定积分的计算教案(五篇)

本文格式为Word版，下载可任意编辑——定积分的计算教案(五篇)作为一位不辞辛勤的人民教师,往往要根据教学需要编写教案,教案有利于教学水平的提高,有助于教研活动的开展。那么教案应当怎么制定才适合呢？下面是我整理的优秀教案范文，欢迎阅读共享，希望对大家有所帮助。

定积分的计算教案篇一

授课计划（教案）

课程名称：高等数学

章节名称：第六章第一节定积分的概念使用教材：赵树媛主编，《微积分》（第四版），北京：中国人民大学出版社，2023.8教学目的：把握定积分的概念，培养学生建立数学模型、从具体到一般的抽象思维方式；从已知到未知的研究问题的方法，提高学生的应用能力和创新思维。

教学重点：定积分的概念

教学难点：定积分概念建立、分割的思想方法及应用

教学方法：教学采用启发式、数形结合，用多媒体辅助教学。适用层次：应用型本科。教学时间：45分钟。

教学内容与教学设计

引言

介绍牛顿和莱布尼兹两位数学家和物理学家以及在微积分方面的研究成果，重点展示在积分方面的成果。（简单提及积分产生背景）

（ppt展示肖像，简历和成就。2分钟）

一、引例

已经会用公式求长方形、梯形、三角形面积。但对一些不规矩平面图形的面积计算，需要寻求其他方法计算。

（ppt展示封闭的图形及分块，特别强调曲边梯形。2分钟）

（一）求曲边梯形的面积（板书）

由xa,xb,y0与yfx0围成平面图形，求面积a=?（如图）（ppt展示）

1.分析问题

（1）用小曲边梯形的面积相加就是a；（ppt展示）

（2）用小矩形代替小曲边梯形有误差，但有计算表达式（ppt放大图形）

（3）分的越细，其和精度越高（ppt）（4）最好是都很细，或最大的都很小（ppt）

（ppt展示，4分钟）

2.分割

（1）在a,b内任意插入n1个分点：

ax0x1x2xi1xixnb

这样，把a,b分成了n个小区间x0,x1,,xi1,xi,,xn1,xn，并记小区间的长度为xixixi1,i1,2,n（ppt演示，重点说明其目的是准备用小矩形代替小曲边梯形，以便提高精度。2分钟）

（2）过每一个分点作平行于y轴的直线，这样一来，大的曲边梯形被分成n个小曲边梯形ai（小范围）。

3.近似代替

f(在第i个小曲边梯形上任取i[xi-1,xi]，作以[xi,x

为底，i)为高的小矩形,1i]并用此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积

ai,得

aif(i)xixixixi1，i1,2,.,n

（ppt演示，重点说明乘积的量表示什么。2分钟）

（1）求和

把n个小曲边梯形相加，就得到大曲边梯形面积的近似值

aaifixi（板书）

i1i1nn（ppt演示，重点说明，两个量的区别，让学生记住后一个表达式，这是将来应用的核心部

分。3分钟）

（2）取极限

当分点的个数无限增加，且小区间长度的最大值，即趋近于零时，上述和式极限就是梯形面积的准确值。

nn

alimai=limfixi即max{xi},（板书）001ini1i1

（ppt演示，重点说明三个符号构成一个新的记号，重点。3分钟）

（二）变速直线运动的路程（板书）

求物体在这段时间内所经过的路程s。

n设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔t1，t2上t的连续函数，且v(t)0,s=limviti（板书）

0i1（ppt展示上述结论，与

（一）比较，只是将符号变更，另一方面乘积的量发生了变化。

3分钟）

二、定积分的定义

定义：设函数fx在a,b上有定义，任意取分点

ax0x1x2xi1xixnb

把a,b分成n个小区间，xi-1，xi称为子区间，其长度记为xixixi1,i1,2,n。在每个子区间xi-1，xi上，任取一点ixi-1，xi，得函数值fnf()x。i，作乘积

ii

f(i)xi。把所有的乘积加起来，得和式i1当n无限增大，且子区间长度的最大长度趋近于零时，假如上述和式的极限存在，则称fx在子区间a,b上可积，并将此极限值称为函数fx在a,b上的定积分。记作：

fxdx

ab即

fx

（板书）fxdxlima0iii1bn

（ppt展示定义，重点说明：记号和等号，左边是新的符号，右边是其表达式，即假如可以建立右边表达式，就立刻将其用左边符号表示，换言之，看见左边符号，立刻联想到右边的表达式。4分钟）

（板书）fxdx，变速直线运动的路程可以表示为：s=vtdt（板书）曲边梯形的面积可以表示为：aabt2t1定理

1设fx在a,b上连续，则fx在a,b上可积。

定理2设fx在a,b上有界，且只有有限个休止点，则fx在a,b上可积。

（ppt展示定理。解释：只要满足条件，lim0fx就可以与定积分符号划等号。

iii1n2分钟）

三、例题

利用定义计算定积分

10x2dx

（ppt展示全部计算过程及答案，说明几何意义。特别强调，以后用牛-莱公式计算，即简单又快捷，但要用到不定积分的知识，提醒学生复习已学过的相关知识。下次课介绍牛-莱公式。2分钟）

四、总结（板书）

（ppt展示定义-符号、定理，提醒复习不定积分，核心表达式板书。1分钟）

五、作业（板书）

板书设计框架

第五章第一节定积分的概念

一、引例

（一）求曲边梯形的面积

（二）变速直线运动的路程

二、定积分定义

fxfxdxlima0iii1bn

三、例题

10x2dx=

四、总结

五、习题与提醒

定积分的计算教案篇二

4.3.1定积分在几何上的应用

教材：

《高等数学》第一册第四版，四川大学数学学院高等数学教研室，2023第四章第三节定积分的应用

教学目的：

1.理解把握定积分的微元法；

2.会用微元法计算平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积。

教学重点：定积分的微元法。

教学难点：

计算平面图形的面积、立体体积、平面曲线弧长、旋转曲面面积时的微元如何选取和理解。

教学时数：3学时

教学过程设计：通过大量例题来理解用微元法求定积分在几何上的各种应用。

部分例题：

(1)求平面图形的面积

由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。

例如：求曲线fx2和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。

分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。

所以该曲边梯形的面积为

f21x223137xdx

31333222(2)求旋转体的体积

(i)由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(a

ab(ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c、y=d(c

cd(iii)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)与直线x=a、x=b(0a

abx2y2例如：求椭圆221所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周而成的旋ab转体的体积。

分析：椭圆绕x轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆b2yax2(axa)，与x轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆ax2y21所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为a2b2b2vy(ax2)aab2213a2(axx)aa3a2dxb2a2aa(a2x2)dx

4ab23椭圆绕y轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆xa2by2,(byb)，与bx2y2y轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆221所围成的图形绕

aby轴旋转一周而成的旋转体的体积为

a2a22vy(by)dy2bbb

a2213b422(byy)babb33b2bb22(bydy)

(3)求平面曲线的弧长

(i)、设曲线弧由参数方程

{x(t)(t)

y(t)给出其中'(t),'(t)在[,]上连续，则该曲线弧的长度为s'['(t)2][t(2d)。]x()(ⅲ)设曲线弧的极坐标方程为rr()()，其中r'()在[,]上连续，则该曲线弧的长度为sr2()[r()]2d()。

x21例如：求曲线ylnx从x=l到x=e之间一段曲线的弧长。

42解：yx122x，于是弧长微元为

ds1y2，x111dx1()2dx(x)dx。

22x2x所以，所求弧长为：s

e1111x21e(x)dx(lnx)1(e21)。2224

定积分的计算教案篇三

高等数学教案

§6定积分的应用

第六章

定积分的应用

教学目的

1、理解元素法的基本思想；

2、把握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。

3、把握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点：

1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点：

1、截面面积为已知的立体体积。

2、引力。

高等数学教案

§6定积分的应用

§6.1定积分的元素法

回忆曲边梯形的面积

设yf(x)0(x[ab])假如说积分

aaf(x)dx

b是以[ab]为底的曲边梯形的面积则积分上限函数

a(x)af(t)dt

x就是以[ax]为底的曲边梯形的面积而微分da(x)f(x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值af(x)dxf(x)dx称为曲边梯形的面积元素

以[ab]为底的曲边梯形的面积a就是以面积元素f(x)dx为被积表达式以[ab]为积分区间的定积分

aaf(x)dx

b

一般状况下为求某一量u先将此量分布在某一区间[ab]上分布在[ax]上的量用函数u(x)表示再求这一量的元素du(x)设du(x)u(x)dx然后以u(x)dx为被积表达式以[ab]为积分区间求定积分即得

uaf(x)dx

b

用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)

高等数学教案

§6定积分的应用

§62定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积

1．直角坐标情形

设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成则面积元素为[f上(x)f下(x)]dx于是平面图形的面积为

sa[f上(x)f下(x)]dx

类似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为

sc[右(y)左(y)]dy

例1计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积

解(1)画图

(2)确定在x轴上的投影区间:[01](3)确定上下曲线f上(x)x,f下(x)x2

(4)计算积分s0(xx)dx[2213]10333213db

例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积

解(1)画图

(2)确定在y轴上的投影区间:[24](3)确定左右曲线左(y)1y2,右(y)y4

2(4)计算积分

418

s2(y41y2)dy[1y24y1y3]42622例3求椭圆x2a2y21所围成的图形的面积

2b解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍椭圆在第一象限部分在x轴上的投影区间为[0a]由于面积元素为ydx

所以高等数学教案

§6定积分的应用

s40ydxa椭圆的参数方程为:xacostybsint

于是

s40ydx4bsitdn(acots)

2a02ab02(1co2st)dt2abab

4absi2ntdt022

2．极坐标情形

曲边扇形及曲边扇形的面积元素

由曲线()及射线围成的图形称为曲边扇形曲边扇形的面积元素为

ds1[()]2d

2曲边扇形的面积为

s1[()]2d

2例4.计算阿基米德螺线a(a0)上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积

24a23

解:s01(a)2d1a2[13]023322

例5.计算心形线a(1cos)(a0)所围成的图形的面积

解:s201[a(1cos]2da20(12cos1cos2)d

22232n1si2n]

a2[32si0a

242

二、体积

1．旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴高等数学教案

§6定积分的应用

常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台、球体

旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体

设过区间[ab]内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为v(x)当平面左右平移dx后体积的增量近似为v[f(x)]2dx

于是体积元素为

dv[f(x)]2dx

旋转体的体积为

va[f(x)]2dx

例1连接坐标原点o及点p(hr)的直线、直线xh及x轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体计算这圆锥体的体积

解:直角三角形斜边的直线方程为yrx

hb

所求圆锥体的体积为

2hh1hr2

v0(rx)2dxr2[13]0h33h2y2x例2计算由椭圆221所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)ab的体积

解:这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆

yba2x2

a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积元素为

dvy2dx

于是所求旋转椭球体的体积为

22a2vab2(a2x2)dxb2[a2x13]aaab

33aa

例3计算由摆线xa(tsint)ya(1cost)的一拱直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积

解

所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为高等数学教案

§6定积分的应用

0y2dx0a2(1cots)2a(1cots)dt

a30(13cots3co2stco3st)dt

52a3

所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y)则

22(y)dy0x1(y)dy

vy0x22a2a22a2t)2asintdt0a2(tsint)2asintdt

2a2(tsin

a30(tsint)2sintdt63a3

2．平行截面面积为已知的立体的体积

设立体在x轴的投影区间为[ab]过点x且垂直于x轴的平面与立体相截截面面积为a(x)则体积元素为a(x)dx立体的体积为

vaa(x)dx

例4一平面经过半径为r的圆柱体的底圆中心并与底面交成角计算这平面截圆柱所得立体的体积

解取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴那么底圆的方程为x2y2r2立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形两个直角边分别为r2x2及r2x2tan因而截面积为

a(x)1(r2x2)tan于是所求的立体体积为

2r2r3tan[r2x13]

vr1(r2x2)tandx1tanr2233rb2

例5求以半径为r的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积

解:取底圆所在的平面为xoy平面圆心为原点并使x轴与正劈锥的顶平行底圆的方程为x2y2r2过x轴上的点x(r

§6定积分的应用

体得等腰三角形这截面的面积为

a(x)hyhr2x2

于是所求正劈锥体的体积为

vrhrxdx2rh02cos2d1r2h

2r222

三、平面曲线的弧长

设ab是曲线弧上的两个端点在弧ab上任取分点am0m1m2mi1mimn1mnb并依次连接相邻的分点得一内接折线当分点的数目无限增加且每个小段mi1mi都缩向一点时假如此折线的长|mi1mi|的极限存在则称此极限为

i1n曲线弧ab的弧长并称此曲线弧ab是可求长的

定理

光滑曲线弧是可求长的

1．直角坐标情形

设曲线弧由直角坐标方程

yf(x)(axb)给出其中f(x)在区间[ab]上具有一阶连续导数现在来计算这曲线弧的长度

取横坐标x为积分变量它的变化区间为[ab]曲线yf(x)上相应于[ab]上任一小区间[xxdx]的一段弧的长度可以用该曲线在点(xf(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替而切线上这相应的小段的长度为

(dx)2(dy)21y2dx

从而得弧长元素(即弧微分)

ds1y2dx

以1y2dx为被积表达式在闭区间[ab]上作定积分便得所求的弧长为

sa1y2dx

b

在曲率一节中我们已经知道弧微分的表达式为ds1y2dx这也就是弧长元素因此高等数学教案

§6定积分的应用

例1计算曲线y22上相应于x从a到b的一段弧的长度

3解yx2从而弧长元素

ds1y2dx1xdx13因此所求弧长为

sab2221xdx[2(1x)2]ba[(1b)(1a)]

3333

3例2计算悬链线ycchx上介于xb与xb之间一段弧的长度

c

解yshx从而弧长元素为

cds1sh2xdxchxdx

cc因此所求弧长为

bbb

sbchxdx20chxdx2c[shxdx]b02cshcccc

2．参数方程情形

设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(t)给出其中(t)、(t)在[]上具有连续导数

由于dy(t)dx(t)dt所以弧长元素为dx(t)2(t)ds12(t)dt2(t)2(t)dt

(t)所求弧长为

s2(t)2(t)dt

例3计算摆线xa(sin)ya(1cos)的一拱(02)的长度

解弧长元素为

dsa2(1cos)2a2sin2da2(1cos)d2asind

2所求弧长为高等数学教案

§6定积分的应用

28a

s02asind2a[2cos]0222

3．极坐标情形

设曲线弧由极坐标方程

()()给出其中r()在[]上具有连续导数由直角坐标与极坐标的关系可得

x()cos

y()sin()于是得弧长元素为

dsx2()y2()d2()2()d

从而所求弧长为

s2()2()d

例14

求阿基米德螺线a(a0)相应于从0到2一段的弧长

解

弧长元素为

dsa22a2da12d

于是所求弧长为

2s0a12da[2142ln(2142)]高等数学教案

§6定积分的应用

§6.3功

水压力和引力

一、变力沿直线所作的功

例1把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点o处它产生一个电场这个电场对周边的电荷有作用力由物理学知道假如有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点o为r的地方那么电场对它的作用力的大小为

fkq(k是常数)

r2当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(a

例1

电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点o处它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b(a

提醒:由物理学知道在电量为+q的点电荷所产生的电场中距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为fkq(k是常数)r

2解:在r轴上当单位正电荷从r移动到r+dr时

电场力对它所作的功近似为k即功元素为dwk于是所求的功为

wabkq2qdr

r2qdr

r211drkq[1]bakq()

rabr

例2

在底面积为s的圆柱形容器中盛有一定量的气体在等温条件下由于气体的膨胀把容器中的一个活塞(面积为s)从点a处推移到点b处计算在移动过程中气体压力所作的功

解取坐标系如图活塞的位置可以用坐标x来表示由物理学知道一定量的气体在等温条件下压强p与体积v的乘积是常数k即

pvk或pk

v

解:在点x处由于vxs所以作在活塞上的力为高等数学教案

§6定积分的应用

fpsksk

xsx当活塞从x移动到xdx时变力所作的功近似为kdx

x即功元素为dwkdx

x于是所求的功为

bbwakdxk[lnx]bakln

xa

例3一圆柱形的贮水桶高为5m底圆半径为3m桶内盛满了水试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？

解作x轴如图取深度x为积分变量它的变化区间为[05]相应于[05]上任小区间[xxdx]的一薄层水的高度为dx水的比重为98kn/m3因此如x的单位为m这薄层水的重力为9832dx这薄层水吸出桶外需作的功近似地为

dw882xdx

此即功元素于是所求的功为

225(kj)

xw088.2xdx88.2[]5088.222

5二、水压力

从物理学知道在水深为h处的压强为ph这里是水的比重假如有一面积为a的平板水平地放置在水深为h处那么平板一侧所受的水压力为

ppa

假如这个平板铅直放置在水中那么由于水深不同的点处压强p不相等所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算

例4一个横放着的圆柱形水桶桶内盛有半桶水