第5章 机器人的运动学

机器人学及其智能控制第五章机器人的运动学

机械工程理论为研究静态和动态环境下的操作臂提供了方法论；数学方法用于描述机械手空间运动及其特性；控制理论为实现期望运动或力提供了各种设计方法和评估算法；电气工程技术可用于传感器及工业机器人接口的设计；计算机技术提供了执行期望任务所需的编程平台。本次课内容提要基本概念相关知识回顾位置与姿态的表示坐标变换齐次坐标变换通用旋转变换

机器人操作的定义是指通过某种机构使零件和工具在空间运动。这就需要表达零件、工具以及机构本身的位置和姿态。相关知识回顾一、行列式和矩阵1.行列式按照行（或列）展开法则：行列式等于它的任意一行（或列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和。2.行矩阵3.列矩阵4.矩阵相等：两同型矩阵（行数和列数都相等）对应元素相等。5.单位矩阵：主对角线元素为1，其它所有的元素都为0的方阵。6.矩阵的运算（1）矩阵的加法：两同型矩阵的对应元素相加。（2）矩阵与数相乘：该数与矩阵各元素相乘。（3）矩阵与矩阵相乘（4）矩阵转置7.矩阵的逆（逆矩阵）8.正交矩阵：如果，则A为正交矩阵。它满足：如果是正交矩阵，则行列式和矩阵的区别：矩阵是按一定方式排成的数表；行列式是一个数。二、直角坐标系若基矢量相互正交，即它们在原点处两两相交成直角，则它们构成直角坐标系或笛卡儿坐标系。三、矢量的点积（内乘积或标量积）

其中θ是a和b两矢量间的夹角，如右图所示。换句话说：一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢量方向上单位矢量的点积。再令a=j（j为a方向上的单位矢量），则即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的余弦。四、矢量的叉积（矢量积或叉乘积）其中矢量c的模为:

其中θ是a和b间小于等于180°的夹角，若将a按右手法则绕c转θ角至b，右手拇指指向为c的正方向（如图），c与a、b两者垂直。

若a和b用分量的形式表示为:则：

操作臂通常是由一系列连杆通过关节顺次相连的开式链。关节决定两相邻连杆副之间的连接关系，也称运动副。运动副分两类：高副和低副。两连杆之间相对运动时，若是面接触，称为低副机构；若是线接触或点接触，则称为高副机构。五、运动副位置描述：位置矢量(positionvector)

直角坐标系{A},位置矢量Ap

矩阵表示我们用一个位置矢量来描述空间中点的位置。位置、姿态与坐标系的描述

pApAZAYAX姿态方位描述：利用固定于物体的坐标系描述姿态(pose)。姿态又称为方位(orientation)。在刚体B上设置直角坐标系{B}，利用与{B}

的坐标轴平行的三个单位矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成的3×3矩阵来表示B的姿态，我们称这个矩阵为旋转矩阵。

于是，点的位置可用一个矢量来表示，物体的姿态可用一个矩阵来表示。

一、平移坐标变换

当两个矢量所在的坐标系具有相同的姿态，可以用矢量相加的方法求点相对于另一坐标系的表示。坐标变换

在机器人学的许多问题中，需要用不同的参考坐标系表达同一个量。为了描述从一个坐标系到另一坐标系的变换，我们讨论映射的数学方法。

在坐标系{B}中的位置矢量Bp在坐标系{A}中的表示可由矢量相加获得。ApBpxAyAzAoA{A}zBxByBoB{B}ApB为{B}相对于{A}的平移矢量。坐标平移方程xAzA{A}oAyA

二、坐标旋转

已知矢量相对于某坐标系{B}的定义，若想求矢量相对另一个坐标系{A}的定义，且这两个坐标系的原点重合，如果{B}相对于{A}的姿态描述是已知的，那么计算可行。Bp坐标旋转方程oBxBzByB{B}

分别绕x，y，z轴的旋转变换(基本旋转变换)：任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到。（例2.1）

旋转矩阵的几何意义：

1)可表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标系{A}的姿态矩阵。

2)可作为坐标变换矩阵，它使得坐标系{B}中的点的坐标变换成{A}中点的坐标。

3)可作为算子，将{B}中的矢量或物体变换到{A}中。xByBzBoB{B}xAyAzAoA{A}

三、复合变换平移和旋转构成复合变换。（例2.2）ApApBzCxCyC{C}Bp

习题：已知坐标系{B}的初始位置与坐标系{A}重合，首先坐标系{B}沿坐标系{A}的x轴移动12个单位，并沿坐标系{A}的y轴移动6个单位，再绕坐标系{A}的z轴旋转30°，求平移变换矩阵和旋转变换矩。假设某点在坐标系{B}中的矢量为，求该点在坐标系{A}中的矢量。解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：

则：

齐次坐标和齐次变换(1)齐次坐标的定义将直角坐标系中任一点矢量用四维列向量来表示，w为比例因子，且令则称为三维空间点的齐次坐标。用齐次坐标表示从坐标到坐标的变换为简写成，此坐标变换称为齐次变换。

综合地表示了平移变换和旋转变换。齐次坐标的性质

Ⅰ.空间中的任一点都可用齐次坐标表示；

Ⅱ.空间中的任一点的直角坐标是单值的，但其对应的齐次坐标是多值的；

Ⅲ.k是比例坐标，它表示直角坐标值与对应的齐次坐标值之间的比例关系；

Ⅳ.若比例坐标k=1，则空间任一点(x,y,z)的齐次坐标为(x,y,z)

，以后用到齐次坐标时，一律默认k=1。

意义：左上角的3×3矩阵是两个坐标系之间的旋转变换矩阵，它描述了姿态关系；右上角的3×1矩阵是两个坐标系之间的平移变换矩阵，它描述了位置关系，所以齐次坐标变换矩阵又称为位姿矩阵。

(2)齐次坐标变换矩阵的意义若将齐次坐标变换矩阵分块，则有：用齐次变换的方法求解上一例题中的。由上题中求得的旋转矩阵和位置矢量，可以得到齐次变换矩阵再由齐次变换式得齐次变换矩阵的运算

根据齐次变换矩阵的物理含义：作为坐标变换、坐标系的描述和运动算子，还可定义齐次变换矩阵的运算。一、变换矩阵相乘对于给定的坐标系{A}，{B}和{C}，已知{B}相对于{A}的描述为，{C}相对{B}的描述为，则从而定义复合变换：

表示{C}相对{A}的描述，是两个变换矩阵的积。二、变换矩阵求逆如果知道坐标系{B}相对{A}的描述为。希望得到{A}相对{B}的描述。这是个齐次变换求逆问题。一种求解方法是直接对4×4的齐次变换矩阵求逆；另一种是利用齐次变换矩阵的特点，简化矩阵求逆运算。显然，对于给定的，求。等价于给定和，计算和。经推导，得变换方程

为了描述机器人的操作，必须建立机器人本身各连杆之间，机器人与周围环境之间的运动关系。为此要规定各种坐标系来描述机器人与环境的相对位姿关系。如图所示，{B}代表基座坐标系(基座框)，{W}代表腕框，{T}是工具框，{S}是工作站框，{G}是目标框，它们之间的位姿关系用相应的齐次变换来描述。

对物体进行操作时，工具框{T}相对目标框{G}的描述可用两种变换矩阵的乘积来表示：令上两式相等，得变换方程变换方程中的任一变换矩阵都可用其余的变换矩阵来表示。欧拉角与RPY角RPY角的设定是相对固定坐标系旋转的，欧拉角是相对于运动坐标系旋转的，都是以一定的顺序绕坐标主轴旋转三次得到方位的描述。总共有24种排列，其中12种为绕固定轴RPY设定法，12种为欧拉角设定法。因为RPY角与欧拉角对偶，实质上只有12种不同的旋转矩阵。一、绕固定轴x-y-z旋转(RPY角)

RPY角是描述船舶在海中航行时姿态的一种方法，这种描述坐标系{B}的方位的法则如下：{B}的初始方位与参考系{A}重合。首先将{B}绕转角，再绕转角，最后绕转角。

因为三次旋转都是相对于固定坐标系{A}而言的，按照从右向左的原则，得到相应的旋转矩阵：

RPY角反解：从给定的旋转矩阵求出等价的绕固定轴x-y-z的转角，和。令从上两式中可以得出：如果，则得到各个角的反正切表达式：二、z-y-x欧拉角

这种描述坐标系{B}的方位的法则如下：{B}的初始方位与参考系{A}重合。首先将{B}绕轴转角，再绕轴转角，最后绕轴转角。

由于所有的转动都是相对运动坐标系进行的，根据“从左向右”的原则，得到表达式：

这与绕固定轴x-y-z旋转的结果完全相同，因此，z-y-x欧拉角与RPY角是完全等价的。三、z-y-z欧拉角

这种描述坐标系{B}的方位的法则如下：{B}的初始方位与参考系{A}重合。首先将{B}绕轴转角，再绕轴转角，最后绕轴转角。

根据“从左向右”的原则，得到与之等价的旋转矩阵：旋转变换通式一、旋转变换通式令是过原点的单位矢量，求绕k旋转θ角的变换矩阵。

定义两坐标系{A’}和{B’}，分别与{A}和{B}固