高考数学二轮培优讲义指导三2

2.函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．[回扣问题1]函数f(x)＝eq\r(log2x－1)的定义域为________．解析要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞)．答案[2，＋∞)2．求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．[回扣问题2]已知f(eq\r(x))＝x＋2eq\r(x)，则f(x)＝________．答案x2＋2x(x≥0)3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[回扣问题3]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x＜0，,lnx，x＞0，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))))＝________．答案eq\f(1,e)4．函数的奇偶性若f(x)的定义域关于原点对称，f(x)是偶函数f(－x)＝f(x)＝f(|x|);f(x)是奇函数f(－x)＝－f(x)；定义域含0的奇函数满足f(0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，若其定义域关于原点对称，再找f(x)与f(－x)的关系．[回扣问题4](1)若f(x)＝2x＋2－xlga是奇函数，则实数a＝________．(2)已知f(x)为偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)＞f(1)，则x的取值范围是________．答案(1)eq\f(1,10)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，10))5．函数的周期性由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a≠0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：①函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数；②若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)(a≠0)成立，则T＝2a；③若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)(a≠0)恒成立，则T＝2a.[回扣问题5]函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))则f(f(15))的值为________．解析因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))所以f(f(15))＝f(f(－1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)6．函数的单调性(1)定义法：设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0f(x)在[a，b]上是减函数．(2)导数法：注意f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；∴f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．(3)复合函数由同增异减的判定法则来判定．(4)求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．[回扣问题6](1)函数f(x)＝eq\f(1,x)的单调减区间为________．(2)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))答案(1)(－∞，0)，(0，＋∞)(2)D7．求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可导函数；(5)换元法(特别注意新元的范围)；(6)分离常数法：适合于一次分式；(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．[回扣问题7]函数y＝eq\f(2x,2x＋1)的值域为________．答案(0，1)8．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．[回扣问题8](1)函数y＝eq\f(3x－1,x＋2)的图象关于点________对称．(2)函数f(x)＝|lgx|的单调递减区间为________．答案(1)(－2，3)(2)(0，1)9．二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数，Δ与0的关系，对称轴与区间的关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[回扣问题9]关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根的充要条件是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))10．指数与对数的运算性质：(1)指数运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r，s∈Q)．(2)对数运算性质：已知a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN，logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，logaMn＝nlogaM，对数换底公式：logaN＝eq\f(logbN,logba).推论：logamNn＝eq\f(n,m)logaN；logab＝eq\f(1,logba).[回扣问题10]设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝()A.eq\r(10) B．10 C．20 D．100答案A11．指数函数与对数函数的图象与性质：可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1，0)．[回扣问题11](1)已知a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,3)，则()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞b(2)函数y＝loga|x|的增区间为________．答案(1)D(2)当a＞1时，(0，＋∞)；当0＜a＜1时，(－∞，0)12．函数与方程(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根；反之不成立．[回扣问题12]设函数y＝x3与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在区间是()A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)答案B13．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0)．注意过某点的切线不一定只有一条．[回扣问题13]已知函数f(x)＝x3－3x，过点P(2，－6)作曲线y＝f(x)的切线，则此切线的方程是____________．答案3x＋y＝0或24x－y－54＝014．常用的求导方法(1)(xm)′＝mxm－1，(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx，(ex)′＝ex，(lnx)′＝eq\f(1,x)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2).(2)(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(u,v)))′＝eq\f(u′v－uv′,v2)(v≠0)．[回扣问题14]已知f(x)＝xlnx，则f′(x)＝________；已知f(x)＝eq\f(ex,x)，则f′(x)＝________．答案lnx＋1eq\f(ex（x－1）,x2)15．利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)＜0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数．注意如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那