检验4次

每次随机地抽取10件

品进行检验

如果发现其中的次品多于1就去调整设备．以表示一天中调整设备的次数试求4．设随机变量的分布列为证明的数学期望不存在．5．已知在15000中件产品中有1000不合格，在该批产品中任取150进行检验，经检验后发现其中有件不合格品．求6．从数字中任取两个不同的数字，求这两个数字

之差的绝对值的数学期望．7．某城市一天内发生严重刑事案

服从参数为

1/3的的泊松分布，记

为一年内未发生刑事案件的天数，求的数学期望

8．记

的密度函数为

试求(1)

9．设随机变量

的密度函数为