高考数学二轮培优讲义专题二微点深化立体几何中的轨迹与折叠问题

微点深化立体几何中的轨迹与折叠问题1.运动变化中的轨迹问题的实质是寻求运动变化过程中的所有情况，发现动点的运动规律.2.将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称为立体几何中的折叠问题，折叠问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题，考查学生的空间想象力和分析问题的能力.热点一以立体图形为载体的轨迹问题【例1】(1)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与平面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，E为CC1的中点，P在对角面BB1D1D所在平面内运动，若EP与AC成30°角，则点P的轨迹为()A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆(2)(2018·宁波期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是()A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线解析(1)因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与平面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，所以该平面六面体ABCD-A1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面BB1D1D⊥底面ABCD，AC⊥对角面BB1D1D.取AA1的中点F，则EF∥AC，因为EP与AC成30°角，所以EP与EF成30°角.设EF与对角面BB1D1D的交点为O，则EO⊥对角面BB1D1D，所以点P的轨迹是以EO为轴的一个圆锥的底面，故选A.(2)如图，以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系.设P(x，y)，作PE⊥AD于E、PF⊥A1D1于F，连接EF，易知|PF|2＝|PE|2＋|EF|2＝x2＋1，又作PN⊥CD于N，则|PN|＝|y－1|.依题意|PF|＝|PN|，即eq\r(x2＋1)＝|y－1|，化简得x2－y2＋2y＝0，故动点P的轨迹为双曲线，选B.答案(1)A(2)B探究提高研究立体几何中点的轨迹问题一般先将问题平面化，将问题转化为两平面或曲线的交线，或者直接用平面解析几何知识如圆锥曲线的定义或建系去处理.【题组训练1】(1)(2018·绍兴质检)如图，若三棱锥ABCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到点A的距离之比为正常数λ，且动点P的轨迹是抛物线，则二面角ABCD的平面角的余弦值为()A.λ B.eq\r(1－λ2) C.eq\f(1,λ)D.eqD.eq\r(1－\f(1,λ2))解析由题意知，动点P的轨迹是以点A为焦点，直线BC为准线的抛物线，设点P在底面BCD内的投影为点H，二面角ABCD的平面角的大小为θ，点P到直线BC的距离为d，则eq\f(|PH|,|PA|)＝λ，由抛物线的定义，得|PA|＝d，则sinθ＝eq\f(|PH|,d)＝eq\f(λ|PA|,d)＝λ，则cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\r(1－λ2)，故选B.答案B(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线解析点P到直线C1D1的距离即为点P到点C1的距离，所以在平面BB1C1C中，点P到定点C1的距离与到定直线BC的距离相等，由抛物线的定义可知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线，故选D.答案D(3)如图，定点A和B都在平面α内，定点Pα，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是()A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点解析由PB⊥α，可得PB⊥AC，又PC⊥AC，所以AC⊥平面PBC，则可得AC⊥BC，由于定点A和B都在平面α内，动点C满足AC⊥BC的轨迹是在平面α内以AB为直径的圆，而C是α内异于A和B的动点，所以动点C在平面α内的轨迹是在平面α内以AB为直径的圆(去掉两个A、B).故选B.答案B热点二立体几何中的折叠问题【例2】(1)(2018·浙江名校协作体联考)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(2).将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析若AB⊥CD，BC⊥CD，则可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝AD＝eq\r(2)，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.答案B(2)(2018·北京海淀区调考)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E为BC的中点，F为线段AD上的一点，且AF＝eq\f(3,2).现将四边形ABEF沿直线EF翻折，使翻折后的二面角A′EFC的余弦值为eq\f(2,3).①求证：A′C⊥EF；②求直线A′D与平面ECDF所成角的大小.①证明连接AC交EF于点M，由平面几何的知识可得AC＝eq\r(5)，EF＝eq\f(\r(5),2)以及eq\f(AM,MC)＝eq\f(FM,ME)＝eq\f(3,2)，则AM＝eq\f(3\r(5),5)，MC＝eq\f(2\r(5),5)，MF＝eq\f(3\r(5),10).故AM2＋MF2＝AF2，则AC⊥EF，于是A′M⊥EF，CM⊥EF，又A′M∩CM＝M，故EF⊥平面A′MC，又A′C平面A′MC，故A′C⊥EF.②解由①知，二面角A′EFC的平面角就是∠A′MC，即cos∠A′MC＝eq\f(2,3).根据余弦定理，得A′C＝eq\r(A′M2＋MC2－2A′M·MCcos∠A′MC)＝1.因为A′C2＋MC2＝eq\f(9,5)＝A′M2，所以A′C⊥MC.而由(1)知A′C⊥EF，且MC∩EF＝M，所以A′C⊥平面ECDF.因此，∠A′DC就是直线A′D与平面ECDF所成的角.由于A′C＝CD＝1，所以∠A′DC＝∠CA′D＝eq\f(π,4)，故直线A′D与平面ECDF所成的角为eq\f(π,4).探究提高立体几何中的折叠问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.【题组训练2】(1)(2018·诸暨调研)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心解析由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心.答案A(2)(2018·杭州一模)如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC＝eq\r(3)CD＝3.将△ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于__________；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于__________.解析由题意可得点A的射影M的轨迹为△BCD的中位线，其长度为eq\f(1,2)CD＝eq\f(\r(3),2)；当点M位于线段BD上时，AM⊥平面BCD，取BC中点为N，AC中点为P，∴∠MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，则由中位线可得MN＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(\r(3),2)，PN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(3\r(2),4)，又MP为Rt△AMC斜边AC的中线，故MP＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(3\r(2),4)，∴在△MNP中，由余弦定理可得cos∠MNP＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)))\s\up12(2),2×\f(\r(3),2)×\f(3\r(2),4))＝eq\f(\r(6),6).答案eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(6),6)(3)(2018·浙江三市质检)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD.①证明：平面AMC′⊥平面ABD；②求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值.①证明因为△ABC为等腰三角形，M为BC的中点，所以AM⊥BD，又因为AC′⊥BD，AM∩AC′＝A，所以BD⊥平面AMC′，因为BD平面ABD，所以平面AMC′⊥平面ABD.②解在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接FD.由①知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面ABD所成的角.设AM＝1，则AB＝AC＝AC′＝2，BC＝2eq\r(3)，MD＝2－eq