清华高水平艺术团文化课真题

清华大学2021年语言类保送暨高水平艺术团数学试题解答Penny选择题:本大题共7小题•每小题5分.共35分,在每小题的四个选项中•只有一项符合题意.TOC\o"1-5"\h\z已知复数z=l+i,设Z是z的共牠复数、则|甜|等于（）A.1B.2C.3D.4答案.A.已知集合月=&口2一a＜（）｝.〃=&|詔＜（）｝,且4r）B=（l,3）,则实数d等于（）A.3B.4C.9D.16答案.C.已知正移数数列｛伽｝满足％"+尙=2比“€1\+、则。2等于（）A.2或3B.2C.1或2D.3答案.B.简析•依题总■有如］+血=2.则=Qi=1.假设«2=P＞3.则aa2+U2=ap+p=4.故p=3,=1・则aa3+=«i+期=2黑6,矛盾！当=1时，则叫+住2=如+=2*4：矛盾！从而（1Q—2・故选项B止确.己知椭圆益+卷=1的两个焦点分别为用，F2!P为椭圆上一点,ZF,PF2的平分线与h轴交于点Q（*,0）j作QH丄PFX交PFj于点H.则\PH\等于（）A.3B.4C.5D.6答案.A.简析•设\PFi\=m,|P/2|=n.则故厶PFxF2是直角三角形=90°.从而\PH\=\PF2\=3.故选项A正确.TOC\o"1-5"\h\z5・已知非负实数a,满足a+b=l则a262+制+沪）的最大值为（）A4913243c里D729c・165256j_1£5256答案・C・简析•由AM-GM不等比得鸟=a+bn2皿・又a』是非负实数•则0~bS磊・设f=«h€[O,磊],则上式当a=0,6=1时取等号.故选项C止确.6・己知曲数/仗）=血3』+彭在区间（0.却上恰有一个极大值点与一个极小值点，则止实数2的取值范围足（）A.（5,-y）B-（I，y]C.（|,y）D.（|,-y]答案・D・简析•由X€（0,号h得3®+f6（j,号+I）.依题意、有萼S呀+奇V警・解得3€（|,罟]・故选项D止确.7.任四面体D-ABC中•卫3=BC=CA=CD=2冈,E为BC的中点，AE丄DE.且DE=3•则四而体D-ABC外接球的半径为（）A.\/2B.s/3C.x/6D.迈答案・D・简析•依题意,有EC2+DE2=CD2.则DE丄BC.又HE丄DE.AEQBC=E・则DE丄平而ABC.如图，设四面体D-ABC的外接球球心为点O.球心（）在平而BCD与平而A80上的射影分别为M・N两点.注意到ZVIBC,“BCD均为止三角形•则ON=ME=1,AN=2.即四面体D-ABC的外接球半径AO=VON2+AN2=辰故选项D正确.填空题:本大题共3小题•每小题5分•共15分.&(x+|-I)5•(x2+1)展开式中的常数项为答案-81・简析•仅需考虑P=仗+£-1户展开式中©7项的系数与常数项.一方面,P的常数项为(一1户+CJCV(-1)3+c|•碍(-1)=-51.另一方面,P的x-2项的系数为Cf・(-1)3+C；・C?•(一1)=-30.从而原式展开式中常数项为(-51)+(-30)=-81.已知/(x)是定义在上的偶函数，且/(2)=4咼工〉0时，有xff(x)+2/(对>0：则/(X)>捋的解集为答案.(一8,-2)U(2,+oo).简析•设=x2J(x)・当e>0时，有gf(x)=x2f｛x)+2xf(x)>0.即函数g(对在(0.+oc)上小调递増.当①>0时，有]6/(①)>尹O9(龙)>g⑵O①>2・又注意到/(龙)是偶函数.则原不等式的解集为(-co,-2)U(2,+oc).在平面直角坐标系xOy^.设4(1,0)/(3,4),向量况’刃+^前，其中a+y=4,动点P满足丙・戸3=o侧|死|的报小值为答案•懐简析•依题总•得0^=©・(1,0)+y・(3,4)=(2妙+4,4“)・则点C在直线7:2力一1!/一8=0上运动・设线段A3的中点为Q.则点P在以02,2)为圆心，声为半径的例周上运动.又点Q到宜线/的距离〃=磊.则I灵Imin*-辰咻.解答題:本大題共4小题•前三个小题每题12分•最后一个小题14分，共50分.已知｛“｝是公差不等于0的等差数列.且加是仏处的等比中项,记数列｛%｝前卅项和为SJs7=14・求数列｛術｝的通项公式.设数列｛bn｝满足bn=石鬻莎，n>2,且析=一1,求数列｛叽｝的前n项和Tn.简析・(1)设数列｛an｝的公湼为"9丰0).贝IJ(12=如+乩=(it+；M・(ig=心+7"・又的是仏削的等比中项，且»=14,则TOC\o"1-5"\h\z[(如+34)2=(如+rf)(^i+Id)1\=>©=〃=夕IS7=7ax+21d=142从而an=eq+(n-1)(1=号.⑵当n>2时，有即_7i+l_2n_(n_1)_11肓丄•号・2八一(n-1>•211-1一(r?-1加・2八-】一(几一1)・2”-2一几・2"-1则当心2时，有兀=T+Z兀=T+Zk=211(k-1)・2—2~k・22\nn又注意到町=-1,上式也成立.在三棱台ABC一DEF中一43丄AC,AB=2DE=2,AC=2\/2?GF=2,UCF丄平面ABC,设P,QJ分别为棱AC.FC、BC的中点.证明：平而BCD丄平而PQK.求二而角E-BD-C的止弦值.证明.⑴如亂连接DP.则四边形DPCF是矩形.又tanZCDP=tanZ.CPQ=经则ZCDF=乙CPQ.从而CD丄PQ・由CF丄平而ABC.且PRc平而ABC.得CF丄PR.由上〃丄XC.且刃?为厶ABC的中位线•得P/?丄AC.又ACCiCF=a则PR丄平而ADCF.注总到PQC平面ADCF.则PB丄PQ.又PQDPR=只则CQ丄平面PQR.从而平面BCD丄平而PQR.

⑵以P为原点，刃为⑦轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz.则B(y/2,2,0),C(-血0,0),P(0,0,2),E(0,1,2).故丽='-也-2,2),Di=(0?1,0).=(一2血,-2.())・设m=(ab.c)是平面BDE的法向量•则a=\/2c6=0m=-a-2b+a=\/2c6=0m=6=()取a=&=0,c=1,即m=(\/2,0,1).设n=(p,q.r)是平面I3DC的法向量，则BD・n=—\/2p—2g十2厂=0B(^・n=—2\/2^—2q=0取p=l、q=一血r=一乎.叩n=(1,S一#)・设二面角E—BD—C的平面角为仇则(m-n)2_5_1|tuF・冋2~37T~21*故sin0=\/1-cos?&=室护.从而二面角E—BD—C的正弦值为瞬.已知抛物线C:y2=2px{p>0)的焦点为准线与k轴交于£>点，过点F的宜线与拋物线C交于人3两点,且\FA\-\FB\=\FA\+|FB|.求抛物线C的方程.设P.Q是抛物线C上的不同两点，且尸F丄乞轴•直线PQ与"轴交于G点:再在工轴上截取线段|GE|=|GD|,且点G介于点E与点。之间■连接PE过点Q作宜线FE的平行线人证明:/为抛物线C的切线.简析.(1)设直线AB的方程为/':x=my+1・联立直线V与抛物线C的方程，得=>/一2pmy一=>/一2pmy一“2=0.故中2=議篦=峰辽=<注总到\FA\=龙]+£|FB|=叼+£,则]=]I=釘+⑦2+p=2=9|八4|十|F3|―利+号十创+号—打（叼+切+聲_P「即抛物线C的方程为y2=Ax・(2)如图•不妨设点P在第一象限，点0(也，如)在第四象限.当//<0时，有y2=4x=>y=一2苗.则M=-©7=2.即抛物线C在点Q处的切线斜率为k=寻・M3注恿到PF丄忑轴，则尸(1,2).设G(g,0),由P,G、Q三点共线，得总=好=壽.则坯=一豎・设丘(亦，0),由\GD\=得血=(1-如())・故直线PE的斜率足=匸石y=寻".从而/为拋物线C的切线.己知函数f(x)=宁+b在点(1,e—l)处的切线与直线/:；r+g=0垂直.设函数g(e)=rf(x)-戸,求函数久坊的单调区间.证明:护-2x\nx-x>1(In2=0.693,e=2.718).简析•⑴=竺严.依题鼠有/⑴=e-1,r⑴=1・解得a=1,6=0.则9(勿)=孑—1一迅©黑0・设h(x)=gf(x)=ex—2■则hf(x)=eT—2.当x>\n2时,有h\x)>0,如单调递增.当”V0,0GVln2时，有hf(x)<0,如草调递减.故函数・"@)在工=In2处取到唯一极小值.则y(x)>^(ln2)=2(l-ln2)>0.故g(rr)在区间(一oo.0),(()・+oo)上单调递增.(2)①首先证明>x+e-2(x>())・设F@)=容一©-。+2(上>()),则卩3=(工-片十1_]=(工-1)«7-1)注总到护>l+x(x>0),这是熟知的.当0v力v1时，有F(x)<0,F(x)单调递减.当21时，有F©)>0,F(x)单调递増.故函数F3)在x=l处取到唯一极小值.则F(<)>F(l)=0.②然后证明:z+e-2>21nx+l.设G(x)=工一2In