函数及其图象的教学刍议

函数及其图象的教学刍议1．本章教材的特点之一是自始至终都突出数形结合的方法，从正反比例函数到一次、二次函数，教材都是通过图象的直观性来反映函数的性质．教材的另一个特点是贯穿从特殊到一般的原则．例如，一次函数由浅入深，从特殊到一般，逐步归纳总结出规律和性质．这种处理方法有利于培养和发展学生的抽象思维能力和概括能力．2．教材的知识结构是按下图逐步展开的：掌握知识结构系统，注意前后关联，有利于整章教学合理和周密的安排．学习函数概念时要抓住三句话：①在某变化过程中有两个变量；②其中一个变量在某范围内取值，③对于这个范围内的每一个确定值，另一个变量都有唯一的值和它对应．第一句话是大前提，说明函数研究的对象是两个变量；第二句指出自变量的取值范围(即定义域)；第三句指的是自变量(x)与函数(y)之间的对应规律，其中也包括值域的概念．要帮助学生理解“某一范围”、“每一个确定值”、“对应”等词语的意义．要强调函数的本质是对应，函数关系就是某种情况下的特殊对应关系，为今后学习用映射来定义函数打下基础．课本中指出的“含有一个字母的代数式，就是其所含字母的函数”，对这句话的解析，除了把代数式的值用y来表示，使其形式上符合函数的表示法外，若利用对应的概念就能更清楚说明其函数关系了．3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的教学是在正反比例函数以后进行的．教学中宜抓住下面几个关键性的问题：(1)、正比例函数y＝kx是当b＝0时的特例，其图象是过原点的一条直线，k越小，直线越靠近x轴；k越大，直线越离开x轴(而接近y轴)．这个性质课本没有明确指出，但可以通过例题的六个图象比较归纳得出．引导学生发现这个结论，有利于对正比例函数性质的更深刻理解，也为判别同一坐标系中的几条直线是那个函数的图象提供了简便的方法．(2)、在y＝kx的基础上通过类比的方法，学生容易理解一次函数y＝kx＋b(k≠0、b≠0)的图象和性质．但还要着重指出：不管x取什么值所对应的函数值y，后者均比前者增加(或减少)了b个单位，因此，当b＞0时，图象就向上平移b个单位；当b＜0时，图象就向下平移|b|个单位，故得出：y＝kx＋b的图象必然过(0，b)且与y＝kx直线平行的一条直线，它与x轴的倾斜程度以及函数值y的增减情况与y＝kx的情况一样．为了讲清“平移”的道理与方法，要重视列表对照比较．其次，教学过程中，还要指出：y＝kx＋b中k、b的值．要求它的解析式，有两个独立条件就行了．4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质与图象的研究，教材是从y＝x2与y＝－x2的性质与图象出发，通过列表描点画出图象．学生有了感性认识后，可提出下列一组富有启发性的思考题让学生议论：①y＝x2与y＝－x2的图象均过原点，其中y＝x2的图象在x轴上方，y＝－x2的图象在x轴下方，其原因是什么呢？②y＝2x2与y＝－2x2的图象在x轴的上方还是下方？(强调关键是在二次项系数)③y＝ax2图象位置如何？(引出课本性质②)④y轴是否为图象的对称轴？图象左、右两部分描点时的顺序是怎么样的?这说明x与y的什么关系？(引出课本性质③)采用上述的研讨式教学方法，师生共同活动，学生自我进行类比推理获得知识，能达到印象深刻，记忆牢固、发展智力的效果．2、教材14·11是本章重点内容．课本通过在同一坐体系内作出状一样，只是顶点位置不同．图象的直观性是可以给学生感性认识，但关键的还是从理性上使学生确信．也就是说要从函数的对应关系象上就是向左平移3个单位)即变为：[(x＋3)－3]时的取值就与y系亦可作出类似的解析．最后学生总结三个函数y＝ax2，y＝a(x＋m)2与y＝a(x＋m)2＋n中的系数a、m、n的数量特征反映在图象上的作用是：“开口、左右、上下”．要求学生切实记牢．a、m、n的“各负其责”就是决定其图象不同位置的原因．对于y＝ax2＋bx＋c，总可以用配方方法将其化为y＝a(x＋m)2＋n的形式，到此，二次函数及其图象的一般认识就获得圆满解决．从数学发展的角度来说，要强调本章的教学方法和数形结合规律，对日后学习y＝sinx，y＝asinx＋n及y＝asin(x＋m)＋n等一系列的数学形式及其图象有着承上启下的作用．3、学习y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，要紧紧抓住配方法、图象的开口、顶点坐标、对称轴方程，以及y＞0(或＜0)时x的取值范围，最大(小)值等，不仅要求学生熟练准确掌握，而且要求理解：“三点定位也定性”．这句话是二次函数的高度概括的结论．三(x2，0)顶点一旦确定之后，对称轴、增减范围和最大(小)值也随之确定，故顶点是第一关键点．从图象还可知，顶点分抛物线为增减各异、左右对称的两部分；而点(x1，0)与(x2，0)(其中x1＜x2)则把抛物线截为三段、两部分，如上图：x轴上方的两支及x轴下方一段．两部分是指y＞0与y＜0部分．上述的数形特征是二次函数的纲．抓住了纲，其他问题都迎刃而解．5．在学习y＝ax2＋bx＋c的图象和性质时，掌握x为何值时：y＞0，y＝0，y＜0是非常重要的基础知识．方程：ax2＋bx＋c＝0与不等式：ax2＋bx＋c＞0(或＜0)及二次函数y＝ax2＋bx＋c三者是紧密地联系着的．研究二次函数以后，不但为研究实系二次三项式开辟了认识途径，也为解一元二次不等式提供了数形相结合的极其简便易行的解法，这种解法在某种情况下要比课本上提供的方法要快捷准确．例1、解不等式：3x2－6x＋2＜0我们可以看作是二次函数y＝3x2－6x＋2，当x取何值时y＜0的问题，∵a＞0，∴抛物线的开口向上；又∵△=12＞0∴抛物线与x轴有二个交点．现要求y＜0故知，实际求解中，草图不必画得很精确只考虑开口，对x1与x2也不必标