第一章空间直角坐标,平面和直线

第三章二次曲面Rxyz12x+4y-6z+24=0球心O到平面a:2x+y+z+1=0的距离d==6球心O到平面的距离d==CzO00000O1(-,-,-,-2DrrrrR2-(R0d)D1)过点(1，-1，1)，(1，2，-1)，(2，3，0)和坐标原点；(733222)过点(1，2，5)，与三个坐标平面相切；yz4．求半径为、对称轴为x==的圆柱面的方程。23解：法一：设点(x,y,z)为圆柱面上任意一点，则该点到对称轴的距离为：d=1(3y-2z)2+(z-3x)2+(2x-y)23yz法二：∵对称轴方程为x==23∴对称轴过原点(0，0，0)设M(x,y,z)为圆柱面上任意一点，再在对称轴上取一点M(x,y,z)0000使得MM」对称轴，由题意有：00000000000yzM在对称轴上x=0=0=t0023求这个圆柱面的方程。解：法一：圆柱面的对称轴：x==点M到对称轴的距离为：d=3设点(x,y,z)为圆柱面上的任意一点，则：=33即M(1，-2，1)到l的距离：d=，l过点A(0，1，-3)3设点P(x,y,z)为圆柱面上的任意一点，则：M(x,y,z)为对称轴上一点，使得：0000400PM在同一纬圆上，且M为该纬圆的圆心，依题意有：00z00090000000y1z+3M在l上x=0=0=t0022几6．求顶点为(1，2，3)，轴与平面2x+2y-z+1=0垂直、母线和轴夹角为的圆柱面的方程。6xyz因轴与平面2x+2y-z+1=0垂直，则轴的方向数为(2，2，-1)，即轴221的方向余弦为(,,)，直线l的方向余弦为333y2z7．求顶点为(1，2，4)，轴与平面2x+2y+z=0垂直且经过点(3，2，1)的圆锥面的MPrMPr51111111111111)过点(1，5，2)的切平面的方程；2)以(2，6，10)为顶点的切锥面的方程。设点M(x,y,z)为切锥面上的点，则：=解：法一：由题知圆柱面的轴线的方向数为(1，1，1)，1111111111111113123||123123123||||(y2=2z1)准线为：〈母线平行于X轴；lx0解：母线的方向数为(1，0，0)xyzMPx-4yz+311t1t1x-4yz+311t1t1t2)准线为：〈母线平行于向量(1，-1，1)。P1-11z=0t11．求顶点(4，0，-3)准线为〈259的锥面的方程。xyzx4yz+3xyzx4yz+311代入*得：〈259tx-1y+1z-1z-1xyz-11)===绕==旋转；1-1-121-12xyz-1xy+1z-1一点，M(x,y,z)为旋转面上任意一点，使M0，M在同一纬圆上，则：0000800000112112xyz1xyz1211112xyz1xyz1AMx0,y0,z0)为2=1=1上一点，P(x,y,z)为旋转面上任意一点，且M0，P在同一纬圆上，则：00000000xyz1xyz10000)x)x1==绕z轴旋转；33M(x,y,z)为旋转面上一点，且M，M0在同一纬圆上，有：0000M为直线上一点x1=0=0=003333212M(x,y,z)为旋转面上一点，且M0，M在同一纬圆上，则有：0000yzyzM在x1==上x1=0=0=yzyz0330330009((x-R)2+z2=r2|y0=0M(x,y,z)为旋转面上的一点，且M，M0在同一纬圆上，则有：(z=x2|x+y02=1zzxyxyz2=6;xy1)到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；内一点，则设PA=k(k为常数)(k00)PB(x+a)2+y2+z2a(1+k)22ak当k≠1时，轨迹为以点(,0,0)为球心，为半径的球面。k1k22)到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；∵PA+PB=k(k00)∴(xa)2+y2+z2+(x+a)2+y2+z2=k(k00)3)到两定点距离之差等于常数的点的轨迹；∵PA+PB=k∴(xa)2+y2+z2(x+a)2+y2+z2=k4)到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹；(x,y,z)为任意一点，由已知可得：x2+y2+z2=K，即：(A2+B2+C2)(x2+y2+z2)=k2(Ax+By+Cz+D)2Ax+By+Cz+DA2+B2+C25)求与二给定直线等距离的点轨迹的方程，已知二直线之间的距离为a，夹角为a(取aalllzAlzB2)，l1,l2,与x轴r2222(x22222222nana222215．已知椭球面的轴与坐标轴重合，且通过椭圆z01xyM1916x2y2z2解：由题可设椭球面的方程为：x2y2z2916c2MM1c236x2y2z2x2y2z236221求这个椭圆抛物面的方程。解：由题可设椭圆抛物面的方程为：z=x2+y2，则：a2b2zxy23x_入2yz_入17．求直线族==所成的曲面。1_10ly=z,ly=_z_345ly=z,ly=_z_345山分别将(3)代入(1)得：入=1_t，代入(2)得：山=3t_1于是得线来：3t_1t_1(|x2+y2z2=14(|y2z2=3在XOZ平面上的投影：〈(z63z45z2+8y21=0解：在YOZ平面上的投影：〈(2xz2+1=0在XOZ平面上的投影：〈(x3+y22x1=0在XOY平面上的投影：〈(3y2z212=0