概率统计在实际生活中的应用

××=252××=0.058……≈5.8%因此，做10道4选1的选择题时，猜对其中5道的概率仅有5.8%。这也就是说，猜对的题目越多，实现的概率越小。因此，要想在考试中取得好成绩，光靠运气瞎猜乱选是行不通的，必须具有真才实学。2.3彩票中奖生活中我们提到对彩票，人们都非常感兴趣，马上想到中大奖，一夜暴富，所以很多彩民愿意赌一把，但是在现实中能够中奖的却是寥寥无几。下面我们通过几种常见的彩票，简单地探究一下中奖概率究竟有多大呢？我们依靠彩票来发家致富的梦想，是否容易实现呢？例2.1一种福利彩票称为幸福35选7，即从中,01,02,…,35不重复的开出7个基本号码，一个特殊号码，中各等奖的规则如下，试求各等奖的中奖概率？表1幸福35选7的中奖规则中奖级别中奖规则一等奖7个基本号码全中二等奖中6个基本号码及特殊号码三等奖中6个基本号码四等奖中5个基本号码及特殊号码五等奖中5个基本号码六等奖中4个基本号码及特殊号码七等奖中4个基本号码或者中3个基本号码及特殊号码解因为不重复的选号码是一种不放回抽样，所以样本空间含有个样本点，要中奖应把抽取看成是在三种类型号码中抽取：7个基本号码；1个特殊号码；27个无用号码。若记为中第i等奖的概率，可得到各等奖的中奖概率如下：若记为事件“中奖”，则为事件“不中奖”，且由可得：；这就说明：一百人中约有人中奖；而中一等奖的概率只有即二千万个人中约有人中奖。从计算结果中我们看到中奖的概率很低，而且中头奖的概率更是微乎其微。所以投资在彩票上很难赚钱。所以彩民要科学理智的对待买彩票这件事情，尽管将近看起来很高，但是中奖概率非常低，投资彩票回报率是很低的，彩民很难获得预期的效益。例2.2幸运七星及足彩中奖概率。体彩“幸运七星”属于数字型玩法，即从共个号码中任选一个七位数号码组成，每个号码均从共个数字中开出，“幸运七星”头奖的理论中奖概率为。足彩实际上也是一种数字组合型玩法，不过计算方法相对比较简单，场比赛均选“”可组合出：注单式号码，一等奖的中奖概率为。换句话说，每销售320万元的足彩，平均才可能诞生一个一等奖。因此购买彩票要有平常心，期望值不宜过高。2.4体育比赛中的概率问题体育比赛中利用概率求解的案例有许多，利用概率求解实际问题时，并不都是这么容易的，而许多概率的计算是富有技巧的。例2.3在斯诺克台球比赛中，我国运动员丁俊晖与国外运动员奥沙利文相遇，根据实际排名和以往的战绩统计，每赛一局丁俊晖胜的概率为0.45，奥沙利文胜的概率为0.55，若比赛可采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对丁俊晖更有利？解（1）采用三局两胜制：设表示丁俊晖胜前两局，表示前两局中二人各胜一局，第三局丁俊晖胜，表示丁俊晖胜，则。而，由于与互斥，由加法公式得:（2）采用五局三胜制：设表示丁俊晖胜，表示前三局丁俊晖胜，表示前三局，丁俊晖胜两局，奥沙利文胜一局，第四局丁俊晖胜，表示前四局两人各胜两局，第五局丁俊晖胜，则而,所以由故采用三局两胜制对丁俊晖有利，但从公平性而言，因丁俊晖的概率为，奥沙利文的概率为，所以“五局三胜制”更公平、更合理。在实际比赛中，采用的是十九局十局胜制，更为公平、合理，结果是丁俊晖输了（斯诺克大赛中的比赛结果），如果采用三局两胜制，丁俊晖就战胜了奥沙利文。例2.4在某次世界女排锦标赛中，中、日、美、古巴4个队争夺决赛权，决赛方式是中国对古巴，日本对美国，并且中国队已经战胜古巴队，现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队和美国队的概率分别为0.9和0.4，而日本队战胜美国队的概率为0.5，试问中国队取得冠军的可能性有多大？解根据上述形式，未完成的日美半决赛队中国冠军的影响很大，若日本队胜利，则中国队可有90%的希望夺冠，若美国队胜利，则中国队夺冠的希望只有40%。在日本队和美国队未比赛前，他们谁能取得决赛权，两种情况都必须考虑到。记“中国队得冠军”为事件,日本队胜美国队为事件,有美国队胜日本队为事件,，显然有，要么日本队胜，要么美国队胜，二者必居其一，所以为一个划分，有全概率公式，这里,其中，，是个条件概率.表示在日本队胜美国队的条件下中国队取得冠军的概率。由题意可知，；表示在美国队胜日本队的条件下，中国队取得冠军的概率，由题意可知，。综上所述，在日、美未决赛前，估计中国队取得冠军的概率为2.5抓阄的公平性从古代流传下来的抓阄的方法一直被人们认为是一种比较公平的解决问题的方法，下面我们构造一个概率模型来说明它的公平性。例2.5一项耐力比赛，胜出的10人中有1人可以获得一次旅游的机会，组织者决定以抓阄的方式分配这一名额。采取一组10人抓阄，10张阄中只有一张写“有”，每个人都想争取到这次机会，你希望自己是第几个抓阄者呢？有人说要先抓，否则写“有”的阄被别人抓到自己就没有机会了；有人说不急于先抓，如果前面的人没有抓“有”的阄，这时抓到“有”的机会会大一些。我们用概率的方法构造一个摸球模型来说明抓阄的问题的公平性。摸球模型袋中有1个红球和9个黄球，除颜色不同外，球的大小、形状、质量都相同。现在10依次摸球(不放回)，求红球被第个人摸到的概率？解设“第个人摸到红球”，显然，红球被第一个人摸到的概率为因为,于是红球被第二个人摸到的概率为同样，由,知道红球被第三个人摸到的概率为如此继续，类似可得:由此可见，其结果与无关，表明10个人无论摸球顺序如何，每个人摸到红球的机会相等。这说明10个人抓阄，无论先后，抓到的机会是均等的。类似的抽签问题也是一样的，他们都是公平的，先抽后抽都一样的概率，理解了抽签问题，在抽签时泰然处之，就没必要再抽签时争先恐后，或者畏首畏尾了。2.6生日相同的概率问题生日悖论是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高，对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题。例2.6以1年365天计(不考虑闰年因素)，在某人群中至少要有两人的生日相同（可以不同年），那么需要多少人呢?只要人数超过365人，就必然会有人的生日相同。但如果一个班有50个人，他们中间有人相同的概率是多少?分析：你可能会猜测，大概20%到30%吧.错，有97%的可能！我们来算一下，50个人可能的生日组合是50个人生日都不重复的组合是50个人生日全不相同的概率是50个人生日有重复的概率是通过计算我们可以很明显的看出当一个班的人数超过50人时，则出现相同生日的学生的可能性为0.97，几乎接近于1。另外，经过简单计算，我们也可以归纳出现相同生日（可以不同年）的概率情况，见表2表220-60人相同生日概率统计表（为人数，为概率）20304050600.4110.7110.8910.9700.994所以如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。这说明，面对一个貌似简单的概率问题时，如果我们主观臆断，有时可能与实际情况完全不同了。2.7降水概率问题降水概率为0，为什么还会下雨？一提到概率，很多朋友首先会想起天气预报中出现的“降水概率”，毕竟每天都有天气预报，每天都能接触到“降水概率”这个专用术语。那么，到底什么事降水概率呢？所谓降水概率就是下雨或下雪的概率。

听到天气预报中说的降水概率后，一般人都会根据经验决定出门时是否带伞。比如，一听到预报说降水概率在50%以上，很多朋友就会带雨伞出门。不过，对我而言，降水概率不上60%，我决不会带雨伞出门。我们说过，概率为0的事情绝对不会发生。不过，说到降水概率，即使为0%，也不能保证绝对不会下雨或下雪。这是为什么呢？降水概率是将未来可能出现的气象条件与以往的气象数据进行对比和分析后得到的。首先，要使用超级计算机预测未来一半时间内的大气状况和气压配置等各种气象条件。然后，再将预测的气象数据与过去保存的气象数据进行对比，并找出过去在相同的气象条件下降水在1毫米以上的概率有多大。这一概率就是未来一段时间内的降水概率。比如，为了预测明天早晨6点到中午12点之间的降水概率，气象专家首先要用超级计算机预测明天这个时间段内的各种气象条件。然后，再找出过去与预测的现象条件类似或接近的气象数据，并据此计算出降水在1毫米以上的概率值。假如在以往10次类似的气象条件中，有7次降水在1毫米以上，那么降水的概率就为70%。因此，预测说降水概率为70%这，相当于预报10次降水概率为70%中只有7次的降水会在1毫米以上。此外，现在的降水概率的预报以10%为单位，因而降水概率都是10%的整数倍，之间的数值都要进行四舍五入。当然，预报得过于具体也没有多大意义。因此，0%—40%的降水概率都会预报为0%，而5%—14%的降水概率都会预报为10%……因此，预报降水概率为0%，是说降水概率在0%-4%之间，因此不能完全保证不会下雨或下雪。2.8概率在求解最大经济利润问题中的应用如何获得最大利润是商界永远追求的目标，随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。例2.7某公司经销某种原料，根据历史资料：这种原料的市场需求量(单位:吨)服从上的均匀分布，每售出吨该原料，公司可获利千元;若积压1吨，则公司损失千元，问公司应该组织多少货源，可使期望的利润最大？分析:此问题的解决先是建立利润与需求量的函数，然后求利润的期望，从而得到利润关于货源的函数，最后利用求极值的方法得到答案。解设公司组织该货源吨,则显然应该有，又记为在吨货源的条件下的利润，则利润为需求量的函数，即，由题设条件知:当时，则此吨货源全部售出,共获利；当时,则售出吨(获利)且还有吨积压(获利)，所以共获利从而得上述计算表明是的二次函数，用通常求极值的方法可以求得，吨时，能够使得期望的利润达到最大。2.9概率在医疗保险上的应用目前，保险问题在我国是一个热点问题。保险公司为各企业、各单位和个人提供了各种各样的保险保障服务，人们总会预算某一业务对自己的利益有多大，会怀疑保险公司的大量赔偿是否会亏本。下面以中心极限定理说明它在这一方面的应用。例2.8已知在某人寿保险公司有个人参加保险，在一年里这些人死亡的概率为，每人每年的头一天向保险公司交付保险费元，死亡时家属可以从保险公司领取元保险金，求:保险公司一年中获利不少于元的概率；保险公司亏本的概率。解设一年中死亡的人数为，死亡率为，把考虑人在一年里是否死亡看成重Bernoulli试验，则,保险公司每年收入为，付出元，则根据中心极限定理得:(1)所求概率为:(2)所求概率为:经上述计算可知一个保险公司亏本的概率几乎为，这也是保险公司乐于开展业务的一个原因。3概率统计在生活中其他方面的应用在中国五千年的文化长河中，流传着许多谚语、典故，他们体现出了很强的哲学思想，人们往往对这些谚语、典故的正确性深信不疑。其实，这些谚语典故从数学角度来讲，说的是一些小概率事件。只要我们掌握了小概率事件的理论解说，就可以诠说它的哲学思想。3.1三个臭皮匠抵个诸葛亮我们知道，诸葛亮足智多谋，运筹帷幄，决胜千里。某一问题能够被诸葛亮解决似乎是必然的，但这一问题能够被臭皮匠解决似乎就有偶然性。但我们却有如下的文学成语“三个臭皮匠抵个诸葛亮”。它能否从数学上得到证明？回答是肯定的。

EQ例3.1有三个臭皮匠参加射击比赛，他们三个人能射中的概率分别为0.4，0.45，0.5。那么,他们三个人中至少有一个能射中的概率是多少?我们用反面证明的方法，三个人都射不中的概率为:=(1-0.4)(1-0.45)(1-0.5)=0.165所以三个人中至少有一个人能射中的概率为:1-0.165=0.835百分之八十多的成功概率，就算诸葛亮也不过如此了。很简单的概率题，谁都能明白的道理。你没把握，我没把握，但是我们坐在一起，思想交织，那就有把握。可是现实中又是什么阻隔了这样的一种合作？是面子，是心高气傲，更是对利益分配的斤斤计较……一个人不可能每一个领域都神通广大，而一个人却是对每一个领域都有需要。你不懂得合作，你就只有一个人在那里寂寞无助，却还以自己的独当一面沾沾自喜，其实，你就是个可怜虫，不懂得合作的人，终将被淘汰。3.2一根筷子容易折，一把筷子坚如铁此谚语说的是“团结就是力量”，下面用概率论加以分析。我们可以假设一根筷子能够被折断的概率为，则根相同筷子能同时被折断概率就为。对于，取不同的值，将会得到不同的结果，现假设，则根相同筷子能同时被折断的概率如下表:15101520253040500.90.590.3490.2060.1220.0720.0420.0150.0052表3根相同筷子能同时被折断的概率（为筷子根数，为能折断概率）从上表可以明显看出，筷子越多时，能折断的概率就越小，当=50时，能被折断的概率只有0.0052，几乎不可能折断。事实上，团结不仅是力的整合，更是智力的互补、性格的兼容、文化的升华。团队精神是难能可贵的。类似的谚语还有“众人拾柴火焰高”、“人心齐,泰山移”、“众人一条心，黄土变成金”等。3.3吃剩下的东西有福气很多人都拘泥抽签顺序，总认为:如果第一个人中签的话，后面的人就没有中签的机会了，所以如果自己不第一个抽，那么就感到自己的命运是被别人决定似的，有吃亏的感觉。其实不然，中签的概率并不依赖于抽签顺序，下面用一个事例进行论证。假设这里共有10个签，其中只有一个是要中的签。两个人抽签时，我们把第一个抽签和第二个抽签的中签概率做一比较。首先，第一个抽签人的中签概率是。然后考虑第二个抽签人的中签概率，分两种情况:一是第一个人中签的情况(概率为)。因为别人不会再有中签的机会了，所以第二个人中签的概率为O；二是第一个人不中签的情况(概率为)。因为第一个人已经抽走一个签，剩下的9个签只有一个签是要中的签，所以第二个人中签的概率就为×=这样一来，第二个人中签的概率就是两种情况相加0+=即，其结果和第一个抽签人的中签概率相同。由此可见,是否中签与抽签的先后次序无关，有了这一理论，我们在抽签时就完全不必争先恐后了，说不定您最后—个抽正好中签，是最有福气的人。这里要说明一点，为确保每次抽签都是公平的，即每个人抽中的概率均相等，建议：(1)同时抽；(2)序贯抽签时，前面抽完签的人不要急于公布结果，等全部抽完后再说。4结束语虽然在现实生活中我们不能准确预测未来或一些尚未发生的事件，但概率论的应用有利于更好地处理各种不确定因素。概率论应用到生活的方方面面，从而为我们的日常生活带来方便。有人设想，不久的将来，新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率”，电视节目的预告中，每个节目旁都会写上“可视度概率”。另外,还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等等。又由于概率是等可能性的表现，从某种意义上说是民主与平等的体现，因此，社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性。

总之，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。由于随机现象在现实世界中大量存在，概率必将越来越显示出它巨大的威力。参考文献[1]沈恒范.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2003:190-215.[2]程依明.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004:14-26.[3]施雨，李耀武.概率论与数理统计应用[M].西安:西安交通大学出版社,1998:125-135.[4]刘长波.生活中的概率问题举例[J].沈阳师范大学学报，2007(4)：131-134.[5]张国权.应用概率统计[M].北京:科学出版社,2003:185