函数及其图象考点浅析

函数及其图象考点浅析作为与高中知识衔接紧密的主要内容，《函数及其图象》在初中数学中占有极其重要的位置．全国各地每年的中考数学试题中，这一部分内容的占分比例都远远高于其在教学中所占的课时比例，纵观近年各地的中考数学试题，这部分内容的主要考点可分类归纳为如下七大点．一、有关点的坐标问题中考试题中，考查点的坐标，主要是一些特殊点的坐标，如与已知点关于两坐标轴、关于原点的对称点的坐标、某函数图象与坐标轴的交点坐标、二次函数的顶点坐标、两函数图象的交点坐标等．例1(1)已知P点坐标为(3，4)，则P点关于x轴对称的点的坐标为______．(2)点P(-3，2)关于原点对称的点P′的坐标是[]．A．(3，-2)B．(2，-3)C．(-2，3)D．(-3，-2)(3)若点A(2，m)在抛物线y=x2上，则点A关于y轴对称的点的坐标是______．评析：此组题主要考查点的坐标的意义及对称的概念．解题时应先利用对称关系形象地找出所求点的位置，然后再找出相应点的坐标，防止由于死记硬背而造成张冠李戴的错误．第(3)小题则应先将A(2，m)代入y=x2求出m，然后再求解．解：(1)(3，-4)；(2)A；(3)(-2，4)．二、有关函数的概念对有关函数概念的考查，主要是考查考生是否理解正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等有关概念．有时单独命题专门考查，有时则结合于其他题目来考查．例2若函数y=(m+1)xm2+3m+1是反比例函数，则m的值为[]A．m=-2B．m=1C．m=2或m=1D．m=-2且m=-1评析：此题主要考查反比例函数的概念及待定系数法．解题时要注解：由m2+3m+1=-1，得m=-1或m=-2，由于m+1≠0，故只能取m=-2．因此选(A)．三、自变量的取值范围作为函数的三大要素之一，自变量的取值范围这一问题理所当然成为中考重点考查的内容之一，并且绝大部分的试题都是单独命题来专门考查．A．x≥-1且x≠0B．x＞-1且x≠0C．x＞1D．x≥1评析：此组题主要考查考生是否理解函数中自变量的取值范围的意义及解不等式、不等式组的运算能力，解题的关键是根据函数的解析式列出相应的不等式或不等式组，然后再求解．在列出不等式或不等式组时，一般主要考虑：①分母不等于零；②二次根式的被开方数非负；③如果自变量同时出现在分母与二次根式的被开方数中，则应根据上述①与②列出不等式组．四、确定函数的解析式此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．交于点(2，1)，确定k、b的值．评析：此题主要考查待定系数法以及解方程(组)的运算能力．解题时应根据函数图象上的点的坐标与函数解析式之间的关系列出方程或方程组，然后再求解．例5已知一次函数的图象经过点A(2，-1)和点B，其中点B是另评析：此题主要考查待定系数法、一次函数的概念、点的坐标的意义以及解方程组的运算能力．解题时应先求出B点的坐标．k=-2，b=3．所以，所求的一次函数的解析式为：y=-2x+3．五、有关函数的图象问题函数的解析式与函数的图象是“函数”这个内容中不可分割的两个组成部分，由解析式可以看出图象的大致位置与走向，而由图象则可以形象、直观地看出函数的一些基本性质．因此，函数的图象也是中考主要考查的内容之一．在这一内容上，一般主要考查的知识点有：正比例函数、一次函数中y随x的变化而变化的情况；正、反比例函数与一次函数的图象所落在象限位置；抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴；简单函数图象的画图等．中该两个函数的图象没有交点，则a与b的关系是[]A．同号B．异号C．互为倒数D．互为相反数(’98天津中考题)评析：此题主要考查正、反比例函数的解析式与它们的图象之间的关系，考查简单的分类思想．解题的关键是弄懂解析式中系数的符号与图象所落在象限位置之间的关系．解：∵a＞0时，y1=ax的图象落在第一、三象限；a＜0时，该函数的图象落在第二、四象限．图象落在第二、四象限．∴根据条件，a与b不能同号．故选(B)．则抛物线y=kx2-2x+k2的大致图形是[]评析：此题主要考查数形结合的思想，考查反比例函数的解析式与其图象之间的关系以及抛物线的开口方向、对称轴．解题时应先根据双曲线的位置来确定k的符号，再由k的符号来确定抛物线的开口方向及对称轴的大致位置，从而结合图形作出判断与选择．解：由已知条件可知k＜0，因此，抛物线的开口向下，又由六、应用题众所周知，知识来源于实践而又为实践服务，“函数”既然是初中数学的重要内容，因此各地在中考中也经常以此内容来编制应用题，以考查考生运用数学的意识及分析问题与解决问题的能力．例8拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，求油箱中的余油量Q(升)与工作时间t(小时)之间的函数关系式，并计算工作小时后的余油量．评析：此题主要考查考生的阅读理解分析能力以及运用所学数学知识来分析、解决简单实际问题的能力．解题时可仿照列方程解应用题的模式来分析量与量之间的关系，列出等式．Q=-6×+40=25．七、关于综合题中考试题中有关函数知识的综合题，有的是单独以“函数”这部分的内容编成小范围的综合，但大部分题目都是将函数的内容与其他代数内容或几何内容结合起来，编成大综合，因此，这样的题目往往都是中考数学试题中的压轴题．例9如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QP⊥AP交DC于Q，问：当点P在何位置时，△ADQ的面积最小？并求出这个最小面积．评析：此题主要考查函数与方程的思想、