两个基本原理

两个基本原理第一页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理问题

1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:从甲地到乙地有3类方法,

第一类方法,乘火车，有4种方法;

第二类方法,乘汽车，有2种方法;

第三类方法,乘轮船,有3种方法;

所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。第二页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理2.

如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南

分析:从A村经B村去C村有2步,

第一步,由A村去B村有3种方法,

第二步,由B村去C村有2种方法,

所以从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的方法。第三页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理加法原理做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有

N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

乘法原理做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有

N=m1×m2×…×mn种不同的方法。第四页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理㈢

例题

1.某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。

(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？

(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,

第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有m1=5种不同的方法;

第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有m2=4种不同的方法;

所以,根据加法原理,得到不同选法种数共有N=5+4=9种。第五页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理㈢

例题

1.某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。

(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？

(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？分析:(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,

第一步,选一名男三好学生,有m1=

5种方法;

第二步,选一名女三好学生,有m2=4种方法;

所以,根据乘法原理,得到不同选法种数共有N=5×4=20种。点评:

解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。第六页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是

1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个.

则根据加法原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是

8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.

则根据加法原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个)第七页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理3.一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？

分析:按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位,需分为三步完成;

第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m2=10.

根据乘法原理,共可以设置N=10×10×10=103

种三位数的密码。

答:首位数字不为0的密码数是N=9×10×10=9×102

种,

首位数字是0的密码数是N=1×10×10=102

种。由此可以看出,

首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。第八页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理3.一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？问:若设置四位、五位、六位、…、十位等密码,密码数分别有多少种？答:它们的密码种数依次是104,105,106,……种。第九页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理

点评:

加法原理中的“分类”要全面,不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法,即它们两两的交为空集,n类的并为全集。

乘法原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。

在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。第十页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理㈣

课堂练习

1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？第十一页，共四十七页，2022年，8月28日第十二页，共四十七页，2022年，8月28日第十三页，共四十七页，2022年，8月28日第十四页，共四十七页，2022年，8月28日第十五页，共四十七页，2022年，8月28日第十六页，共四十七页，2022年，8月28日第十七页，共四十七页，2022年，8月28日第十八页，共四十七页，2022年，8月28日第十九页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理㈣

课堂练习

1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,

第一步,m1=3种,

第二步,m2=2种,

第三步,m3=1种,

第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。第二十页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理㈣

课堂练习

1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？问:若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢？

答:它们的涂色方案种数分别是0,4×3×2×2=48,5×4×3×3=180种等。第二十一页，共四十七页，2022年，8月28日2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB第二十二页，共四十七页，2022年，8月28日第二十三页，共四十七页，2022年，8月28日第二十四页，共四十七页，2022年，8月28日第二十五页，共四十七页，2022年，8月28日第二十六页，共四十七页，2022年，8月28日第二十七页，共四十七页，2022年，8月28日第二十八页，共四十七页，2022年，8月28日第二十九页，共四十七页，2022年，8月28日第三十页，共四十七页，2022年，8月28日第三十一页，共四十七页，2022年，8月28日第三十二页，共四十七页，2022年，8月28日第三十三页，共四十七页，2022年，8月28日第三十四页，共四十七页，2022年，8月28日第三十五页，共四十七页，2022年，8月28日第三十六页，共四十七页，2022年，8月28日第三十七页，共四十七页，2022年，8月28日第三十八页，共四十七页，2022年，8月28日第三十九页，共四十七页，2022年，8月28日第四十页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理解:从总体上看由A到B的通电线路可分三类,

第一类,m1=3条第二类,m2=1条第三类,m3=2×2=4条所以,根据加法原理,从A到B共有

N=3+1+4=8条不同的线路可通电。

当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。第四十一页，共四十七页，2022年，8月28日………...ABABm1m1m2m2mnmn点评:

我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法原理看成“串联电路”。如图:第四十二页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理3.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？第四十三页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理

解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,

第一类,m1=1×2=2条第二类,m2=1×2=2条第三类,m3=1×2=2条所以,根据加法原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有N=2+2+2=6条。第四十四页，共四十七页，2022年，8月28日加法原理和乘法原理4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地

解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,

第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以m1=2×3=6种不同的走法;

第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以m2=4×2=8