材料力学简明教程(景荣春)课后答案第五章

材料力学简明教程（景荣春）课后答案第五章5-1最大弯曲正应力是否一定发生在弯矩值最大的横截面上?答不一定。最大弯曲正应力发生在弯矩与弯曲截面系数比值最大的横截面上。5-2矩形截面简支梁承受均布载荷q作用，若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的几倍？若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的几倍？答若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的4倍；若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的1/2倍。5-3由钢和木胶合而成的组合梁，处于纯弯状态，如图。设钢木之间胶合牢固不会错动，已知弹性模量EsEw,则该梁沿髙度方向正应力分布为图a，b,c,d中哪一种。思考题5-3图答（b）5-4受力相同的两根梁，截面分别如图，图a中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接），图b中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。从弯曲正应力角度考虑哪种截面形式更合理？思考题5-4图答（a）5-5从弯曲正应力强度考虑，对不同形状的截面，可以用比值理性和经济性。比值请从W来衡量截面形状的合AW较大，则截面的形状就较经济合理。图示3种截面的高度均为h，AW的角度考虑哪种截面形状更经济合理？A思考题5-5图答（c）5-6受力相同的梁，其横截面可能有图示4种形式。若各图中阴影部分面积相同，中空部分的面积也相同，则哪种截面形式更合理？思考题5-6图答（b）（从强度考虑，（b）,（c）差不多，从工艺考虑，（b）简单些）*FSSz5-7弯曲切应力公式T二的右段各项数值如何确定？Izb答FS为整个横截面上剪力；Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩；b为所求切应力所在位置横截面的宽度；Sz为横截面上距中性轴为y（所求切应力所在位置）的横线以下面积（或以上面积）对中性轴静矩的绝对值。5-8非对称的薄壁截面梁承受横向力作用时，怎样保证只产生弯曲而不发生扭转变形？答使梁承受的横向力过弯曲中心，并与形心主惯性轴平行。*习题5-1钢丝的弹性模量E=200GPa。比例极限op=200MPa，将钢丝绕在直径为2m的卷筒上如图，要求钢丝中的最大正应力不超过材料的比例极限，则钢丝的最大直径为多大？解由卷筒直径得钢丝曲率半径p=1mdEdyWopa=Es=E=E=PP2p2pop2x1x200xl06dW==2xlO3m=2mm9E200x10dmax=2mm5-2两根简支梁受力相同，横截面分别采用实心和空心圆截面如图。若已知两横截面面积相等，且d23=。试计算它们的最大正应力之比。D25解olmax二MmaxMmaxMmax，o===2max33W2W1nD1nD23232Mmax4d21D243d2nD2132D2o1max（a）=3o2maxnD1323由A1=A2,d2D2二得5nD12n22=D2d244*****D1=D2d2=D21D=5D22()D1=4D25代入式(a)得o1maxD12+d2217==o2maxD1+D2105-3某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷情况如图所示。试作该轴的弯矩图，并求轴内的最大正应力。(a)(b)解》MA=O,FB=7.64kNf》Fy=O,FA作弯矩图(b),危险截面分别为C,B,且MC=1344Nm,MB=900Nm()=3.36kN(f)*****2x1344==63.4MPa=WCnx603x10-9nD332MBMB32x900===62.0MPaoB=4WBnD31a445nx603x10-9160故轴内最大正应力位于上、下边缘，其值为63.4MPa。oC二5-4矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力偶作用，如图所示。求截面m-m和固定端截面n-n上A,B,C,D四点处的正应力。解对截面m-m及n-n,都给以坐标系如图所示。于是有yA二yD=0.150m；yB=0.100m,yC=0截面m-m及截面n-n的弯矩分别是Mm=20kNm；Mn=2015x3=25kNm横截面对轴z的惯性矩Iz=131bh=x0.180x0.3003=405x106m4121220x103x(0.150)6=omD==7.41x10N/m=7.41MPa6405x10y0.100=BomA=x(7.41)=4.94MPayA0.150=0MDyA(25x103)x(0.150)==Iz405x106各点的正应力分别是omAomBomConA=onD8888onB=9.26x106N/m3=9.26MPay0.100二BonA=x9.26二6.18MPa,onC=00.150yA5-5一外径为250mm，壁厚为10mm，长度l=12m的铸铁水管，两端搁在支座上，管中充满水，如图(a)所示。铸铁的密度p1=7.70xl03kg/m3，水的密度p2=1xl03kg/m3。求管内最大拉、压正应力的数值。(a)(b)解将实际受力水管简化成受均布载荷的简支梁，如图(b)所示。其中荷载集度q,为单位长度水管自重与单位长度水柱重量的和，即q=nn[D2(D25)2p1g+(D25)2p2g]44n223二[0.250(0.2502x0.010)]x7.70x9.8x104n+x(0.2502x0.010)2x9.8x103=0.976kN/m4均布荷载简支梁的危险截面在跨中，最大弯矩11Mmax=ql2=x0.976x122=17.6kNm水管的弯曲截面系数Wz=n30.234D254n]=x0.253x[1(]=4.35x104m3D[1(*****.25DMmax17.6x103===40.4MPa4Wz4.35x10最大拉压正应力omax5-6由两根28a号槽钢组成的简支梁受3个集中力作用，如图(a)所示。已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[o]=170MPa。求梁的许可载荷F。23(a)(b)解由已知结构载荷对称，得图(b)。33Fx2=3F，MC=Fx4Fx2=4F22Mmax=4FM4Fo=max二W[o]=170xl066W2x340.328x10FW28.9x103N=28.9kNMB=5-7一重量为P的均质钢条，长度为I,截面宽为b,厚为t,放置在刚性平面上如图。当在钢条一端用力F=P提起时，求钢条与刚性平面脱开的距离a及钢条内的最大正应力。312PPqa=0,F=,q=23IPa1P22即a=0,a=I32I312PP2(2)M(x)=Fxqx=xx232IPP2M'(x)=O，x=0，x=3I3解(1)》MC=O,FaPIIPI1PIM==***-*****IIMPI3==PIomax二Wbt236t225-8丄型截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。若材料的拉伸许用应力[ot]=40MPa，压缩许用应力[oc]=160MPa，截面对形心轴zC的惯性矩IzC=*****cm4，hl=9.64cm，求该梁的许可载荷F。(a)(b)解MA=0.8FoAc二lzC[oc]*****x108x160x106FW==132.6kN30.8h20.8x153.6x10MAh10.8Fh1oAt二二W[ot]IzCIzCIzC[ot]*****x108x40x106FW==52.8kN30.8h10.8x96.4x10Mh0.6Fh2oCt二C2二W[ot]IzCIzCIzC[ot]*****x108x40x106FW==44.3kN30.6h20.8x153.6x10比较以上结果得[F]=44.3kNMAh20.8Fh2二W[oc]IzCIzC5-9一铸铁梁如图a所示。已知材料的拉伸强度极限ob=150MPa,压缩强度极限obc=630MPa。求梁的安全因数。(a)(b)解弯矩图(b)。求横截面形心主惯性轴Oz的位置，以下底边为参考轴有b=160x200x100140x160x120=53.2mm160x200160x14011x160x20XX年+160x200x(10053.2)2x140x16031212横截面对轴z的惯性矩Iz=140x160x(8013.2)2=2.90x107mm4=2.90x105m4(1)求可能危险截面C所需的安全因数nC。截面C在正弯矩MC=12kNm作用下，上部受压，下部受拉，其中ycmaxytmax20053.2=2.7653.2obc630==4.202.76ob150oCtmax二MCytmaxIzW[ot]二(ob)tnC所以，截面C将由于拉应力先达到强度极限间破坏。因此强度条件是Iz(ob)t2.90x105x150x106==6.82nCWMCytmax12x103x0.0532(2)求可能危险截面B，所需的安全系数nB。截面B在负弯矩作用下，横截面上部受拉，下部受压，易知此截面因上部边缘最大拉应力先达到材料强度极限而破坏。因此，强度条件是oB,t,max二所以MByB,t,maxIzW[ot]二(ob)tnB(Ob)tlz150x106x2.90x105二nBW=3.7038x10x0.i47MByB,t,max比较nB和nC,得此梁的安全系数为nW3.70。5-10图(a)所示梁的截面由两个槽钢组成，跨度为l=3m，承受集中力偶M=7.5kNm,均布载荷q=5kN/m。若已知许用应力[o]=120MPa，试选择槽钢的型号。(a)(b)解》MA=0,FB=10kNt；》Fy=O,FA=5kNfFS二FAqx=O,x=1mMmax=M(1)=M+FAx1作弯矩图如图(b)所示。Mmaxomax二()()1qx12=7.5+52.5=10kNm2=10kNmMmaxW[o]2WMmax10x103633==41.67xl0mWM=41.67cm62^2x120x10若选10号槽钢，W10=39.7cm3Mmax10x103omax===125.9MPa2W102x39.7x106o[o]125.9120max=xl00%=4.9%5%120o误差在工程允许范围内，故可选10号槽钢。5-11图示结构中FB为圆杆，直径d=30mm，梁AE为T字形截面,尺寸如图，C为形心，截面惯性矩Iz=7.46x106m4。材料的许用拉应力[ot]=40MPa，许用压应力[oc]=60MPa。试校核该结构的强度。(a)(b)解》MB=0,FA=3kNt；》Fy=0,FB=11kNfMD二FAx1=3kNm，MB=4x1=4kNm作弯矩图(b)。截面D()()MD3x103x88x1033ot=x88x10==35.4MPa[ot]6Iz7.46x10截面BMB3x103x52x1033ot=x52xlO==27.9MPa[ot]lz7.46x106MB4x103x88x1033oc=x88x10==47.2MPa[oc]6Iz7.46x10结构强度满足。5-12一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F=5kN，a=1.5m[o]=10MPa。试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的髙宽比小直径d。h，以及梁所需木料的最b解由圆木锯成的矩形截面的弯曲截面系数121bbh=b(d2b2)=(d2b2)666dWzd2b2=0,有=0将Wz对b求导，并令db62d时，弯曲截面系数取得极大值。因此当，b=3Wz=截面的髙h二截面的髙宽比当b=1d2b2=d2d2=d33h=b6d/3=d/3d时，求得331b2132d(d2d2)=dWz,max=(db)=*****由题知梁AB的CD段处于纯弯曲状态，其Mmax=Fa由弯曲正应力的强度条件，有omax二Mmax27Fa二W[o]3Wz,maxddM9Fao=9x5x103x1.5o=0.227m=227mm由此可见，所需木材的最小直径为227mm。5-13当载荷F直接作用在跨长为l=6m的简支梁AB之中点时，梁内最大正应力超过许可值30%。为了消除过载现象，配置了如图所示的辅助梁CD,求辅助梁的最小跨长a。解未配辅助梁时，梁AB的危险截面在跨中点，其最大弯矩M1=梁上的最大正应力Fl4o1二M1Fl/4=WzWz当配置辅助梁后，由于结构与荷载对称，梁AB在C,D处分别承受集中荷载AB的CD段是处于纯弯曲状态，最大弯矩M2二对应的最大正应力F，梁2F1F(lu)=(la)224。2二据题意有。2二[o],及M2F(la)/4=WzWzo1o2x100%=30%o2将o1,o2的值代入，得Fl/4F(la)/4WzWz=0.3FlaWz整理得a=0.3l=0.231l=0.231x6=1.39m1.3因此，辅助梁应有的最小跨长为：1.39m。5-14图(a)所示No.30a工字梁承受均布载荷作用，跨度l=6m。已知许用应力[o]=140MPa。为提髙梁的承载能力，试确定外伸臂a的合理长度及相应的许可载荷。D12qa(a)ql28(b)解用叠加法作弯矩图(b)。根据题意应有MC=MA=MB将弯矩值代入上式得*****qlqa=qa822求得a=2I=x6=2.12m44梁的最大弯曲正应力表达式是其中omaxMAqa2==Wz2WzWz=402x106m3,omax=140MPa于是，得许可载荷集度2Wzomax2x402xlO6x140x106q===*****N/m=25kN/m22a2.125-15图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布载荷作用，其横截面尺寸为b,h,长度为I。试证明在离自由端为x处的横截面上切向内力元素TdA的合力等于该截面上的剪力，而法向内力元素odA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示，试问在截开面上的切应力f沿梁长度的变化规律如何？该面上总的水平剪力有多大？由什么力来平衡？解(1)假定切应力T沿横截面宽度均匀分布，所以整个横截面切应力t的合力沿对称轴y。矩形截面切应力沿高度分布为*FSSzFb3FS22t==S(h24y2)=(h4y)3bIzbIz82bh整个横截面的切应力构成的合力为jTdA=2bJAh20Tdyh20根据静力平衡有3FS(h24y2)dy=FS3A2bh我们知道x横截面上的剪力等于qx。所以TdA的合力等于该截面上剪力。My。整个截面的odA对中性轴的矩是正应力沿横截面髙度分布为o=lzMM2ydA=Iz=MJAoydA二JAIzIzqx=jTdA=2bJ根据静力平衡12qx二JAoydA二M2于是证得法向内力元素odA的合力偶之矩等于该截面的弯矩。(2)对此悬臂梁任意x截面的剪力FS(x)=qx。矩形截面的中性层处的横向剪应力3FS3qx=。2bh2bh根据切应力互等定律，得截开面上切应力T沿梁长度的变化规律为3qxT‘=T=2bhT二其总的水平剪力3qx3ql2bdx=/dx=FS,=/T,dA,=/T,A0O2h4h水平剪力FS'由根部横截面下半部的正应力o组成的x方向的合力来平衡。ll5-16一桥式起重机梁跨l=10.5m，横截面为36a工字钢。已知梁的许用应力[o]=140MPa，电葫芦自重12kN,当起吊重量为50kN时，梁的强度不够。为满足正应力强度要求，在梁中段的上、下各焊一快钢板，如图。求加固钢板的最小长度l0。(a)(b)解(1)不计梁重时，梁的受力如图(b)P=(12+50)kNFA=P(lx)，MC=FAx=Plxx2ll63查型钢表WC=875x10m()MCPlxx2oC二二二[o]WClWC10.5xx2=10.5x140x106x875x10662x103)=20.75x210.5x+20.75=0x1=2.59m，x2=7.91ml0=x2x1=5.22m(2)校核加固部分强度()lxx2=l[o]WCPlPl=62xl03xl0.5=162.75kNmMmax=M=24bh32+AaIz=lz1+2x12=1.58x104+2x(100x163x1012+100x16x1882x1012)=2.71x104m4Mmax162.75x103x(180+16)x103omax二ymax==118MPa[o]，安全。4Iz2.71x105-17简支梁由4块相同的木板胶合而成，尺寸如图。已知F=3kN,木材的许用正应力[o]=7MPa，胶合面的许用切应力[T]=3MPa。试校核该梁的强度。(a)(b)解》MA=0,FB二Mmax0.3F=1.8kN，FSmax=1.8kN0.5=MC=FBx0.2=0.36kNmMmax0.36x103x6omax===6.75MPa[o]29W50x80x103FSmax3x1.8x103==0.675MPa[T]Tmax=62A2x50x80x10故强度满足。5-18由4块木板粘接而成的箱型截面梁，其横截面尺寸如图a。若已知某截面上沿铅垂方向的剪力FS=3.56kN，求粘接接缝A，B两处的切应力。(a)(b)(c)解Iz=*SzA1(25+127)(25+229)3(12725)(22925)3=1.354x108mm4***-*****=(12.5)x25x=1.460x105mm322[]5Iz*53SzB=76x2