2020-2021人教版数学2-2教师用书：第1章 1.2 1.2.1几个常用函数的导数 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年人教A版数学选修2-2教师用书：第1章1.21.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）含解析1.2导数的计算1。1。学习目标核心素养1。能根据定义求函数y＝c,y＝x,y＝x2,y＝eq\f(1,x）,y＝eq\r（x）的导数．(难点）2。掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)3.能利用导数的运算法则求函数的导数．（重点、易混点)1。通过基本初等函数的导数公式、导数运算法则的学习，体现数学运算的核心素养.2.借助导数运算法则的应用，提升学生的逻辑推理核心素养.1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）＝c（c为常数)f′（x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊)f′(x）＝αxα－1f(x）＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′（x)＝－sinxf（x）＝axf′（x）＝axlna(a＞0)f（x）＝exf′(x）＝exf（x）＝logaxf′（x）＝eq\f（1,xlna)（a＞0,且a≠1）f(x)＝lnxf′（x)＝eq\f（1,x)2.导数的运算法则（1)和差的导数［f(x)±g(x）］′＝f′（x)±g′(x)．(2）积的导数①[f(x)·g（x）］′＝f′（x)g（x）＋f(x）g′（x)；②[cf（x)]′＝cf′(x)．（3)商的导数eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（fx，gx)))eq\s\up12(′)＝eq\f（f′xgx－fxg′x，[gx]2)（g（x)≠0)．1。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,\r(2））))eq\s\up12(′)等于（)A．eq\f（1,\r（2）) B．1C．0 D．eq\f（1，2\r（2）)C［因常数的导数等于0，故选C。］2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于（)A．eq\f(1,10） B．10C．10ln10 D．eq\f(1，10ln10)C［∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.]3．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（x,2x）））eq\s\up12(′）＝________;（2)（xex)′＝________.（1）eq\f（1－xln2，2x)(2）(1＋x）ex［（1)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(x，2x)）)eq\s\up12(′）＝eq\f(2x－x2xln2,2x2）＝eq\f(1－xln2，2x)；(2)（xex）′＝ex＋xex＝(1＋x）ex。］4．函数f（x)＝sinx,则f′(6π)＝________。1［f′（x)＝cosx,所以f′（6π）＝1.]利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数．(1)y＝coseq\f(π，6）;（2）y＝eq\f（1,x5)；(3)y＝eq\f(x2,\r(x))；（4)y＝lgx；（5）y＝5x；(6）y＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,2)－x)）。[解]（1）∵y＝coseq\f（π,6)＝eq\f(\r（3)，2），∴y′＝0。（2)∵y＝eq\f（1,x5)＝x－5，∴y′＝－5x－6.(3）∵y＝eq\f（x2,\r(x））＝eq\f（x2,xeq\s\up12(\f(1,2)))＝xeq\s\up12(eq\f(3，2)），∴y′＝eq\f(3，2)xeq\s\up12（eq\f(1,2）)。（4)∵y＝lgx,∴y′＝eq\f（1，xln10)。(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln5.（6）y＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，2）－x）)＝sinx,∴y′＝cosx。1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误．3．要特别注意“eq\f（1，x）与lnx”，“ax与logax”,“sinx与cosx”的导数区别．[跟进训练］1．下列结论，①（sinx）′＝cosx；②eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（xeq\s\up12(\f（5，3））))eq\s\up12（′）＝xeq\s\up12(eq\f(2，3))；③(log3x)′＝eq\f（1，3lnx）；④（lnx)′＝eq\f(1，x）。其中正确的有(）A．0个B．1个C．2个D．3个C［①(sinx)′＝cosx，正确；②(xeq\s\up12(\f(5,3)))′＝eq\f(5，3)xeq\s\up12（eq\f（2,3）），错误；③(log3x)′＝eq\f（1,xln3)，错误；④(lnx)′＝eq\f(1,x)，正确;所以①④正确，故选C.]利用导数的运算法则求导数［探究问题]1．如何求函数y＝tanx的导数？［提示]y＝tanx＝eq\f（sinx，cosx)，故y′＝eq\f(sinx′cosx－cosx′sinx,cosx2)＝eq\f（cos2x＋sin2x,cos2x)＝eq\f（1，cos2x).2．如何求函数y＝2sineq\f(x，2）coseq\f(x,2）的导数?[提示］y＝2sineq\f（x,2）coseq\f(x,2）＝sinx，故y′＝cosx。【例2】求下列函数的导数．（1）y＝x－2＋x2;(2）y＝3xex－2x＋e;（3）y＝eq\f(lnx,x2＋1)；(4）y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x，2）.［解](1)y′＝2x－2x－3.（2）y′＝（ln3＋1）·(3e）x－2xln2。(3)y′＝eq\f(x2＋1－2x2·lnx，xx2＋12).（4）∵y＝x2－sineq\f(x，2）coseq\f（x,2）＝x2－eq\f(1,2）sinx，∴y′＝2x－eq\f（1，2)cosx.1．(变条件）把例2(4）的函数换成“y＝xtanx"，求其导数．[解]y′＝（x·tanx）′＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(xsinx，cosx)))eq\s\up12(′）＝eq\f（xsinx′cosx－xsinxcosx′，cos2x）＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x，cos2x)＝eq\f（sinxcosx＋x，cos2x)。2．(变结论）求例2(3）中的函数在点（1,0）处的切线方程．[解]∵y′|x＝1＝eq\f（1，2）,∴函数y＝eq\f（lnx,x2＋1）在点（1，0)处的切线方程为y－0＝eq\f(1,2）(x－1）,即x－2y－1＝0.利用导数公式求曲线的切线方程【例3】求过曲线y＝sinx上点Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，6)，\f（1,2)))且与过这点的切线垂直的直线方程．［解]∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲线在点Peq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，6)，\f(1,2)））处的切线斜率是：y′｜eq\s\do6（x＝eq\f（π，6))＝coseq\f（π,6)＝eq\f（\r(3)，2）。∴过点P且与过这点的切线垂直的直线的斜率为－eq\f(2，\r（3)），故所求的直线方程为y－eq\f（1，2）＝－eq\f(2，\r(3))eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f（\r（3),2)－eq\f（π,3）＝0。导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．［跟进训练]2．曲线y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．eq\f(1，2)e2[∵y′＝(ex)′＝ex,∴k＝e2，∴曲线在点(2,e2）处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2。当x＝0时，y＝－e2,当y＝0时,x＝1。∴切线与坐标轴所围成三角形的面积为：S＝eq\f(1，2)×1×｜－e2|＝eq\f(1,2)e2。]1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导，如求y＝1－2sin2eq\f（x，2)的导数,因为y＝1－2sin2eq\f（x,2）＝cosx,所以y′＝(cosx）′＝－sinx。3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．1．给出下列命题:①y＝ln2，则y′＝eq\f（1，2)；②y＝eq\f（1，x2），则y′｜x＝3＝－eq\f(2,27）；③y＝2x，则y′＝2xln2;④y＝log2x，则y′＝eq\f（1,xln2)。其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4C[对于①，y′＝0,故①错；对于②，∵y′＝－eq\f（2，x3)，∴y′｜x＝3＝－eq\f（2，27）,故②正确;显然③，④正确，故选C.]2．已知f(x)＝xα（α∈Q＊)，若f′（1）＝eq\f(1,4)，则α等于(）A.eq\f（1,3）B．eq\f(1，2)C．eq\f（1，8）D．eq\f（1，4)D[∵f（x）＝xα，∴f′(x）＝αxα－1，∴f′（1）＝α＝eq\f(1，4)。］3．设y＝－2exsinx,则y′等于()A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex（sinx＋cosx)D［∵y＝－2exsinx，∴y′＝－2exsinx－2excosx＝－2ex（sinx＋cosx)．］4．曲线y＝eq\f（9,x)在点M（3,3）处的切线方程是________．x＋y－6＝0[∵y′＝－eq\f（9，x2)，∴y′|x＝3＝－1,∴过点(3，3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3）,即x＋y－6＝0。］5．求下列函数的导数：(1）y＝eq\r（5,x3)；(2)y＝log2x2－log2x；(3）y＝eq\f(cosx,\r（x)）;（4）y＝－2sineq\f（x,2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－2cos2\f（x,4))）。[解］（1)y′＝(eq\r（5，x3))′＝(xeq\s\up12(\f(3，5）)）′＝eq\f(3,5)xeq\s\up12(eq\f（3,5)－1）＝eq\f(3,5)xeq\s\up12（－eq\f(2,5)）＝eq\f(3,5\r(5，x2)）。(2）∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝（log2x）′＝eq\f(1，xln2)。（3）法一：y′＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，\r(x))·cosx))eq\s\up12(′)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r（x））)）eq\s\up12（′)cosx＋eq\f（1,\r（x））（cosx)′＝(xeq\s\up12(－\f（1,2））)′cosx－eq\f（1，\r（x)）sinx＝－eq\f(1,2）xeq\s\up12(－eq\f（3,2))cosx－eq\f(1，\r(x))sinx＝－eq\f（cosx,2\r（x3）)－eq\f(1，\r（x）)sinx＝－eq\f(cosx,2x\r(x）)－eq\f(1，\r(x))sinx＝－eq\f（cosx＋2xsinx,2x\r(x)).法二：y′＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(cosx,\r(x))))eq\s\up12（′)＝eq\f（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(cosx))′\r（x)－cosx\r(x)′，\r(x）2)＝eq\f（－sinx·\r(x)－cosx·\f(1，2）·xeq\s\up12(－\f（1,2)）,x)＝－eq\f（\r（x）sinx＋\f（cosx，2\r（x)），x)＝－eq\f(cosx