高数上已看期中考试

(一)高等数学(上)期中考试试卷试若x0sin

1，则当x0时，函数(x)与 ）是等价无穷小 （B）sin|x|x1（C）1 x1以下条件中 ）是函数f(x)在x0处连续的充分而非必要条件（A）f(x)在x0的某个邻域内有界 （B）limf(x)存在（C）f

)f(x)f

x （D）f(x x0为函数f(x)sinxsin1的 x（A）可去间断点 （B）跳跃间断点（C）无穷间断点 （D）振荡间断点函数f(x)在x0处可导的充分且必要条件是 （A）f(x)在x0处连续 （B）f(x)f(0)Axo(x)，其中A是常数（C）f(0)与f(0)都存在 （D）limf(x)存在

e2 x0 在x0处连续，则数a 1xx x a设ylncos(arctanx)，则dy d f(x)f若f(0)1，g(0)2，则 x0g(x)当自变量x有增量x时，因变量y有增量yy．

1

x a0)，则求limxln(1x 1cos求limxx1e xee

x

x

xx

y(0)并讨论limy(x程．五、设limfx1fx0x0fxx． 1(1)f(x)的单调区间与曲线y(2)求limfx与limfxy

f(xf(x k3ykx

x2(1)k(2)k取何值时，箭射中30m远处一直立的高度最大1．由于当x0(x)~xln(1x~xsin|x|~|x|1

|x| |x|2111~x，因此，当x0时，函数(x11条件，(D)是f(x)x0处连续的充分而非必要条件,故选(D)．由于limsinxsin10x0f(x 4.f(xf(0)Axo(xf(xx0可微，而可微与可导等价，故选（B）．

af(0)e2,f(0)

x

lim

x

ea，因此a2 x0 a

x0

a dy [sin(arctan dx f(x)

1 1f(x)f(0)f(x)f f(x) 2f(0)x0g(x)g(0) g(x)g(0)

因为ylimy ，因此y dx1ln(1ax)Cx0

1

1 limxln(1x) 1x 1cos sin x0(1x)sin1xx 1

ln

lim exexeexe1eexee

y(x) y(0)lim limx 0 x0y2xsin1cos1，因此limy(x y1exy(yxy) y2xf(0)limf(xlimxfx0f(0)limf(xf(0)limf(x)1 f(x)f(0)f(0)xf()x2xf()x2x 六、(1)fx(1

)ex，fx x

1 x1(,0)，(0,1]，[1,)x(,f+-+f-++ f(x在(0)和[1上单调增加，在(0,1] f(x在(0)上的图形是凸的，在(01u elim(2)

fxlimx1

lim u u

fxlimxe

0yf(x七、(1)y0x0xk3

求导，得d

600(1k3

，令d

x(k)300kk30，解得唯一驻点kd (k3 d

1故k1(2)x30y3k330k6，求导，得dy9k2

d，令 d dk 为极大值点，因此必为最大值点．故k3

3

y k3

630.51482020(二)高等数学(上)期中考试试卷试

,x0f(x)

在x0处连续，则常数a ,xx2x2x2x

比

f设函数f(x)在x0处连续，若0，0，当0x时，总 1，f6y=fy=g6y=fy=g 12345678抛物线y2x24x1在顶点处的曲率半径等

在x1处的导数等 limlncos(x1)x11sin2 x0 xcosx设y x ylnyxyy(xyyxtsin设ycos

d2d d t21y

f f可导，求dyxxy1xy轴围成一个三角形．记切点的横坐标为ax y4lnx5y4xln4x参考答由limf(x)f(0)，得limeasinx1limasinxa1，故a2x

x2x2x2

x2x22x2x22 x2x2x

由所给条件知limf(x)1f(0limf(xx0f(0limf(xf(0) (1(1y2

4df f[g(1)]g(1)f(3)g(1)34063d

622 tan(x sec2(x lim xlim lim x11 x1cos x1sin cot2 ln|sinx| cosx xcosxsin xsin sinx

sinx

e x02 2 x06 6x0 cos 1cos 2xy x( )( ) 2x1x 1x

yy1yy

1dyd

sin sinttcos

yd(y)d(y)dy dx1 dy1 d (1d2yd sin sintcost d dd2d2d

dtsinttcost 2

(sinttcost2dyf 1 (1)dx f x ) ) 11

1 s2(t)(t[0,T])根据实际问两个函数在[0,T上连续，在(0,T)内可导s1(0)s2(0)，s1(Ts2(T)令(t)s1(t)s2(t)，则(t)在[0,T]上连续，在(0,T)内可导，并且有(0)(T)．根据 存在(0,T)，满足()0，从而s1()s2()，即在t时刻两人的瞬时速度相同．y|xa

y1在a,12axa2axa a32y xa32

9S 9limS0limS六、光源离地面高为 时，光源到球场周边处的距离h2h2(30在球场周边处光线与平面的夹角的正弦 求导，得dEd

5

E k03 dE0解得在h0范围内的唯一驻点h30d 点，因此必为最大值点．即此光源