立体几何练习题

立体几何演习题1.设α.γ为两两重合的平面l.m.n为两两不重合的直线,给下列四个命题：若αγ,⊥则α∥β;②若α,nα,m∥β,n∥β,则∥β;③若αβ,lα,则l∥β;④若αβ=l,∩γ=m,γ∩α=n,l∥则m∥n．个中真命题的个数是)A．1B．2C．3D2.正体ABCD﹣A1B1C1D1中BD1与面ABCD所角的余弦值为（）A．

B．CD．3.三柱中AA1=2且AA1平面ABC,△ABC是边长为积为（）

的正三角形该棱的个极点都在一个球面上,则个球的体A．D．

8π8π

B．C．4.三平两垂,它的三条交线交于点O,空间一点P到个面距离分离为则OP长为）A．

5B．2C．3D．55.如图,四锥S的面正方形,SD⊥底面ABCD,则列论不准确的是（）

A．AC⊥SBB．平面SCDC．SA与面SBD所成的角等于SC与面SBD所角D．AB与SC所的等DC与SA所的角6.如图,四锥P的面正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AD=1,设CG到面PAB的离为d1,点到平面PAC的离为d2,则（）A．1＜d1＜d2B．d1＜d2＜1C．d1＜1＜d2D．d2＜d1＜1

成的,,,,为_________.

与所角为,则面8.给下四命：

FA

G(1)若面上不线的三点到平面的距离相等,

E

则;(2)两条异面直线在统一面内的射影可能是两条平行直线;(3)两条异面直线中的一平行于平面,则一条肯定不服行于平面;(4)

为异面直线则且平的平面有且仅有一个．个中准确命题的序号是_______________________9.已正体

中点E是棱

的中点则直线AE与而所成角的正弦值是________.中

,,,

为

的中点则与面的距离为______

.的形按中所示线剪裁后,可两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面其正好拼接成正四棱锥的4个面则的值规模是．的长

,宽,将其沿对角线

折起,得到四面体,

4

C

4

C如图所示

33

3

3给出下列结论：

A

4

B

A

4

B①四面体②四面体

体积的最大值为;外接球的概况积恒为定值③若

分离为棱

的中点则有

且;④当二面角

为直二面角时,直线

所成角的余弦值为

;⑤当二面角

的大小为

时棱

的长为．个中准确的结论有(请出所有准确结论的序号．13.如图在三柱ABC﹣A1B1C1中∠BAC=90°,AB=BB1,直线B1C与面ABC成30°角．（I）求证：平面B1AC平面ABB1A1;）求线A1C与面B1AC所成的弦值．14.如图在棱P中分离为棱PC,AC,AB的点．已知PA⊥AC,PA=AB=6,BC=8,DF=5（1）若PB证平面BDE平面ABC．（2）求直线BD与面所成角的正切值．15.如图长体ABCD中AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中．

（1）求证：直线BD1平面PAC;（2）求证：平面PAC平面BDD1B1;（3）求CP与平BDD1B1所成角大小．16.如图四锥P的面正方形,PD⊥底面点E在PB上（1）求证：AC⊥平面PDB（2）当PD=AB且E为的中点时求与平面PDB所的角的大小17.在四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD平行四边形∠ADC=45°,AD=AC=1,O为中,PO⊥面ABCD,PO=2,M为PD中．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM;（Ⅱ）求证：AD⊥平面PAC;（Ⅲ）求二面角M﹣AC﹣D正切值．18.如图所示在棱P﹣ABCD底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段上PC⊥面BDE．（1）证实：BD⊥平面PAC;（2）若PA=1,AD=2,求面角B﹣PC的正切值．19.如图直棱ABC﹣A1B1C1中,⊥CB,AA1=AC=CB=2,D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面（2）求证：A1C⊥AB1;（3）若点E在段BB1上,且二面角E﹣B的正切值是,求时三棱C﹣A1DE的积．20.如图四锥S的面正方形每侧棱的长都是底面边长的

倍P为棱SD上点

（1）求证：AC⊥SD;（2）若SD⊥面PAC,二面角P﹣AC﹣D大小（3）在（）前提下侧棱SC上是消失一点E,使得BE∥面PAC．消失求SE的;若消失试释由．试卷答案1.B：

解：若α⊥γ,β⊥γ,α与β可能平行也可能订交故错误因为m,n不定订交故αβ不定成立故错误由面面平行的性质定理,易③准;由线面平行的性质定理,我易得④准确故选B考点：专题：剖析：

棱柱的构造特点．空间角．找出BD1与平面ABCD所成的,盘余值．解答：

解：衔接BD,;∵DD1⊥平面ABCD,∴BD是BD1在面ABCD的射影∴是BD1与平面ABCD所成角设AB=1,则BD=

,BD1=

,∴cos∠DBD1=故选：．

==

;点评：

本题以正方体为载体考核直线与平面所成的角是基本题．

考点：专题：剖析：

球的体积和概况积．盘算题空地关系与离．依据题意,正棱柱的面中间的连线的中点就是外接球的球心求出球的半径即可求出球体积．解答：球的球心

解：由题意可知：正三棱的底面中间的连线的中点就是外接因为△是长

的正三角形所底中到极点的距离为1;因为AA1=2且AA1⊥平面ABC,以外接球的半径为：

=．所以外接球的体积为：V=πr3=π×（故选：．

．点评：

本题给出正三棱柱有一个接球,在已知底面边长的情形下求球的体积．侧重考核了正三柱的性质.三角形的盘算和球的体积公式常识属中档题．考点：专题：剖析：

平面与平面垂直的性质．盘算题空地关系与离．构造棱长分离为a,b,c的方体P到个面的距离即为长方体的共极点的三条棱的长OP为长方体的对角线求即．解答：

构造棱长分离为a,b,c的方体P到个面的距离即为长方体的共极点的三条棱的长则a2+b2+c2=32+42+52=50因为为方的对角．所以OP=5故选：．点评：

．本题考核点线面的离盘算考盘算才能,是基本题．

考点：专题：剖析：

直线与平面垂直的性质．分解题探型依据SD⊥底面ABCD,底面ABCD为方形以及三垂线定理易AC⊥SB,依据线面平行剖断定理易证AB平面SCD,依据直线与平面所成角的界说可找∠ASO是SA与平面SBD所成角∠CSO是与面SBD所的角依三形等,证得这两个角相;异面直线所成的角,应用线线平行即可求得成果解答：

解：∵SD⊥底面ABCD,面ABCD为方形∴衔接BD,则BD⊥AC,据三垂线定,可AC⊥SB,故准;∵AB∥CD,AB平SCD,CD平SCD,∴AB∥平面SCD,故B准;∵SD⊥底面ABCD,∠ASO是SA与面SBD所的角,是与平面SBD所的而△SAO≌△CSO,∴∠CSO,即SA与面SBD所成角等于SC与平面SBD所的,C准;∵AB∥CD,∴AB与SC所的角是∠与SA所的角是∠SAB,而这两个角显然不相等,故不;故选D．点评：

此题是个中档题．考核线垂直的性质定理和线面平行的剖断定理以直与平面成的,异直线所成的角等问题分性强．考点：专题：

点线面间的距离盘算分解题空地关系与;间角．

剖析：

过C做面PAB的线垂足为E,接BE,则角形CEB为角三角形依斜边大于直,依据面PAC和PAB与面所成的二角可以或许推导出d2＜d1＜1解答：

解：过C做平面PAB的垂线垂足为衔BE,则三角形CEB为角三角形个中∠CEB=90°,依据斜边大于直角边得CE＜CB,即d2＜1．同理d1＜1．再依据面PAC和PAB与面所成的二面角可知前大后者,所以．所以d2＜d1＜1．故选D．点评：

本题考核空间距离的求法解题时要卖力审题细解,留意空间角的灵巧应用．7.8.(2)(4)9.11.12.②③④13.考点：专题：

平面与平面垂直的剖断直线与平面所成的角．证实题．

剖析：（I）证面平ABB1A1,症结是查找线面垂直而AC⊥平面ABB1A1,又AC平B1AC,知面垂直的剖断定理）过A1做A1M⊥B1A1,垂为M,衔CM,∠A1CM为直线A1C与面B1AC所的角,然在角形A1CM中出此角的正弦值即可．解答：

解：（I）证实：由直三棱柱性质B1B⊥平面ABC,∴B1B⊥AC,又⊥AC,B1B∩BA=B,∴AC⊥平面ABB1A1,又AC平面B1AC,∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．）解过做A1M⊥B1A1,垂足为M,衔接∵平面B1AC⊥平面ABB1A,且面B1AC∩平面ABB1A1=B1A,∴A1M⊥平面B1AC．∴∠A1CM为直线A1C与面B1AC所的角∵直线B1C与面ABC成30°,∴∠B1CB=30°．设AB=BB1=a,可B1C=2a,BC=,∴直线A1C与面B1AC所角正弦值为点评：

本题重要考核了平面与平垂直的剖断以及直线与平面所成的角考空间想象才.运算才能和推理论证才能．14.考点：专题：剖析：

直线与平面所成的角平与面垂直的剖断．空间地位关系与距离空角（1）已得DE⊥AC,DE2+EF2=DF2,而平面ABC,由此能证实平面BDE⊥平．

（2）由DE⊥面ABC,∠DBE是直线BD与平面ABC所的,由能出直线与面ABC所角的正切值．解答：

（1）实∵在三棱锥P中,D,E,F分为棱PC,AC,AB的中点．PA⊥AC,PA=AB=6,BC=8,DF=5,∴DE⊥AC,DE=3,EF=4,DF=5,∴DE2+EF2=DF2,∴DE⊥EF,又∩AC=F,⊥平面ABC,又

平面BDE,平面BDE⊥平ABC．（2）∵DE⊥平面ABC,∴PA平面ABC,∴PA⊥AB,∵PB⊥BC,∴AB⊥BC,∴AC==10,∴,由⊥面ABC,得∠DBE是直BD与面ABC所的角,tan∠DBE==．∴直线与面ABC所角的正切值为．点评：

本题考核平面与平面垂直证实,考核直线与平面所成角的正切值的求法是档,解时要卖力审题留空思维才能的造就．15.考点：成的角．专题：剖析：

直线与平面平行的剖断平面与平面垂直的剖断;直线与平面所证实题．（1）AC和BD交点O,三角形的中位线的性质可得PO∥BD1,从而证实直线BD1平面PAC

（2）证实AC⊥AC,证AC面BDD1B1,进证得平面PAC⊥平BDD1B1．（3）CP在平面BDD1B1内射影为OP,故∠CPO是CP与面BDD1B1所的角在Rt△CPO中应边角关系求得∠CPO的小解答：（1）实设AC和BD交于点O,连由P,O分是DD1,BD的中点故PO∥BD1,∵PO⊂平面PAC,BD1平PAC,所以直线BD1∥面PAC（2）长方体ABCD中,AB=AD=1,底面ABCD是方形则AC⊥BD,又DD1⊥面ABCD,则DD1⊥AC∵BD⊂平面BDD1B1,D1D平BDD1B1,BD∴AC⊥面BDD1B1．平PAC,∴平面PAC⊥面BDD1B1．（3）由（）证：AC面BDD1B1,∴CP在面BDD1B1内射为OP,∴是CP与平BDD1B1所成角．依题意得,,Rt△CPO中,∴∴CP与面BDD1B1所的角为30°点评：

本题考核证实线面平行面面垂直的办法求线和平面所称的角的大小找直和面所成的角是解题的难点属中档题．16.考点：专题：剖析：

直线与平面所成的角直与面垂直的剖断．分解题空地关系与;间角．（1）据意证实AC⊥BD,PD⊥AC,可AC⊥平面PDB;（2）设AC∩BD=O,衔OE,据线面所成角的界说可知∠AEO为AE与平面PDB所角在eq\o\ac(△,Rt)中求出此角即可．解答：（1）实∵四边形ABCD是方形⊥BD,

∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AC,又∩PD=D∴AC⊥平PDB,（3分）（2）设AC∩BD=O,衔OE,由（）AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO为AE与面PDB所角（5分又O,E分为DB.PB的点,∴OE∥PD,OE=PD,在△AOE中OE=PD=

AB=AO,∴∠AEO=45°,分）即与面PDB所成角的大小为45°（8分）点评：

本题重要考核了直线与平垂直的剖断以及直线与平面所成的角考空间想象才.运算才能和推理论证才能属中档题．17.考点：

与二面角有关的立体几何解题;直线与平面平行的剖断;直与平面垂直的剖断．专题：剖析：

盘算题．（Ⅰ）衔接OM,BD,由M,O分为PD和AC中点知OM∥PB,由可以或许证实∥面ACM．（Ⅱ）由⊥面ABCD,知PO由∠ADC=45°,AD=AC=1,知AC⊥AD,此可以或许证实AD⊥平面PAC．（Ⅲ）取中N,衔MN,由MN∥PO,MN⊥平面ABCD．过点N作NE⊥AC于E,由E为AO中,衔ME,由三垂线定理知∠MEN即所求由能求出二面角M﹣D的正切值．解答：（Ⅰ）证实衔接OM,BD,

∵M,O分为和AC中,∴OM∥PB,∵OM⊂平面ACM,PB平,∴PB∥平面ACM…．（4分）（Ⅱ）证实：由已知得PO⊥面ABCD∴PO⊥AD,∵∠ADC=45°,AD=AC=1,∴AC⊥AD,∵AC∩PO=O,AC,PO平PAC,∴AD⊥平面PAC．（8分（Ⅲ）解：取中点N,衔接MN,MN∥PO,∴MN⊥平面ABCD过点N作NE⊥AC于E,则E为AO中,衔接ME,由三垂线定理知∠MEN即为二面角M﹣AC的面角∵MN=1,NE=∴tan∠MEN=2…..（13分点评：

本题考核直线与平面平行直线现平面垂直的证实考二角的正切值的求法解题时卖力审题细解,留三垂直线定理的合理用．18.考点：专题：剖析：

二面角的平面角及求法直线与平面垂直的剖断．空间地位关系与距离空角立几．（1）题前提及图知可由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD,再由线面垂直剖断定理证实线面垂直即可;

（2）由图可令AC与BD的交点为O,衔接OE,证出∠BEO为面B﹣PC﹣A的平面角然在地的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．解答：

（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD∵PC⊥平面BDE∴PC⊥BD,又PA∩PC=P∴BD⊥平面PAC（2）设AC与BD交点连OE∵PC⊥平面BDE∴PC⊥平面BOE∴PC⊥BE∴∠BEO为面角B﹣A的面角∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC∴四边形ABCD为方形又可BD=AC=2∴OC=在△PAC∽△OEC中又⊥OE,∴∴二面角B﹣PC﹣A的平角正切值为3

,PC=3点评：

本题考核二面角的平面角求法及线面垂直的剖断定理与性质定理属立几何中根本题,面角的平面角的求法进程作证求步是求二面角的通用步调要练制

19.考点：

棱柱.棱锥.棱的积空间中直线与直线之间的地位关系;直线与平面平行的剖断．专题：剖析：

分解题空地关系与;间角．（1）接AC1交A1C于点由三形中位线定理得BC1∥DF,由此能证实BC1∥平A1CD．（2）应用线面垂直的剖断定理证实A1C平面AB1C1,即可证实A1C（3）证实∠BDE为面E﹣CD﹣B平面角,点E为BB1的点肯DE⊥A1D,再求三棱锥C的体积．解答：（1）实贯穿连接AC1,A1C于点F,则F为AC1中点,又D是AB中点贯连DF,则∥DF,因为平A1CD,BC1面A1CD,所以BC1∥平面A1CD．（3分（2）证实：直三棱柱ABC中,因为AA1=AC,所AC1⊥A1C…（4分）因为⊥CB,B1C1∥BC,所以B1C1⊥平面所以B1C1⊥A1C…分）因为B1C1所以A1C⊥面AB1C1所以A1C⊥AB1…（8分（3）在直三棱柱ABC中AA1⊥CD,因为AC=CB,D为的点,所以CD⊥AB,CD平面ABB1A1．所以⊥DE,CD⊥DB,所以∠为面E﹣CD的平面角．

在△DEB中由AA1=AC=CB=2,CA⊥CB,

．所以所以