【创新方案】高考数学一轮复习不等式选讲教案理新人教版选修45

2013年高考创新方案一轮复习教学设计（理数，新课标版）选修4-5不等式选讲【2013年高考会这样考】1．考察含绝对值不等式的解法．2．考察相关不等式的证明．3．利用不等式的性质求最值．【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明．该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要故意提升难度，以课本难度为宜，要点是理解相关内容实质.基础梳理1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|＞a(a＞0)?f(x)＞a或f(x)＜－a；(2)|f(x)|＜a(a＞0)?－a＜f(x)＜a；对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.3．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号建立．定理

2：假如

a、b为正数，则

＋≥2

ab，当且仅当

a＝b

时，等号建立．定理3：假如a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥abc，当且仅当a＝b3＝c时，等号建立．定理4：(一般形式的算术－几何均匀值不等式)假如a1、a2、、an为n个正数，则a1＋a2＋＋annn≥a1a2an，当且仅当a1＝a2＝＝an时，等号建立．5．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、剖析法、反证法、放缩法等．双基自测1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________．答案(－4，－2)∪(0,2)2．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________．4，x≤4，分析令：f(x)＝|x－8|－|x－4|＝－2x＋12，4＜x≤8，－4，x＞8，当x≤4时，f(x)＝4＞2；当4＜x≤8时，f(x)＝－2x＋12＞2，得x＜5，∴4＜x＜5；当x＞8时，f(x)＝－4＞2不建立．故原不等式的解集为：{x|x＜5}．答案{x|x＜5}3．已知对于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________．分析

∵|

x－1|

＋|

x|

≥|x－1－x|

＝1，∴当

k＜1

时，不等式

|

x－1|

＋|

x|

≤k

无解，故

k＜1.答案

k＜14．若不等式

|3

x－b|

＜4

的解集中的整数有且仅有

1,2,3

，则

b

的取值范围为

________．b－4

b＋4分析

由|3

x－b|

＜4，得

3

＜x＜

3

，b－40≤

3

＜1，即

解得

5＜b＜7.b＋43＜

3

≤4，答案(5,7)5．(2011·南京模拟)假如对于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是________．分析在数轴上，联合实数绝对值的几何意义可知a≤－5－3.答案(－∞，－5]∪[－3，＋∞)

或

a≥考向一含绝对值不等式的解法【例1】?设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.解不等式f(x)＞2；求函数y＝f(x)的最小值．[审题视点]第(1)问：采纳分段函数解不等式；第(2)问：画出函数f(x)的图象可求f(x)的最小值．解(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝1－x－5x＜－2，13x－3－2≤x＜4，x＋5x≥4.1当x＜－2时，由f(x)＝－x－5＞2得，x＜－7.∴x＜－7；15当－2≤x＜4时，由f(x)＝3x－3＞2，得x＞3，5∴3＜x＜4；当x≥4时，由f(x)＝x＋5＞2，得x＞－3，∴x≥4.故原不等式的解集为5xx＜－7或x＞3

.画出f(x)的图象如图：9f(x)min＝－2.用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．用图象法，数形联合能够求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即平常易懂，又简短直观，是一种较好的方法．【训练1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)假如?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．解(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，f(x)＝

－2x，x＜－1，2，－1≤x≤1，2x，

x＞1.作出函数

f(x)＝|

x－1|

＋|

x＋1|

的图象．3

3由图象可知，不等式的解集为

x|

x≤－2或x≥2

.若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不知足题设条件；2x＋a＋1，x≤a，若a＜1，f(x)＝1－a，a＜x＜1，2x－a＋1，x≥1，f(x)的最小值为1－a.2x＋a＋1，x≤1，若a＞1，f(x)＝a－1，1＜x＜a，2x－a＋1，x≥a，f(x)的最小值为a－1.∴对于?x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．考向二不等式的证明【例2】?证明以下不等式：设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc；6616222(3)a＋8b＋27c≥2abc.[审题视点](1)作差比较；(2)综合法；(3)利用柯西不等式．证明(1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2(a－b)(a－b)(3a2－2b2)．∵a≥b＞0，∴a－b≥0,3a2－2b2＞0.(a－b)(3a2－2b2)≥0.3a2＋2b3≥3a2b＋2ab2.∵a2＋4b2≥2a2·4b2＝4ab，a2＋9c2≥2a2·9c2＝6ac，4b2＋9c2≥24b2·9c2＝12bc，2a2＋8b2＋18c2≥4ab＋6ac＋12bc，a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.661638666(3)a＋8b＋27c≥327abc2222222＝3×abc＝2abc，a6＋8b6＋1c6≥2a2b2c2.27作差法应当是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤是：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．注意察看不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．【训练

2】

(2010·辽宁

)已知

a，b，c

均为正数，证明：

a2＋b2＋2c＋

111a＋b＋c

2≥6

3，并确立

a，b，c

为什么值时，等号建立．证明

法一

由于

a，b，c

均为正数，由基本不等式得，

a2＋b2＋22c≥3(abc)，①1111a＋b＋c≥3(abc)－3，11122因此a＋b＋c≥9(abc)－3，②222111222故a＋b＋c＋a＋b＋c≥3(abc)3＋9(abc)－3.22又3(abc)3＋9(abc)－3≥227＝63，③因此原不等式建立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号建立．22当且仅当3(abc)3＝9(abc)－3时，③式等号建立．1故当且仅当a＝b＝c＝34时，原不等式等号建立．法二由于a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.因此a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①111111同理a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，②2221112333故a＋b＋c＋a＋b＋c≥ab＋bc＋ac＋ab＋bc＋ac≥63.③因此原不等式建立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号建立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号建立．故当且仅当a＝b＝c1＝34时，原不等式等号建立．考向三利用基本不等式或柯西不等式求最值【例3】?已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求3a＋1＋3b＋13c＋1的最大值．[审题视点]先将(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)平方后利用基本不等式；还能够利用柯西不等式求解．解法一利用基本不等式∵(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2＝(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋23a＋1·3b＋1＋23b＋1·3c＋1＋23a＋1·3c＋1(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋[(3a＋1)＋(3b＋1)]＋[(3b＋1)(3c＋1)]＋[(3a＋1)＋(3c＋1)]3[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]＝18，3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32，∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)max＝32.法二利用柯西不等式∵(12＋12＋12)[(3a＋1)2＋(3b＋1)2＋(3c＋1)2]≥(1·3a＋1＋1·3b＋1＋1·3c＋1)2∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤3[3(a＋b＋c)＋3]．又∵a＋b＋c＝1，∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤18，3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32.当且仅当3a＋1＝3b＋1＝3c＋1时，等号建立．∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)max＝32.利用基本不等式或柯西不等式求最值时，第一要察看式子特色，结构出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意获得最值的条件能否建立．222【训练3】已知a＋b＋c＝1，m＝a＋b＋c，求m的最小值．a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1，222222又∵a＋b≥2ab，a＋c≥2ac，b＋c≥2bc，∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≤3(a2＋b2＋c2)．2221∴a＋b＋c≥.1当且仅当a＝b＝c时，取等号，∴mmin＝3.法二利用柯西不等式(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(1·a＋1·b＋1·c)＝a＋b＋c＝1.a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c时，等号建立．31mmin＝3怎样求解含绝对值不等式的综合问题从近两年的新课标高考试题能够看出，高考对《不等式选讲》的考查难度要求有所降低，要点考察含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式，题型为填空题或解答题．【示例】?(此题满分10分)(2011·新课标全国)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，此中a＞0.当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．第(2)问解不等式|x－a|＋3x≤0的解集，结果用a表示，再由{x|x≤－1}求a.[解答示范](1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.(3分)故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(5分)(2)由f(x)≤0得，|

x－a|

＋3x≤0.此不等式化为不等式组

x≥a，x－a＋3x≤0

x≤a，或a－x＋3x≤0，x≥a，

x≤a，即a

或

a

(8

分)x≤4

x≤－2.a由于a＞0，因此不等式组的解集为xx≤－2.a由题设可得－2＝－1，故a＝2.(10分)此题综合考察了含绝对值不等式的解法，属于中档题．解含绝对值的不等式主假如经过同解变形去掉绝对值符号转变为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x－a|＋|x－b|＜m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简易．【试一试】(2011·辽宁)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.证明：－3≤f(x)≤3