第一章量子论基础

第三章矩阵力学基础(І)――力学量和算符一、概念与名词解释希尔伯特空间希尔伯特空间中矢量的内积转置算符、复共轭算符、厄米共轭算符、厄米算符、幺正算符不确定性定理维里定理二、计算计算对易关系ˆ,]，其中μ、ν=x,y,z.设λ是一个小量，求算符(ˆˆ)1按λ.求在x表象中的算符ˆp

.以及在p

表象中的算符ˆ. x .5. 一维运动的粒子处在(x)Axex (x0)(0),求<(Δx)2>，<(Δp)2>.粒子处在Y 态，求：lm

(x0)(1)L和L的平均值<L>，<L>；x y x y(2)<(ΔL)2>，<(ΔL)2>.x y线谐振子处于基态/.中/.

exp(-12x2<(Δx)2><(Δp) 2设体系处于φ=CY+CY 态，且|C

|2=1，求：1 11 2 10 1 2力学量ˆz的可能值和平均值；力学量ˆ2的本征值；力学量L和L的可能值.x y设体系处在某一状态，在该状态中测量力学量6ħ2，Lħ，求测量LL.z x y设体系的哈密顿算符为ˆˆ2ˆ2)/2Iˆ2/2I,.x y 1 z 2求在ˆ的本征态中，对易子ˆ,ˆ].ˆ.在t=0时氢原子的波函数为(r,0)2100

210

2211

]21-1求体系能量的平均值；求在t时刻体系处在l=1,m=1态的概率；求在t=0时，电子处在d=10-10cm范围内的概率；假定做一次测量后发现=x函数.[x-x][x-x]2四、证明若算符ˆˆ满足ˆˆˆˆ1，求证：(1) ˆˆ2ˆ2ˆ2ˆ, ˆˆ3ˆ3ˆˆ2(2)用数学归纳法证明：ˆˆnˆnˆnˆn1

10-10m,求激发该若算符ˆˆ满足对易关系式[ˆ,[ˆ,ˆ]]0，求证：expˆ)ˆexpˆ)ˆ[ˆ,ˆ].若算符eˆ满足e

1ˆˆ2/()ˆn/(明：eˆe

ˆ[ˆ,ˆ][ˆ,[ˆ,ˆ]]/()[ˆ,[ˆ,[ˆ,ˆ]]]/)设[x,p]=iћ，f(x)是x的可微函数，证明：(1)[x,p2f(x)]2ipf; (2)[x,pf(x)p]i(fppf);(3)[x,f(x)p2]2ifp; (4)[p,p2f(x)]-ip2f';(5)[p,pf(x)p]-ipf'p; (6)[p,fp2]-if'p2.证明：ˆrr

ir; ˆˆˆˆiˆ;ˆ2xˆ

i[(rˆ) (ˆr)];x xˆ2px

pˆx

i[(ˆˆ)x

(ˆˆ)].xˆF是另一力学量，证明：[ˆ,]i(rFF).r p设f(r)是只与空间坐标有关的力学量，证明：[f,[2,f]]f)2证明算符ˆ

A (ˆnxmxmˆn)/,(A

为实数)是厄米算符.n,m0

n,m

n,m9.定义算符ˆ(ˆˆ)/;ˆ(ˆˆ)/,式中算符ˆ是幺正算符.证明ˆˆ皆为厄米算符，并且满足ˆ2ˆ2; [ˆ,ˆ].证明：n在任意一维归一化的实束缚态φ(x上，xˆ/2；nˆEφ(x)n n (E E)x n k nkn

2/2.ˆ的本征解为En

和(r)，对任意的线性厄米算符nˆ，证明下式成立：

d*(r[ˆ,ˆ(r)0n n证明在ˆ<L>=<L>=0.进而证明角动量沿任意方向z x y的分量ˆ 的平均值n任意方向单位矢量.

ħcos，其中θ为与z轴的夹角，为.若算符ˆ与哈密顿算符ˆ皆不显含时间，试证-2

d2dt2

A[[ˆ,ˆ],ˆ]

x2

1(xˆ

x)dt x x若算符ˆˆ为守恒量，证明他们的对易子ˆ,ˆ].粒子处于宽度为a的一维非对称无限深方势阱中，在其第n征态下，证明(x-x)2a2(16/n22)/12五、综合题m.在t=0时的归一化波函数是高斯波包，满足(x,0,x2

) 1

1 x2 exp- (2x2)1/4 4x2(1)求(p)21/2 p2-p2；证明在t>0时，粒子的概率密度满足t)2(x,0,x2(p2)t2/m2)2(1)和(2).考虑一质量为m的粒子在一维势场U(x)=U(x/a)2n中运动，其中n0是正整数，U>0，定性讨论能量本征值的分布和相应的本征函数0的宇称.用不确定性原理估计基态能量的数量级，并讨论n=1n→∞两种特殊情况.在t=0时，处在谐振子势U=kx2/2中的一粒子的波函数是

cosH(x)sinH(x)/220 22其中β和A是实常数，2 mk/2,且厄米多项式归一化条件是e-2x2[H-

(x)]dx 2nn!/22φ(x,t)；2φ(x,t)态中测量粒子的能量的可能值和相对概率；求t=0<x>，并问<x>是否随时间t变化？考虑一维对称势阱中的粒子，熟知，在这种情形下至少有一个能级.现在在给定势阱深度Ua0等式a2<<ħ2/mU0

，初看起来，束缚在势阱中的粒子的空间位置将越来越精确(Δx~a)，然而在任何情况下，动量的不确定度Δp应限制在数量级

内，于是有不等式 mUa ，这个结果mU00mU0显然和不确定性原理矛盾.试指出上述论证中的错误，并求出粒子坐标和动量不确定度的乘积.φ=k(x+y+2z)e-αr，式中r

x2y2x2y2z2实常数，求：粒子的角动量是多少？角动量z分量的平均值；若角动量的z分量L被测量，问测得L=+ħ的概率是多少？z z发现粒子在θ,φ方向上dΩ.六、思考题?量子力学的算符概念和ˆ，ˆ，

首先是谁引进的？t?????????????[]??算符本征值在宏观实验测量中有无实验意义?如果没有,?????? ????????,并说明原因。测不准关系与测不准原因区别在哪里？为什么测不准关系式中的两个力学量都是平均值？两个力学量的本征值都是量子化取值，是否存在测不准关系？一个能量有确定值的状态，还存在测不准关系么？推导