近五年高考数学试题(理科)及解答全过程

2222011普通高等学招生全统一考试理科数(必修选I)222一选题复数

，为z的共轭复数，则

zz(A)(B)-i(C)i(D)函x(A)

y

x24

(B)

y

x24

(C)

y

(D)

yx

下面四条件中，使

成立的充分而不必要的条件是(A)(B)(C)a设S为等差数列和，若a(A)8(B)(C)(D)

(D)a，公差

332,

24

，则k=设函数

f

的图像向右平移

3

个单位长度后所的图像与原像重合，则的小等于(A)

(B)3(C)6(D)9已知直面角

AACl垂足

lD为足AB2,

，则D到面ABC的离等于(A)

2(B)(C)2

(D)某同学同样的画册2本同样的集邮册3，从中取出4本送给4为朋友，每位朋友1本则不同的赠送方法共有(A)(B)种(C)种(D)20种曲线y在直线和y围的三角形的面积为(A)

1(B)(C)(D)23设

f

是周期为的奇数，当

0x时f

(A)

111(B)(D)24210.已抛物线

24

的焦点为F，线

y

与C交A、B两点则

cosAFB(A)

434(B)(C)(D)5555已知平面截一球面得圆，过圆心且60二面角的平面截球面得圆N脱该球面的半径为4.圆M的面为4则的积为(A)(B)9

(C)

(D)

1312.设量

满足

aab

12

,a60

，则

的最大值对于(A)2(B)

(C)

(D)1二填题13.

中，的数与x9的数之差为

14.已

，

55

，则

15.已

F、F2

分别为双曲线

:

y2927

的左右点点

C

点M的标为

，AM为

1的角平分线，则

AF

16.已点分在正方体ABCDAC11与面所的二面角的正切值等于

的棱

、CC11

上

BE1

,

CF2FC1

,则面AEF三解题本题6小，70分。解答应出字明证过或算骤17.（小题满分10分ABC

的内角A、B、C的对边分别为

a,,c

。已知

90,a

，求C18.（小题满分12分根据以往统计资料某车主购甲种保险的概率为购乙种保但不购买甲种保险的概率为0.3设各车主购买保险相互独立。（Ⅰ）求该地1为主至少购买甲、乙两种保险中的种概率；（Ⅱ）表示该地的为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的望。19.（小题满分12分如图，四棱锥中

AB//CD,BC

,侧SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.（Ⅰ）证明：

SD面AB

;（Ⅱ）求与平面SBC成的角的大小。20.（小题满分12分设数列

n

11（Ⅰ）求

n

公式；

（Ⅱ）设

b

1an

，记

b

，证明：

。21.（小题满分12分已知为坐标原点为圆

:

2

y2

在y轴半轴上的焦点，过F斜率为2的直线l

与C交于A、B两，点P满

OAOBOP（Ⅰ）证明：点在上（Ⅱ）设点P关点O对称点为Q，证明：、、Q四在同一个圆上。

19219222.（小题满分12分（Ⅰ）设函数

f

x

，证明：当

x

时，

（Ⅱ）从编号到100的100张片中每随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取次，设抽到的20个码互不相同的概率为

，证明：

p2011年普通高等校招生全统一考试全国卷）数学试题考答案一选题．．B．C．B

．A．A

．．A

5C．11.D12.A二填题．0．

43

．

16

23三解题本题小题，70分．17.（小题满分10分解：由

，B

2

C故

Asin

，sinsinC故

由2bsinsin，CC2cos2，cosCsin22又显然

，故CC2

22

，再由

2Csin

，解得：

cos

624

，于是

1218.（小题满分12分解）设购买乙种保险的概率为故，

,因购买乙种保险但不购买甲保险的概率为0.3所以该地为主至少购买甲、乙两种保险中的种的概率为

（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率0.80.2所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为显然，X服二项分布，EX10020所以

X100

X的望为19.（小题满分12分（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，

AB//CD,BC

，易算得：

，又因为侧面SAB为边三角形，SD=1所以

SD

22AD2,22于是SA,

,

四棱锥1212222所以四棱锥1212222

SD平面AB（Ⅱ）设点A到面SBC的离为，因为

SD平面AB

，所以

,从而

,因而可以算得：

2

，又

SB

，故

又因为

CD//平面AB

,所以点C到面的离为

SD另外，显然

34

2

，所以

V四棱锥SBC

11d33得：

d

2217设与面所的角为，sin，即与面所的角为

arcsin

217

（显然

是锐角）20.（小题满分12分解）由

得：

数列差数列，首项为111故n，而n（Ⅱ）

nn11nnn所以

S

1n21.（小题满分12分（Ⅰ）证明：易知：

yx

，代入椭圆方程得：

x

2

x

，设

Ay122

，则

1

，

y1

，因为

OAOBOP0.

所以

12

2

x,所以点在C上

12，将此坐标代入椭圆：2

，（Ⅱ）由（Ⅰ

x2

及

ly2

，得

A

2636B44

，因为

p

22

2以Q,1于是可以算得：，6，k2，k22tan,tanAPB,PAQAQB33

191011091910192于是四边形APBQ对互，从而AP、B、Q四在同一个圆上。191011091910192（小题满分12分证明）x时，f1

2

x2

，于是

上单调增，所以

f（Ⅱ）100（有1919901919

192

对数相乘）由（Ⅰ

x

时，也有

f

x2

，故

上单调增，所以

1f10

即

1f10191910即

1

，两边同时取的数得：

12综上所述：一选题

p

e2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(1)复数

3i2i

(A)(B)

(C)12-13

i

(D)12+13

i(2)记

cos(,那么A.

21B.-kk

2

C.

kkD.-2

2(3)若变量,y满约束条件

y0,则zx

的最大值为(A)4(B)3(C)2(D)1（4）已知各项均为正数的等比{a}中，a=5n129

=10，则

aaa4

=(A)

52

(B)7(C)6(D)

2(5)

(1x)

)

的展开式中的数是(A)-4(B)-2(C)2(D)(6)某校开设选修课3门B类择课4门，位同学从中选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A)30种(B)35种(C)42(D)48种（7）正方体ABCD-

D1111

中，

B1

与平面

AC1

所成角的余弦值为

（A）

23（B）33

）

23

）

631（8）设alog2,=ln2,c,3（A）a<b<c（B）b<c<a（Cc<a<b（Dc<b<a(9)已知F、F为曲线C:12

x

2

2

的左、右焦点，点P在C上，∠

P=0，P到轴的距离为12(A)

36(B)22

(C)

3

(D)

6（10）知函数()=|lgx若0<a<b,且f(a)=(),a+2b取值范围是(A)

(22,

(B)

(C)

(D)

[3,（11）知圆的径为，PA、PB为该圆的两条切线，A为切点，那么2(B)(C)2(A)

PA•

的最小值为（12）知在半径为2的面上有A、C、D点，若AB=CD=2,则面体的积的最大值(A)

233(B)3

(C)

3

(D)

83第卷二填题本题4小，小题分，20．答填题横上(意在题上答效(13)不等式

2x

的解集是.(14)已知为第三象限的角，

cos

3,则5

.(15)直线

y

与曲线

x

有四个交点，则

a

的取值范围是.(16)已知是圆C的个焦点，B短轴的一个端点，线段BF的长线交于点D，且BF2FD，则的心为.三解题本题6小，70分．解答应出字明证过或算骤(17)(本题满分分已

ABC

的内角

A

，

B

及其对边

a

，

满足

a

，求内角．(18)(本题满分12分)投某杂志的稿件两位初审专家进行评审通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．求到该杂志的1篇稿被用的概率；(II)记X表示投到该杂志的4篇件中被录用的篇数，求的布列及期望．（19小满分12分）如图，四棱锥S-ABCD中，SD面ABCD，AB//DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为SB上的点，平面面SBC.

nn（Ⅰ）证明SE=2EB；（Ⅱ）求二面角的小(20)(本题满分12分)已知函数

f(x)

.（Ⅰ）若

xf'()

2

ax，取值范围；（Ⅱ）证明：

(f(x)

.（21）(本小题满分12分已知抛物线

C:

2

4x

的焦点为F过

(的线l与C相交于、两点A关x的对称点为D.（Ⅰ）证明：点F在线BD上（Ⅱ）设

FAFB

89

，求

的内切圆的方（22）(本小题满分12分已数列1n1（Ⅰ）设c,，数列的项公式；an（Ⅱ）求使不等式成的c的值范围.n

n

.

22x22x2008年普高等学招生全统一考理科数（修+选修）一选题．函数

y

x(x

的定义域为（）A

0

B

C．

D．

汽车经过启动加速行驶匀速行驶速行驶之后停车把这一过程中汽车的驶路程s看时间t的函数，其图像可能是（）ssO

tO

t

tO

tA

B

C．

D．．在

中，

，

．若点

D

满足

DC

，则

（）A

252bcB．cC．D．c333333．设R，且()i

为正实数，则a）A2B．0D．．已知等差数列4，3

，则它的前项和）10A

B

C．

D．．若函数

yfx

的图像与函数

ln

的图像关于直线对，则

f()

（）A

2x

Be．

2x

D．

2x．设曲线

y

xx

在点处切线与直线axy垂，则a）1A2B．C．2

D．

．为得到函数

23

的图像，只需将函数

ysin

的图像（）5πA向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位12125πC．左平移个长度单位D．向右平移个度单位66．设奇函数

f(x

在

(0

上为增函数，且

f

，则不等式

f(x)f()x

的解集为（）AC．

((

BD．

((．若直线

x通点(cosab

，则（）

≤≥≤≥A

a22≤1

B

a22≥1

C．

11D．aa11知三棱柱ABC的棱与底面边长都相等A1与底面ABC所角的正弦值等于（）212ABC．D．333

在底面

内的射影为

的中心

1．如图，一环形花坛分成

，，，

四块，现有种不同的花供选种，要求在每块里种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数（）AB．84C．D．48

AB

C第Ⅱ卷二填题本题小题，小分共分把案在中线上．若，满足约束条件

0z

的最大值为．

0x．已知抛物线

yax

2

的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．．在ABC中，B．

718

．若以B为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．边三角形与方形有公共边，面角AB

的余弦值为

，MN分是

AC

的中点，则

所成角的余弦值等于．三解题本题小题，70分．解应出字明证明程演步．小题满分分）设的角，，

所对的边长分别为

，，且acosA

35

c

．（Ⅰ）求（Ⅱ）求

tancotB)

的值；的最大值．小题满分分）四棱锥BCDE中底面为矩形，侧面面BCDE，2，CD

，

ABAC

．（Ⅰ）证明：

ADCE

；（Ⅱ）设

与平面

ABE

所成的角为

45

，求二面角

C

的大小．AB

EC

D小题满分分）已知函数

f()

，

a

．（Ⅰ）讨论函数

f(

的单调区间；

≥12≥12（Ⅱ）设函数

f(x

在区间

2133

内是减函数，求

a

的取值范围．小题满分分）已知5只动物有只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取只将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只的只然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外只中任取化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）示依方案乙所需化验数，求望．小题满分分）双曲线的中心为原点

O

点

轴上条渐近线分别为

l，l12

过焦点

垂直于

l1

的直线分别交

l，l1

2于

A，B

两点．已知

OA

成等差数列，且

BF

与

同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被曲线所截得的线段的长为，求双曲线的方程．小题满分分）设函数f(xln．列，（Ⅰ）证明：函数(x)在间是函数；

n

f()n

．（Ⅱ）证明：；nn（Ⅲ）设b(a，整数1

a1a1

．证明：

k

．C.

由

2008年普高等学招生全统一考理科数（修修Ⅰ参考答0;AA.由D.

1根据汽车加速行驶at2，速行驶，速行驶at结合函数图像可知；2ADABAD；33C.

由由

a4,aS9525110yx,ff

；

211114211114

由

1,y',y,2,x2

；8.A.

5sin3

只需将函数

ysin2

5的图像向左平移个12单位得到函数

cos23

的图像9.D．奇函数

f(x

可知

f(x)f()f(x)xx

，而

f

，则

f((1)

，当

x

时，f(x)f(1)

时，

f(x)f(

f(x)

在

(0

上为增函数奇函数

f(x)

在

(上为增函数，

0或

．由题意知直线

xab

与圆

x

2

y

2

有交点，则

111a2b

11≤1,a2b2

≥1

另解：设向量

m=

11sin=()，题意知aab由

≤n可1

cos1≤a2b2．题意知三棱锥

ABC1

为正四面体，设棱长为，则AB

，棱柱的高AOa1

2

2

a

2

26)a（点到面ABC的离与面ABC所角33的正弦值为

AO131

另解：设长度均为

AB,为间向量的一组基底，，面ABC的向为AA1

AB,13

的两两间的夹角为AB

600OA1

2a2AB3则

1

与底面

ABC

所成角的正弦值为

OA1AO1

分三类：种两种花有种种法；种三种花有A种种法；种四种花有A种种法.共有4A344另解：按

84.4D

顺序种花，可分

A、C

同色与不同色有

8413.答：9．如图，作出可行域，作出直线时，函数

lxy，l平至点A处00x有大值

xy

y

x14.答：2.由抛物线

yax

2

的焦点坐标为

x11(0,为坐标原点得，，y444xy与坐标轴的交点为(0,，以这三点围成的三角形的面积为

1A2315.答：设8

AB

，

713题25则2ABBC1895523AC，2a,2ce33a8

C116.答：设作面A，6OHAB，则，为面角D

的平面角

N

H

A

Mo

NoD题图（22210103,OHCHCHONoD题图（2221010

，结合等边三角形

ABC与正方形

可知此四棱锥为正四棱锥，则

AN311AN(ABEMAE,())2222故所成的余弦值

EM

C另解：以O为标原点，建立如图所示的直角坐标系，

M则点A(1,0),E(1,1,0),2),A11212H((,,)222223213则,,),EM,,),AN,2222

y故所成的余弦值

EM

17.解）

中，由正弦定理及

acoscos

35

c可得

sinAcosB

3333sinCA)A5555即

sinAB4cosA，A

；（Ⅱ）由

tan得AAtanB3tan33A)≤1AB1tan2BB4当且仅当

14tanBcotB,Btan2

时，等号成立，1故当tan2,tanB2．解）中

时，)F，接DF交

3的最大值为.4CE点O，

AABAC

，AFBC

，又面面BCDE，AFBCDE，CE．2tanFDC，2OED90，90，即CE面，．

F

GBEOD（2在面

ACD

内过

C

点作

AD

的垂线，垂足为

G

．18题CG

，

，

面

CEG

，EG

，则CGE为所求二面角的平面角．6，DG，DEAD3

，CGCECE，CGE10

，CGE

1010二角C的小π

．19.解

f(x)x32

求导：

fx2当≤3时，

≥

0，x)R上增当

a

2

3

，

f

求得两根为

x

a

a212212212212121a2225bb2a212212212212121a2225bb2即

222f(x)在，3

递减，2

递增233（2a33

，且

a

3

解得：

a

≥

74．）：设AA分表示依方案甲需化验1次、。1、B表依方案乙需化验2次、次；1A

表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A与独立，且A212A1C1P(A),P(A)4(C15A23C555311(A(AAB)()(A)(B)5525∴

()(A)

825

0.72（Ⅱ）的能取值为23C3C23P(B4()；C3C3C1553∴(B),P(()5∴

3212555

（次）21.解设

OAm

，

AB

，

OBm由勾股定理可得：

m)22)2得：

d

1AB4，，tanAOBtan24OA3由倍角公式

b2a

4，解得3

则离心率

52

．（Ⅱ）过F直方程为

ay(x)b

与双曲线方程

xya2b2

联立将

b，

代入，化简有

152b

211x121x2将数值代入，有

5

25

解得

故所求的双曲线方程为22.解：

x2236

。

（Ⅰ）证明：

f(x)lnx，f故函数

f

在区间上是增函数（Ⅱ）证明数归纳法）当时0，aln，11a()21111由函数f(x在区间是增函数，且函数(x在处连续，则

f(x)

在区间(0是增函数，af(a即a成；2112（ⅱ）假设当xN*)时成，即0akk那么当时由x)在间增函数，0a≤aa1f(f()f(1)而af()，af(),f(，knkkk，也就是说当时a也立；kkn根据（ⅰ可得对任意的整数n，a恒nn（Ⅲ）证明：由(x)ln．af(a)可nna

alnakkiii，若在某i≤满足a，则由⑵知：≥0ii，若任意i≤都有a，则alnaikkalnalnba)kab1ii1ii1iii1lnb11)0，即成立2007年普高等学校招全国统一考理科数学第卷一选题（1

是第四