复变函数及积分变换期末试题附有

复变函数与积分变换期末试题

一．填空题（每题3分，共计15分）

1．1i3的幅角是（2,k0,1,2）；2.Ln(1i)的主值是2k313i3.f(z)12，f(5)(0)（0（ln2z），4．z0是241zsinz）极点；5．f(z)1，Res[f(z),]（-1z4的（一级）；z

二．选择题（每题3分，共15分）

1．剖析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)的导函数为（）；

（A）f(z)uxiuy；（B）f(z)uxiuy；

（）f(z)uxivy；（）f(z)uyivx.CD2．C是正向圆周z3，若是函数f(z)（），则( )d0．fzzC

（A）3；（B）3(z1)；（C）3(z1)2；（D）32.z2z2(z2)(z2)

3．若是级数cnzn在z2点收敛，则级数在n1

（A）z2点条件收敛；（B）z2i点绝对收敛；

（C）z1i点绝对收敛；（D）z12i点必然发散．

４．以下结论正确的选项是( )

（A）若是函数f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点必然剖析；

(B)若是f(z)在C所围成的地域内剖析，则f(z)dz0C

（C）若是f(z)dz0，则函数f(z)在C所围成的地域内必然剖析；C

D（）函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在地域内剖析的充分必要条件是

u(x,y)、v(x,y)在该地域内均为调停函数．

5．以下结论不正确的选项是（）．

(A)为sin1的可去奇点；(B)为的本性奇点；zsinz

(C)为1的孤立奇点;(D)为1的孤立奇点.sin1sinzz

三．按要求完成以下各题（每题10分，共40分）

（1）．设f( )x2axyby2(cx2dxyy2)是剖析函数，求zia,b,c,d.

解：因为f(z)剖析，由C-R条件

uvuv

xyyx

2xaydx2yax2by2cxdy,

a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,

给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算ez2dz其中C是正向圆周：1)C(zz

解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗张开计算，

仅给出用前者计算过程

因为函数f(z)ez在复平面内只有两个奇点z10,z21，分别以z1,z21)2z(z为圆心画互不订交互不包含的小圆c1,c2且位于c内ezez2ezdz(z1)zdzC(z1)2zdzC2(z1)2zC1

2i(ez)2iez2izz1(z1)2z0无论采用那种方法给出公式最少给一半分，其他酌情给分。

（3）．z153dz2)2(24)z3(1zz解：设f(z)在有限复平面内全部奇点均在：z3内，由留数定理

z15dz2iRes[f(z),]-----（5分）z3(1z2)2(2z4)32iRes[f(1)1----（8分）zz2]11(1)151zf(z)z2(11)2(2(1)4)3z2z2zf(1)1z(111)3有唯一的孤立奇点z0,zz2z2)2(2z4Res[f(1)1,0]limz0zf(1)1limz0(111)31zz2zz2z2)2(2z4z15dz2i--------（10分）z3(1z2)2(2z4)3

z(z21)(z2)33)2（4）函数f(z)3(z在扩大复平面上有什么种类的奇点，(sinz)若是有极点，请指出它的级.

解：

f(z)z(z21)(z2)3(z3)2的奇点为zk,k0,1,2,3,，(sinz)3（1）zk,k0,1,2,3,为（sin30的三级零点，z）

（）z0，z1,为f(z)的二级极点，z2是f(z)的可去奇点，23）z3为f(z)的一级极点，

（4）z2,3,4，为f(z)的三级极点；

5）为f(z)的非孤立奇点。

备注：给出全部奇点给5分，其他酌情给分。

1四、（本题14分）将函数f(z)在以下地域内张开成罗朗级数；2z(z1)

（1）0z11，（2）0z1，（3）1z

解：（1）当0z11

f(z)1112(z1)[]z(z1)(z11)

而[1][(1)n(z1)n](z11)n0

(1)nn(z1)n1

n0

f(z)(1)n1n(z1)n2-------6分n0

（2）当0z1

f(z)111znz2(z1)z2(1z)=z2n0

zn2-------10分

n0

（3）当1z

11f(z)1z2(z1)z3(1)z

f(z)1(1)n1------14分z3n0zn0zn3

每步可以酌情给分。

五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题：

y(x)5y(x)4y(x)ex

y(0)1y(0)1

解：对y(x)的Laplace变换记做L(s)，依据Laplace变换性质有

s2L

(s)

s1

5(sL(s)

1)

4L(s)

1

⋯（5分）

s1

整理得

L(s)111)(s1)(s4)s1(s1111⋯（7分）10(s1)6(s1)15(s4)s115110(s1)6(s1)15(s4)

y(x)1ex5ex1e4x⋯（10分）10615

六、（6分）求f(t)et(0)的傅立叶，并由此明：

costt22d2e0

解：F( )eittedt(0)--------3分

F( )0itetdteitetdt(0)e0

0e(i)tdt()e(i)tdt00

(i)t0e(i)te(0)ii0

1122(0)------4分F( )i2i

f(t)1eitF( )d(0)--------5分2

1it22d(0)e22

12(costisint)d(0)2

2costisint0)022d22d(

2costd(0)，-------6分f(t)220

costt22de02

复变函数与积分变换?期末试题简答及评分标准（B）

得分填空题（每题3分，共计15分）一．

1．1i的幅角是（2k,k01,2,）；2.Ln(1i)的24得分1ln2i）；3.f(z)12，f(7)(0)（0主值是（1z）；244．f(z)zsinz，Res[f(z),0]（0；5．f(z)1z3）z2，Res[f(z),]（0）；

二．选择题（每题3分，共计15分）

1．剖析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)的导函数为（）；

（A）f(z)uyivx；（B）f(z)uxiuy；

（C）f(z)uxivy；（D）f(z)uxiuy.

．是正向圆周z2，若是函数f(z)（），则( )d0．2CfzzC

（A）3；（B）3z；（C）3z；（D）3.z1z1(z1)2(z1)2

3．若是级数cnzn在z2i点收敛，则级数在

n1

（A）z2点条件收敛；（B）z2i点绝对收敛；

（C）z1i点绝对收敛；（D）z12i点必然发散．

４．以下结论正确的选项是( )

（A）若是函数f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点必然剖析；

(B)若是f(z)dz0,其中C复平面内正向封闭曲线,则f(z)在C所围成C的地域内必然剖析；

（C）函数f(z)在z0点剖析的充分必要条件是它在该点的邻域内必然可以展

开成为zz0的幂级数，而且张开式是唯一的；

（D）函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在地域内剖析的充分必要条件是u(x,y)、

v(x,y)在该地域内均为调停函数．

5．以下结论不正确的选项是（）．

（A）、lnz是复平面上的多值函数；(B)、cosz是无界函数；

(C)、sinz是复平面上的有界函数；（D）、ez是周期函数．

三．按要求完成以下各题（每题10分，共计40分）得分（1）求a,b,c,d使f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是剖析函数，

解：因为f(z)剖析，由C-R条件

uvuv

xyyx

2xaydx2yax2by2cxdy,

a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,

给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．1dz．其中C是正向圆周z2；Cz(z1)2

解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗张开计算，

仅给出用前者计算过程

因为函数f(z)1在复平面内只有两个奇点z10,z21，分别以z1,z21)2(zz为圆心画互不订交互不包含的小圆c1,c2且位于c内1121(z1)zC(z1)2zdzC1zdzC2(z1)2dz2i(1)2i10zz1(z1)2z0

1z3ez（3）．计算C(1z)dz，其中C是正向圆周z2；

解：设f(z)在有限复平面内全部奇点均在：z2内，由留数定理

f(z)dz2iRes[f(z),]2ic1-----（5分）z2

1z

11z3ezz2ez2111111)(1z)z(13!z3)(1z311z2!z2zz2z

(z2z111)(1111)2!3!z4!z2zz2z3

c1(1111)82!3!3

z2

（4）函数

f(z)dz82i3

(z21)(z2)3若是有极f(z)(sinz)3在扩大复平面上有什么种类的奇点，点，请指出它的级.

f(z)的奇点为zk,k0,1,2,3,，

3zk,k0,1,2,3,为（sinz）0的三级零点，

z1,为f(z)的二级极点，z2是f(z)的可去奇点，

z0,2,3,4，为f(z)的三级极点；

为f(z)的非孤立奇点。

给出全部奇点给5分。其他酌情给分。

得分四、（本题14分）将函数f(z)1在以下地域内张开成罗2(zz1)朗级数；

（1）0z11，（2）0z1，（3）1z

（1）0z11，（2）0z1，（3）1z

解：（1）当0z11

111f(z)[]z2(z1)(z1)(1(z1)

而[1][(z1)n]n(z1)n1(1(z1)n0n0

f(z)n(z1)n2--------6分n0

（2）当0z1

f(z)11(1)nznz2(z1)=z2n0

(1)zn2-----10分

n0

（3）当1z

11f(z)1z2(z1)z3(1)z

f(z)1(1)n(1)n1--------14分z3n0zn0zn3五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题

得分

y(x)2y(x)3y(x)exy(0)0,y(0)1

解：对y(x)的Laplace变换记做L(s)，依据Laplace变换性质有

s2L(s)

12sL(s)

3L(s)

1

⋯（5分）

s1

整理得

s2⋯（7分）L(s)1)(s4)(s1)(s

y(x)1ex3ex1e3x⋯（10分）488

六、（