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文档简介

定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?表示为一、什么问题可以用定积分解决?

1)所求量

U

是与区间[a,b]上的某函数f(x)

有关的2)U

对区间[a,b]

具有可加性

,即可通过“分割,近似,求和,取极限”定积分定义一个整体量;二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法成为元素法

(或微元法)近似值精确值一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及

x

轴所围曲则边梯形面积为A,右图所示图形面积为例1.

计算抛物线与直线的面积.解:

由得交点所围图形为简便计算,选取

y

作积分变量,则有例2.

求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b

时得圆面积公式2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为对应

从0变例4.

计算阿基米德螺线解:到2

所围图形面积.例5.

计算心形线与圆所围图形的面积.解:

利用对称性,所求面积(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):例7.

计算摆线一拱的弧长.解:三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,有例8.

一平面经过半径为R

的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:

如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x

轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.四、旋转体的侧面积设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕

x

轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的注意:侧面积为例10.

求由星形线一周所得的旋转体的表面积S.解:

利用对称性绕

x

轴旋转内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线

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